ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y
ELECTRÓNICA
SIMULACIÓN DE TÉCNICAS DE CONTROL AVANZADO
APLICADAS A CASOS DE ESTUDIO
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO EN
ELECTRÓNICA Y CONTROL
CHRISTIAN GUSTAVO SALAZAR NOROÑA
[email protected]
DIRECTOR: Prof. PATRICIO BURBANO MSc.
[email protected]
Quito, enero 2010
DECLARACIÓN
Yo, Christian Gustavo Salazar Noroña, declaro bajo juramento que el trabajo aquí
descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún
grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas
que se incluyen en este documento.
A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual
correspondientes a este trabajo, a la
Escuela Politécnica Nacional, según lo
establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la
normatividad institucional vigente.
______________________
Christian G. Salazar N.
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Christian Gustavo Salazar
Noroña, bajo mi supervisión.
________________________
Prof. Patricio Burbano MSc.
DIRECTOR DEL PROYECTO
AGRADECIMIENTOS
Debo agradecer en primer lugar al Dios de Israel que es también mi Dios, y sin su
presencia no existiría nada en el universo.
Agradezco a mi familia que son mis dos mamás Yolanda Noroña y María Peralta,
por estar siempre a mi lado. A mi papá Gustavo Salazar por sus consejos y por
apoyarme económicamente durante todos mis estudios.
También deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mi director de tesis el
ingeniero Patricio Burbano, porque sin su valioso tiempo y colaboración no
hubiera sido posible este proyecto.
DEDICATORIA
Dedicado a la memoria de mi compañero y amigo de la carrera de Control
Eduardo Erazo, quien seguramente hubiera sido otro ingeniero en control de la
E.P.N., pero sus panas siempre lo recordaremos.
CONTENIDO
Página
RESUMEN
i
PRESENTACIÓN
ii
1 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
1.1 Generalidades del Control Avanzado
1
2 CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE TÉCNICAS DE CONTROL AVANZADO
2.1 Espacio de Estado
2.1.1 Realimentación de Estado
4
4
2.1.1.1 Diseño de la Realimentación de Estado para un
Sistema Regulador
5
2.1.1.2 Diseño de la Realimentación de Estado para un
Sistema de Seguimiento
2.1.2 Observador de Estado
10
16
2.1.2.1 Diseño de un Observador de Estado de Orden
Completo para un Sistema Regulador
16
2.1.2.2 Diseño de un Observador de Estado de Orden
Completo para un Sistema de Seguimiento
2.1.3 Tutorial para diseño de Espacio de Estado con Matlab
24
31
2.1.3.1 Diseño de Realimentación de Estado para el
Sistema de Seguimiento
32
2.1.3.2 Diseño de un Observador de Estado de Orden
Completo para el Sistema de Seguimiento
2.2 Control Robusto
2.2.1 Teoría Básica del Control Robusto
34
39
41
2.2.1.1 Definiciones Matemáticas
41
2.2.1.2 Definiciones del Control Robusto
45
2.2.1.3 Condiciones de Diseño del Control Robusto
47
2.2.2 Control Robusto H2 y H∞
50
2.2.2.1 Método de diseño H2
51
2.2.2.2 Método de diseño H∞
51
2.2.3 Tutorial para Diseño de Control H∞ con Matlab
2.3 Control Difuso
2.3.1 Teoría Básica del Control Difuso
2.3.1.1 Definiciones de Lógica Difusa
2.3.2 Control Difuso Mandami y Takagi Sugeno
56
64
64
64
65
2.3.2.1 Método de Diseño Mandami
65
2.3.2.2 Método de Diseño Takagi Sugeno TS
66
2.3.3 Tutorial para Diseño de Control Difuso TS con Matlab
67
3 CAPÍTULO 3 MODELACIÓN, DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONVERSOR
ELEVADOR DE VOLTAJE DC/DC
3.1 Modelo Matemático del Conversor
73
3.1.1 Modelación del Elevador de Voltaje DC/DC en C.C.
73
3.1.2 Diseño de un Elevador de Voltaje DC/DC de 10 a 20 V
78
3.1.2.1 Elementos y Parámetros de Funcionamiento
del Elevador 10 a 20 [V]
3.1.2.2 Modelo Matemático para el Elevador de 10 a 20 [V]
3.2 Simulación
78
81
82
4 CAPÍTULO 4 DISEÑO DE CONTROLADORES PARA EL ELEVADOR
4.1 Controlador de Espacio de Estado
85
4.1.1 Realimentación de Estado
85
4.1.2 Observador de Estado
90
4.2 Controlador Robusto H∞
91
4.3 Controlador Difuso TS
94
4.3.1 Controlador PI Difuso TS
94
4.3.2 Controlador PI Difuso TS Modificado
97
5 CAPÍTULO 5 PRUEBAS Y RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES
5.1 Simulaciones del Elevador Sin Perturbaciones
100
5.1.1 Elevador de Voltaje Controlado por Espacio de Estado
100
5.1.2 Elevador de Voltaje Controlado por un Sistema H∞
103
5.1.3 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS
105
5.1.4 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS Modificado 106
5.1.5 Análisis Comparativo de los Resultados Obtenidos con las
Simulaciones de los Cuatro Controladores
108
5.2 Simulaciones del Elevador con Perturbación en el Voltaje
de Entrada
109
5.2.1 Elevador de Voltaje Controlado por Espacio de Estado
109
5.2.2 Elevador de Voltaje Controlado por un Sistema H∞
111
5.2.3 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS
112
5.2.4 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS Modificado 113
5.2.5 Análisis Comparativo de los Resultados Obtenidos con las
Simulaciones de los Cuatro Controladores
115
5.3 Simulaciones del Elevador con Perturbación en la Corriente
de Carga
116
5.3.1 Elevador de Voltaje Controlado por Espacio de Estado
116
5.3.2 Elevador de Voltaje Controlado por un Sistema H∞
118
5.3.3 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS
119
5.3.4 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS Modificado 121
5.3.5 Análisis Comparativo de los Resultados Obtenidos con las
Simulaciones de los Cuatro Controladores
122
6 CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1 Conclusiones
124
6.2 Recomendaciones
126
BIBLIOGRAFÍA
127
ANEXO A MANUAL DE USUARIO
A.1 Manual de Uso de Programas y Simulaciones
A.1.1 Elevador de Voltaje Controlado Únicamente por PWM
A.1.2 Elevador de Voltaje con Espacio de Estado
A.1.2.1 Manejo del Programa para calcular las matrices
de ganancias de estado
I
I
II
II
A.1.2.2 Simulación del Elevador Controlado por Espacio
de Estado
A.1.3 Elevador de Voltaje con Control Robusto H∞
VIII
IX
A.1.3.1 Manejo del Programa de Diseño del Controlador H∞
IX
A.1.3.2 Simulación del Elevador controlado por H∞
XII
A.1.4 Elevador de Voltaje con Control PI Fuzzy TS
XIII
A.1.4.1 Manejo del Programa de Diseño del Controlador
PI fuzzy TS
A.1.4.2 Simulación del Elevador controlado por PI fuzzy TS
A.1.5 Elevador de Voltaje con Control PI Fuzzy ts modificado
XIII
XIV
XV
i
RESUMEN
El presente trabajo tiene como objetivo analizar la respuesta de tres diferentes
sistemas de control que fueron diseñados en el paquete computacional Matlab 7.4
con las técnicas de Control Avanzado: Espacio de Estado, Control Robusto H
infinito H∞ y Control Difuso Takagi Sugeno, para controlar un conversor elevador
de voltaje dc/dc de 10 a 20 voltios vía simulación.
En el capítulo 1, se presenta una breve introducción con las generalidades del
control avanzado.
El capítulo 2 describe de manera corta la teoría de cada una de las tres técnicas
motivo de este trabajo, pero además se incluye en cada tema los respectivos
tutoriales para poder efectuar diseños empleando Matlab.
En el capítulo 3 se resume la modelación matemática hecha por los científicos
Middlebrock y Cuk para el elevador de voltaje dc/dc. Posteriormente en este
mismo capítulo se explica el diseño de un elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20
voltios, para luego hacer su simulación con la herramienta Simulink de Matlab.
En el capítulo 4 se efectúan los diseños de los controladores para el convertidor
elevador, mediante programas hechos en Matlab. Estos diseños son: Controlador
de Espacio de Estado, Controlador Robusto H∞ y Control PI Difuso Takagi
Sugeno.
El capítulo 5 contiene las simulaciones de los tres diseños implementados, así
como sus correspondientes resultados.
En el capítulo 6 se presentan las conclusiones y recomendaciones. Finalmente en
los anexos se señalan las indicaciones básicas para poder simular todos los
diseños.
ii
PRESENTACIÓN
Considerando la importancia de las múltiples técnicas de control avanzado
existentes y que actualmente se aplican en diferentes campos de la industria, se
menciona a continuación tres de estas técnicas con sus respectivos ejemplos: la
técnica de observador de estado en la fabricación de variadores de velocidad
(sensorless), la técnica de control robusto H infinito en la aeronáutica y la técnica
de lógica difusa en la construcción de artefactos para el hogar como lavadoras ó
de entretenimiento electrónico.
Tomando en cuenta además, que aunque a nivel nacional se han desarrollado un
sin número de proyectos con lógica difusa, poco o nada se ha implementado con
técnicas como el espacio de estado o peor aún con el control robusto con H
infinito. Se hace una simulación con estas tres técnicas de control, aplicándolas a
un conversor dc/dc de tipo elevador conocido también como boost.
Con este trabajo no se pretende decir que se está aplicando dichas técnicas por
primera vez a un conversor boost, ya que a nivel internacional ya se han
desarrollado varios proyectos similares, con algoritmos complejos de control pero
con muy buenos resultados. En este proyecto, únicamente se diseñan algoritmos
de control diferentes y más sencillos comparados con los ya existentes, pero que
permiten a su vez un estado operativo aceptable del boost. Existen trabajos con
un gusto exquisito por la matemática como herramienta de diseño y que sirvieron
como inspiración para este proyecto, algunos se mencionan como referencia a lo
largo de este documento.
La técnica de espacio de estado utiliza al mismo tiempo dos diseños para manejar
al conversor boost, el primero es una realimentación de estado mientras el
segundo es un observador de estado. El sistema de control robusto H infinito usa
uno de los casos de sensibilidad mixta y en el diseño de lógica difusa se requirió
de un algoritmo de tipo Takagi Sugeno para efectuar el control.
1
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
1.1 GENERALIDADES DEL CONTROL AVANZADO
En el control clásico se utilizan técnicas que no son tan complejas en cuanto a
procedimientos de cálculo en comparación con la mayoría de las técnicas del
control avanzado, sin embargo, conllevan varias desventajas ya que no tienen
mucho campo de aplicación. Por ejemplo las técnicas de control convencional no
son aplicables a: sistemas con múltiples entradas y múltiples salidas, sistemas no
lineales, y a sistemas variables en el tiempo. Entre estas técnicas clásicas se
cuentan las de respuesta de frecuencia, lugar geométrico de las raíces, entre
otras [1].
En el Control Avanzado se encuentran distintos métodos, para los cuales el
desarrollo de un diseño puede ir desde complicados problemas de cálculo hasta
el razonamiento lógico difuso sin la intervención de detalladas herramientas
matemáticas. Entre estos métodos podemos mencionar: diseño en el espacio de
estado, control robusto, control predictivo, control adaptativo, control en modo de
deslizamiento, control difuso, etc.
Se puede señalar que aunque el campo de aplicación del control avanzado es
mayor que el del control convencional, en cuanto a los tipos de sistemas que
puede manejar, también tiene sus respectivas falencias, ya que el buen
desempeño de un diseño depende de varios factores: del nivel de conocimiento
del funcionamiento de la planta, de la precisión con la cual los algoritmos
matemáticos representen un proceso real, de las características de diseño que el
ingeniero requiera dar al controlador, etc.
2
En el presente trabajo se resumen tres de las técnicas de control avanzado: el
diseño en el espacio de estado, el control robusto y el control difuso.
El espacio de estado fundamenta su diseño en variables de estado que pueden
estar disponibles o no para la realimentación, las que se obtienen del modelo
matemático de un determinado proceso. Además, se puede hacer uso de
herramientas tales como: ayudas computacionales para realizar cálculos tediosos
(ya que el espacio de estado trabaja en el dominio del tiempo), polos de lazo
cerrado deseados (empleados para el diseño del controlador), condiciones
iniciales, índices de desempeño para preparar sistemas de control óptimo, etc.
El control robusto juega un papel importante para el diseño de sistemas de control
de precisión debido a que en el modelo dinámico de un proceso real existen
errores de modelado o incertidumbres. Las características favorables que se
manifiestan con este tipo de controladores son: reducción de error de
seguimiento, rechazo a perturbaciones, reducción de sensibilidad a errores de
modelado, estabilidad robusta, reducción de sensibilidad a ruido en sensores.
La técnica de control difuso se asemeja al razonamiento lógico humano, el cual no
excluye o incluye de forma radical los elementos en un determinado conjunto y
además dentro de esta técnica se tiene dos opciones de diseño, utilizar algoritmos
Mandami o los de tipo Takagi Sugeno.
Los algoritmos Mandami son muy útiles para controlar plantas en las que no se
pueden determinar con exactitud sus representaciones matemáticas, o en las que
simplemente éstas no existen; en estos casos para diseñar el controlador difuso
se toma como principio de funcionamiento el conocimiento adquirido de
experiencias previas sobre el proceso en estudio. Mientras que en los Takagi
Sugeno se requiere de fórmulas matemáticas que describan con mayor exactitud
el funcionamiento del controlador a crear.
3
Cabe señalar que en cualquier diseño de control e independientemente de la
técnica que se vaya a seleccionar, es necesario tomar en cuenta los siguientes
procedimientos generales:
1. Se debe conocer el comportamiento dinámico de la planta para hacer el
control.
2. Efectuar mediciones para determinar parámetros del modelo. Mediciones en
la planta instrumentada.
3. El sistema de control debe ir realimentado para hacer seguimiento y para
rechazar las perturbaciones.
4
CAPÍTULO 2
DESCRIPCIÓN DE TÉCNICAS DE CONTROL AVANZADO
2.1 ESPACIO DE ESTADO
El diseño en el espacio de estado tiene dos metodologías totalmente
independientes entre sí: realimentación de estado y observador de estado.
2.1.1 REALIMENTACIÓN DE ESTADO
Los principales casos de diseño de realimentación de estado son: diseño de
sistemas reguladores y diseño de servosistemas. “Los sistemas reguladores son
sistemas de control retroalimentados que traen estados no nulos (producidos por
perturbaciones externas) al origen con suficiente celeridad”1, mientras que los
servosistemas están relacionados con aplicaciones de los sistemas de
seguimiento y se dividen en dos clases: la primera cuando en la función de
transferencia de la planta existe un integrador y la segunda cuando en la función
de transferencia no existe integrador.
Tanto para el diseño de sistemas reguladores como para el diseño de
servosistemas se analiza el método de ubicación de polos de lazo cerrado
deseados, de tal manera que el sistema sea asintóticamente estable. Para tal
efecto se requiere que todas las variables de estado estén disponibles para ser
realimentadas. Con esto no se pretende decir que no hay otros métodos de
diseño, sino que no son parte del estudio de esta tesis. Por ejemplo, en el caso de
los sistemas reguladores se puede aplicar el método de control óptimo cuadrático
que minimiza un índice de desempeño para encontrar el vector de control.
_________________
1
Referencia [1]
5
2.1.1.1 Diseño de la Realimentación de Estado para un Sistema Regulador
Ejemplo 2.1.1.1
Sea el sistema definido por la siguiente función de transferencia:
G ( s) =
4
s − 24.5
2
Se desea diseñar un sistema regulador asintóticamente estable por el método de
realimentación de estado con ubicación de polos deseados de lazo cerrado, tal
que el sistema diseñado cumpla con las siguientes características de diseño, a
partir de los polos deseados: u1− 2 = −2 ± j 2.4
ω n = 3.124
ξ = 0.64
Mp < 20%
ts < 4seg
Paso 1:
Representación en variables de estado
x& = A ⋅ x + B ⋅ u
(1)2
y = C ⋅ x + D ⋅u
 x&1   0
 x&  =  24 .5
 2 
1   x1   0 
⋅
+
⋅u
0   x 2   4 
x 
y = [1 0 ] ⋅  1 
 x2 
⇒
 0
A=
 24 .5
1
;
0 
0
B =   ; C = [1 0 ];
4
D=0
Paso 2:
Comprobar si el sistema original representado por las variables de estado tiene
estado completamente controlable para poder ubicar arbitrariamente los polos
deseados de lazo cerrado. ∴Verificar si el rango de la matriz de controlabilidad
_________________
2
Referencia [1]
6
N C es igual al orden n del sistema original o a su vez verificar si el determinante
de N C es distinto de cero.
[
NC = B
A ⋅ B ... A n −1 ⋅ B
]
(2)3
Como n = 2
N C = [B
0 4
A ⋅ B] = 

4 0
⇒ det ( N C ) = −16 ≠ 0
∴ Es posible la ubicación arbitraria de polos.
Si
Paso 3:
Análisis del sistema original y de las características deseadas de diseño.
a) Análisis del sistema original
G ( s) =
Y (s)
4
= 2
U ( s) s + 0 ⋅ s − 24.5
2 ⋅ ξ ⋅ ωn = 0
Donde:
ω n = − 24.5
ξ =0
⇒ ω n no existe
Coeficientes de la ecuación característica original a1 y a 2 :
det (sI − A) = s 2 + a1s + a2
s
−1
det (sI − A) =
− 24.5 s
(3)
= s 2 − 24.5 = s 2 + a1s + a2
 a =0
⇒ 1
a2 = −24.5
Valores Propios del sistema original λ1 y λ 2 :
det(sI − A) = 0
_________________
3
4
Referencia [1]
Referencia [1]
(4)4
7
s 2 − 24.5 = (s + 4.949) ⋅ (s − 4.949) = 0
 λ = −4.949
⇒ 1
λ 2 = +4.949
El sistema es un sistema inestable por presentar un polo de lazo abierto en el
semiplano derecho
b) Especificaciones de las características deseadas de diseño:
ω n = 3.124
ξ = 0.64
 − π ⋅ξ 2 
Mp = (100% ) ⋅  e 1−ξ  = 7.2953% < 20%




4
ts =
= 2 seg < 4 seg
ξ ⋅ ωn
Determinación de los polos deseados de lazo cerrado. El polinomio o ecuación
característica deseada es:
Pd ( s ) = s 2 + 2 ⋅ ξ ⋅ ω n + ω n2 = (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 )
(5)5
Reemplazando los correspondientes valores en la ecuación (5) se obtienen los
polos de lazo cerrado deseados µ1 y µ 2
Pd ( s) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76 = (s + 2 + j ⋅ 2.4) ⋅ (s + 2 − j ⋅ 2.4 )
⇒ Se desea colocar los polos de lazo cerrado en: s1−2 = −2 ± j 2.4
∴ Los valores propios de A-BK deben ser:
u1− 2 = −2 ± j 2.4
Paso 4:
El diseño del sistema de control por retroalimentación de estado, se resume en el
cálculo de la matriz K para poder utilizar la siguiente señal de control:
u = −K ⋅ x
_________________
5
6
Referencia [1]
Referencia [1]
(6)6
8
Método 1: Forma Canónica Controlable
K = [α n − a n
α n−1 − a n −1 ... α 2 − a 2 α 1 − a1 ] ⋅ T −1
(7)7
Dado que n = 2 , la ecuación anterior se reduce a:
K = [α 2 − a 2
α 1 − a1 ] ⋅ T −1
Donde a1 , a 2 son coeficientes de la ecuación característica original: 0 , − 24.5
α 1 , α 2 son coeficientes de la ecuación característica deseada: 4 , 9.76
Como la ecuación de estado no está en la forma canónica controlable, la matriz
de transformación T no es la matriz identidad y debe ser calculada.
T = NC ⋅W
(8)8
 a n −1
a
 n−2
W = M

 a1
 1
a n −2 L a1
a
W = 1
1
1  0 1 
=
0 1 0
a n −3 L
1
M
1
L
M
0
0
L
0
1
0
M

0
0
(9)9
Reemplazando valores en (8):
0 4 0 1 4 0
T =
⋅
=

4 0 1 0 0 4
0 
0.25
⇒ T −1 = 
0.25
 0
A continuación se puede utilizar la fórmula (7) de la forma canónica controlable:
0 
0.25
K = [34.26 4]⋅ 
0.25
 0
∴ K = [8.565 1]
_________________
7
8
9
Referencia [1]
Referencia [1]
Referencia [1]
9
Método 2: Método Directo
det(sI − A + BK ) = (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 )
(10)10
det (sI − A + BK ) = s 2 + 4 K 2 ⋅ s + (4 K 1 − 24.5)
(s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = (s + 2 + j 2.4) ⋅ (s + 2 − j 2.4)
(s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 4s + 9.76
Igualando los dos polinomios característicos deseados se obtienen los valores de
las constantes:
4K 2 = 4
⇒ K2 = 1
(4 K1 − 24.5) = 9.76 ⇒ K1 = 8.565
∴ K = [8.565 1]
Método 3: Fórmula de Ackermann
[
K = [0 0 L 0 1] ⋅ B
A ⋅ B L A n −1 ⋅ B
]
−1
⋅ φ ( A)
(11)11
Donde φ ( A) = Ecuación característica definida por el teorema de Caley Hamilton
φ ( A) = A n + α 1 ⋅ A n −1 + L + α n −1 ⋅ A + α n ⋅ I
α1 , α 2 , L, α n = coeficientes de la ecuación característica deseada
Dado que n = 2 , la ecuación (11) se reduce a:
34.26
φ ( A) = A 2 + 4 ⋅ A + 9.76 ⋅ I = 
 98
4 
34.26
De igual manera la ecuación (10) se reduce porque n = 2 :
K = [0 1] ⋅ [B
A ⋅ B ] ⋅ φ ( A)
−1
−1
4 
0 4 34.26
K = [0 1] ⋅ 
⋅


4 0  98 34.26
∴ K = [8.565 1]
_________________
10
11
12
Referencia [1]
Referencia [1]
Referencia [1]
(12)12
10
FIGURA 1.- Sistema de control regulador con retroalimentación de estado con señal de control
u = −K ⋅ x
2.1.1.2 Diseño de la Realimentación de Estado para un Sistema de Seguimiento
Ejemplo 2.1.1.2
Diseñar el sistema de control de un servosistema para el cual la planta no tiene
integrador y está definida por la siguiente función de transferencia:
G(s) =
4
( s + 1) ⋅ ( s + 2)
Paso 1:
Representación en variables de estado
 x&1   0 + 1  x1  0
 x&  = − 2 − 3 ⋅  x  + 4 ⋅ u
 2 
  2  
x 
y = [1 0] ⋅  1 
 x2 
 0 + 1
0
⇒ A=
; B =   ; C = [1 0]

− 2 − 3
 4
Paso 2:
Se verifica si el sistema definido por la ecuación de error del estado (13), es de
estado completamente controlable.
11
Por tanto la ecuación de error del estado es:
e& = Aˆ e + Bˆ u e
(13)13
1 0
0
 A 0 

ˆ
⇒
A=
 =  − 2 − 3 0 ,
−
C
0

  − 1 0 0


1 0
0
0 


⇒ e& = − 2 − 3 0 ⋅ e + 4 ⋅ u e
 − 1 0 0
0
Kˆ = [K
u e = − Kˆ ⋅ e
− k I ] = [k1
k2
0
 B   ,
ˆ
B =   = 4
 0  0
 
(14)14
− kI ]
(15)15
A continuación se analiza el rango de la matriz P
 A
P=
− C
B
0 
(16)16
1 0
0

P = − 2 − 3 4
 − 1 0 0
⇒ El rango de la matriz P es tres y coincide con el orden n + 1 = 3 del nuevo
sistema (sistema que ahora contiene integrador)
∴ El sistema definido por la ecuación de error del estado es completamente
controlable por tanto se puede ubicar arbitrariamente los polos.
Paso 3:
Se asume tres polos deseados de lazo cerrado ya que al añadir el integrador el
orden del sistema es tres. Cuando la planta es sencilla como la de este ejemplo,
el tercer polo deseado µ 3 se puede elegir aproximadamente entre 3 a 5 veces
mayor que la parte real de los polos µ1− 2 , lo cual no constituye una regla estricta a
cumplir como se verá en el capítulo 4 para una planta más compleja.
µ1 = −2.5 + j ; µ2 = −2.5 − j
_________________
13
14
15
16
Referencia [1]
Referencia [1]
Referencia [1]
Referencia [1]
y µ3 = −9
12
Paso 4:
Determinar el valor de la matriz K̂ mediante el método de la ubicación de polos
deseados de lazo cerrado.
Kˆ = [α n +1 − an+1 α n − an ... α1 − a1 ]⋅ T −1
(17)17
Empleando la ecuación (3), la ecuación característica para este nuevo sistema es:
det s ⋅ I − Aˆ = s 3 + 3s 2 + 2s
= s 3 + a1 s + a 2 s + a3
 a1 = 3

⇒ a 2 = 2
a = 0
 3
La ecuación característica deseada es:
( s − µ1 ) ⋅ ( s − µ 2 ) ⋅ ( s − µ3 ) = s 3 + 14s 2 + 52.25s + 65.25
= s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
 α 1 = 14

⇒ α 2 = 52.25
α = 65.25
 3
Matriz de transformación T:
(18)18
T = Nˆ c ⋅ W
[
Nˆ c = Bˆ
Aˆ ⋅ Bˆ
a 2
W =  a1
 1
0
ˆA 2 ⋅ Bˆ = 4

0
a1 1 2
1 0 = 3
0 0 1
]
+ 4 − 12 
− 12 + 28 ;
0
− 4 
3 1
1 0
0 0
 0 4 0
⇒ T = Nˆ c ⋅ W =  0 0 4


− 4 0 0
_________________
17
18
Referencia [1]
Referencia [1]
13
⇒T
−1
0
− 0.25
 0

= 0.25
0
0 
 0
0.25
0 
Reemplazando los correspondientes valores en la ecuación (17), se encuentra el
valor de la matriz K̂ .
Kˆ = [α 3 − a 3 α 2 − a 2
α 1 − a1 ] ⋅ T −1
0
− 0.25
 0

ˆ
K = [65.25 50.25 11] ⋅ 0.25
0
0 
 0
0.25
0 
Kˆ = [12.5625 2.75 − 16.3125] = [K − k I ] = [k1
∴ K = [12.5625
k2
− kI ]
2.75] ; k I = 16.3125
Paso 5:
Calcular los valores de x(∞) , y (∞) , u (∞) y ξ (∞)
 x&   A 0  x   B 
0 
ξ&  = - C 0 ⋅ ξ  +  0  ⋅ u + 1 ⋅ r
  
    
 
(19)19
Donde: u = − Kx + k I ξ
(20)20
 x&   A - B ⋅ K B ⋅ k I   x  0
⋅
+
⋅r
ξ& =  - C
0  ξ  1 
  
1 
 0
 0 
A- B⋅K = 
;
B ⋅ kI = 


− 52.25 − 14
65.25
⇒
∴
+1
0   x1  0
 x&1   0
 x&  =  − 52.25 − 14 65.25 ⋅  x  + 0 ⋅ r
 2 
  2  
 ξ&   − 1
0
0   ξ  1
En estado estable a partir de las ecuaciones:
x& = A ⋅ x + B ⋅ u
ξ& = r − y = r − Cx
_________________
19
20
21
Referencia [1]
Referencia [1]
Referencia [1]
(21)21
14
Se tiene que:
x& (∞) = 0 = A ⋅ x (∞) + B ⋅ u (∞)
ξ&(∞) = 0 = r − y (∞) = r − C ⋅ x(∞)
(22)22
De lo cual:
0   A
0  =  − C
  
B   x ( ∞ )  0 
⋅
+
0  u (∞)  r 
(23)23
Donde
1 0
0
B 
= − 2 − 3 4 = P
0  
 − 1 0 0
 A
− C

Y como se mencionó antes, el rango de esta matriz P es igual a n + 1 = 3
∴ ∃ La matriz inversa de P es decir P −1
Despejando de la ecuación (23) el segundo miembro de la ecuación:
x (∞)   A
=
u (∞) − C
⇒ 
Donde P −1
 7.5 × 10 −15

=
1
 0.75

 x1 (∞)  7.5 × 10
⇒  x 2 (∞) = 
1


 u (∞)   0.75
−15
−1
B  0 
⋅
0  − r 
+ 2 × 10 −15
− 1 × 10
0.25
+ 2 × 10 −15
− 1 × 10
0.25
−15
−15
r 
y (∞) = C ⋅ x(∞) = [1 0] ⋅   = r
0 
_________________
22
23
24
Referencia [1]
Referencia [1]
Referencia [1]
−1


1 × 10 
− 0.5 
−15
−1   0   + r 

1 × 10 −15  ⋅  0  =  0 
− 0.5  − r  0.5r 
Despejando y (∞) de la ecuación (22)
Dado que:
(24)24
x& (∞ ) = 0 = A ⋅ x (∞ ) + B ⋅ u (∞ )
15
1   r  0 
0   0
0 = − 2 − 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ u (∞)
  
    
0  0  0 
 0  =  − 2 r  +  4  ⋅ u (∞ )
  
  
0  0 
u ( ∞) ⋅   =  
 4  2 r 
⇒ u ( ∞) =
r
2
A partir del diagrama de bloques, se conoce que:
u = −K ⋅ x + k I ⋅ ξ
Y por tanto:
⇒
u (∞) = − K ⋅ x(∞) + k I ⋅ ξ (∞)
r 
r
= −[12.5625 2.75] ⋅   + [16.3125] ⋅ ξ (∞)
2
0
⇒ ξ (∞) = 0.8 ⋅ r
Si r = 1 ⇒ ξ (∞) = 0.8
Paso 6:
Dibujar el diagrama de bloques del sistema de control retroalimentado
FIGURA 2.- Sistema de control de seguimiento cuando la planta no tiene integrador
16
2.1.2 OBSERVADOR DE ESTADO
Como se explicó anteriormente, en un proceso real por lo general no se tienen
todas las variables de estado disponibles para ser realimentadas, motivo por el
cual deben ser estimadas mediante un dispositivo o un programa de computadora
llamado observador de estado. “El observador de estado estima las variables de
estado con base a la medición de las variables de salida y de control”25. El diseño
de observadores de estado se lo efectúa de forma totalmente independiente con
respecto a los diseños de realimentación de estado.
Los observadores de estado se clasifican de acuerdo a las variables de estado
que van a estimar, por ejemplo un observador que estima tanto las variables
disponibles como no disponibles para ser medidas directamente se conoce como
observador de estado de orden completo, mientras que un observador de estado
que estima únicamente las variables no medibles, es decir un número menor a n
( n es el orden del sistema) se denomina observador de orden reducido. Además
a un observador que estima sólo las variables de orden mínimo se denomina
observador de orden mínimo.
Este tema de titulación sólo trata acerca de los observadores de estado de orden
completo. A continuación se desarrolla el diseño de observadores de orden
completo para los dos ejercicios anteriores, tanto de regulación como
seguimiento.
2.1.2.1 Diseño de un Observador de Estado de Orden Completo para un Sistema
Regulador
Ejemplo 2.1.2.1
Sea un sistema regulador definido por la siguiente función de transferencia,
diseñar el observador de estado de orden completo:
G( s) =
_________________
25
Referencia [1]
4
s − 24.5
2
17
Paso 1:
Representación en variables de estado
x& = A ⋅ x + B ⋅ u
y = C ⋅ x + D ⋅u
1   x1  0 
 x&1   0
 x&  = 24.5 0 ⋅  x  +  4 ⋅ u
  2  
 2 
x 
y = [1 0] ⋅  1 
 x2 
⇒
1
 0
0
A=
; B =  ; C = [1 0]; D = 0

24.5 0
4
Paso 2:
Condición necesaria y suficiente para la observación de estado: Observabilidad
completa
[
NO = C *
[
NO = C*
( A* ) n −1 C *
A*C *
]
]
1 0
A*C * = 

0 1 
El rango de N O es 2 y también n = 2
Además el det( N O ) = 1 ≠ 0
∴El sistema es completamente observable
Paso 3:
Antes del cálculo de la matriz K e , se asume dos polos deseados de lazo cerrado
ya que sistema original es de segundo orden. Normalmente se escogen polos
deseados para observador de estado 10 veces mayores que la parte real de los
polos µ1− 2 de realimentación de estado, pero esto tampoco es una regla a seguir
como se ve a continuación.
µ1 = −2 + j 2.4 ; µ 2 = −2 − j 2.4
18
Método 1: Forma Canónica Observable
α n − an
α n −1 − an −1
α n − an
α n −1 − an −1
.
Ke = Q
.
* −1
O
= (W ⋅ N )
.
.
(25)26
.
.
.
.
α1 − a1
α1 − a1
W =
a n −1
a n−2
a n−2
a n −3
.
.
...
...
a1
1
1
0
.
.
.
.
.
.
.
a1
.
1
...
.
0
.
0
1
0
...
0
0
(26)27
a1 , a2 ,…, an−1 son coeficientes de la ecuación característica de la ecuación de
estado original.
det s ⋅ I − A = s 2 − 24.5 = s 2 + a1 ⋅ s + a 2
 a =0
⇒ 1
a 2 = −24.5
Debido a que n = 2 , la matriz W se reduce a:
a
W = 1
1
1 0 1
=
0 1 0
α n − an
α n −1 − a n −1
* −1
Q = (W ⋅ N O )
0 1 
=
 Ke = Q ⋅
1 0
.
.
.
.
α 1 − a1
_________________
26
27
28
Referencia [1]
Referencia [1]
Referencia [1]
=Q⋅
α 2 − a2
α 1 − a1
(27)28
19
α1 y α 2 salen de la ecuación característica deseada.
Ecuación característica deseada con los polos deseados
µ1 = −2 + j 2.4 y µ 2 = −2 − j 2.4
(s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76
s 2 + 4 ⋅ s + 9.76 = s 2 + α1 ⋅ s + α2
 α1 = 4
⇒
α 2 = 9.76
Reemplazando los valores correspondientes en la ecuación (27):
Ke = Q ⋅
α 2 − a 2 0 1 34.26  4 
=
⋅
=
α 1 − a1 1 0  4  34.26
∴ K e = 
4 

34.26
Método 2: Método Directo
det s ⋅ Ι − ( A − K e ⋅ C ) = ( s − µ 1 ) ⋅ ( s − µ 2 )
(28)29
 k e1 
k 
 e2 
Donde K =  . 
e
 . 
 
 . 
 k en 
Se igualan la ecuación característica del observador y la ecuación característica
deseada para obtener los elementos ke1 , k e 2 ,…, k en de la matriz K e .
La ecuación característica del observador es:
det s ⋅ Ι − ( A − K e ⋅ C ) = s 2 + K e1 ⋅ s + (K e 2 − 24.5)
_________________
29
Referencia [1]
20
La ecuación característica deseada es:
(s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76
Igualando las dos ecuaciones:
s 2 + K e1 ⋅ s + (K e 2 − 24.5 ) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76
K e1 = 4


 K e 2 − 24.5 = 9.76
∴ K e =  4 
34.26
⇒
Método 3: Fórmula de Ackermann
−1
C
CA
.
K e = K = φ ( A) ⋅
*
0
0
.
⋅ .
.
.
.
0
n−2
CA
CA n −1
⇒
 C 
K e = K = φ ( A) ⋅ 

C ⋅ A
*
1
−1
⋅
0
1
Donde: φ ( A) se obtiene por analogía con φ (s ) :
φ ( s) = (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76
φ ( A) = A2 + 4 ⋅ A + 9.76 ⋅ I
4 
34.26
34.26
 98
φ ( A) = 
−1
⇒
4  1 0 0
 C  0 34.26
K e = K = φ ( A) ⋅ 
⋅ =
⋅
⋅

34.26 0 1 1
C ⋅ A 1  98
*
∴ K e = 
4 

34.26
_________________
30
31
Referencia [1]
Referencia [1]
(29)30
(30)31
21
Paso 4:
Ecuación de estado de orden completo:
x& = ( A − K e ) ⋅ x + B ⋅ u + K e ⋅ y
(31)32
Debido a que se está trabajando con un sistema de control mediante la
realimentación del estado observado en lugar del control mediante la
realimentación de estado real, se debe considerar la señal de control:
u = −K ⋅ x
(32)33
⇒ La ecuación de estado de orden completo queda de la siguiente forma:
x& = ( A − K e ⋅ C − B ⋅ K ) ⋅ x + K e ⋅ y
(33)34
Donde K = [8.565 1]
&
⇒  x1  =  0
 x& 2 
 x   4 
1  4 
0 
−
⋅ [1 0] −   ⋅ [8.565 1] ⋅  1  + 


⋅ y
4 
 24.5 0 34.26
  x 2  34.26
&
 x& 2 
−4
+ 1  x1   4 
⋅ +
⋅ y
− 44.02 − 4  x2  34.26
∴  x1  = 
Paso 5:
Diagrama de bloques del sistema regulador con una realimentación del estado
observado se encuentra en la figura 3.
_________________
32
Referencia [1]
33
Referencia [1]
34
Referencia [1]
22
FIGURA 3.- Diagrama de bloques del sistema regulador con realimentación de estado observado
En el sistema regulador de la figura 3 se puede ver que la referencia r = 0 . Este
tipo de sistemas se utiliza en uno de los casos de péndulo invertido, en el cual se
requiere que en el estado de equilibrio se mantengan en cero tanto el vector de
espacio de estados como la salida del sistema (figuras 4 y 5) y por lo cual ante la
presencia de perturbaciones, estas variables de estado vuelvan a tomar el valor
de cero (figura 6).
Figura 4.- Formas de onda obtenidas a partir del diseño de la Figura 3 cuando el sistema se mantiene en estado de
equilibrio: (4a) Estado real x1; (4b) Estado estimado x1
23
Figura 5.- Formas de onda obtenidas a partir del diseño de la Figura 3 cuando el sistema se mantiene en estado de
equilibrio. En la parte superior se observan el estado real x2 y el estado estimado x2 mientras que en la
parte inferior se tiene la salida real y y la salida estimada y
En la figura 6 se presentan las formas de onda para el diseño de la figura 3, pero
ahora se considera la existencia de algún tipo de perturbación en el sistema al
iniciar la simulación, esto se puede conseguir dando condiciones iniciales en el
vector de espacio de estados (para este ejemplo se asumirá x1 (0) = 0.5 y x 2 (0) = 0 ).
Con las curvas de la figura 6 se representa la utilidad que tiene este tipo de
sistema regulador en aplicaciones de péndulos invertidos donde la presencia de
algún tipo de perturbación como una ráfaga de viento, hace que el péndulo se
mueva de su estado de equilibrio. En estado de equilibrio, el ángulo entre el
péndulo y la vertical es θ (0) = 0 y debido a la presencia de la perturbación pasa a
ser θ (0) = x1 (0) = 0.5 . La otra variable de estado es θ&(0) = x 2 (0) = 0 .
24
Figura 6.- Formas de onda obtenidas al aplicar condiciones iniciales
x1 (0) = 0.5
y
x 2 ( 0) = 0
Las formas de onda de la figura 6 indican como el sistema regulador logra que los
estados y la señal de salida retornen a cero ante la presencia de una posible
perturbación.
2.1.2.2 Diseño de un Observador de Estado de Orden Completo para un Sistema de
Seguimiento
Ejemplo 2.1.2.2
Diseñar el observador de estado de orden completo de un servosistema para el
cual la planta no tiene integrador y está definida por la siguiente función de
transferencia:
G ( s) =
4
( s + 1) ⋅ ( s + 2)
25
Paso 1:
Representación en variables de estado
 x&1   0 + 1  x1  0
 x&  = − 2 − 3 ⋅  x  + 4 ⋅ u
  2  
 2 
x 
y = [1 0] ⋅  1 
 x2 
 0 + 1
0
⇒ A=
; B =   ; C = [1 0]

− 2 − 3
4
Paso 2:
Condición necesaria y suficiente para la observación de estado: Observabilidad
completa
[
NO = C*
[
NO = C*
( A* ) n −1 C *
A* C *
]
]
1 0 
A*C * = 

0 1 
El rango de N O es dos y también n = 2
Además el det (N O ) = 1 ≠ 0
∴ El sistema es completamente observable
Paso 3:
Se determina el valor de la matriz K e mediante el método de la ubicación de
polos deseados de lazo cerrado.
Se asume dos polos deseados de lazo cerrado ya que el orden del sistema
original es 2:
µ1 = −27 ; µ 2 = −27
26
Método 1: Forma Canónica Observable
α n − an
α n −1 − a n −1
α n − an
α n −1 − a n −1
.
.
Ke = Q
Donde a1 , a 2 ,…,
.
.
* −1
O
= (W ⋅ N )
.
.
.
.
α 1 − a1
α 1 − a1
an−1 son coeficientes de la ecuación característica de la
ecuación de estado original
det s ⋅ I − A = s 2 + 3s + 2 = s 2 + a1 ⋅ s + a 2
a = 3
⇒ 1
a 2 = 2
 a 1 3 1
Debido a que n = 2 , la matriz W se reduce a: W =  1  = 

 1 0 1 0
0 1 
*
Q = (W ⋅ N O ) −1 = 

1 − 1
Ke = Q ⋅
α 2 − a2
α 1 − a1
Polos deseados y ecuación característica deseada:
µ1 = −27 y µ 2 = −27
(s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 54 ⋅ s + 729
⇒
Ke = Q ⋅
s + 54 ⋅ s + 729 = s + α1 ⋅ s + α2
2
2
α 2 − a 2 0 + 1 727  51 
=
⋅
=
α 1 − a1 1 − 3  51  574
51
∴ K e =  
574
 α = 54
⇒ 1
α 2 = 729
27
Método 2: Método Directo
 k e1 
k 
 e2 
det s ⋅ Ι − ( A − K e ⋅ C ) = ( s − µ 1 ) ⋅ ( s − µ 2 ) ; Donde K =  . 
e
 . 
 
 . 
 k en 
Se igualan la ecuación característica del observador y la ecuación característica
deseada para obtener los elementos ke1 , k e 2 ,…, k en de la matriz K e .
La ecuación característica del observador es:
det s ⋅ Ι − ( A − K e ⋅ C ) = s 2 + (3 + K e1 ) ⋅ s + (3K e1 + K e 2 + 2)
La ecuación característica deseada es: (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 54 ⋅ s + 729
s 2 + (3 + K e1 ) ⋅ s + (3 K e1 + K e 2 + 2 ) = s 2 + 54 ⋅ s + 729
Igualando las dos ecuaciones:
 K e1 = 51

K e 2 = 574
⇒
∴ K e =  51 
574 
Método 3: Fórmula de Ackermann
C
CA
K e = K = φ ( A) ⋅
*
−1
0
0
.
.
.
⋅ .
.
.
n−2
CA
CA n −1
⇒
 C 
K e = K = φ ( A) ⋅ 

C ⋅ A
*
0
1
Donde: φ ( A) se obtiene por analogía con φ (s ) :
φ ( s) = (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 54 ⋅ s + 729
φ ( A) = A 2 + 54 ⋅ A + 729 ⋅ I
−1
⋅
0
1
28
−1
51  1 0 0
 C 
0  727
K e = K * = φ ( A) ⋅ 
⋅  = 

⋅
⋅  
C ⋅ A
1 − 102 574 0 1 1
⇒
∴ K e =  51 
574 
Paso 4:
Ecuación de estado de orden completo ecuación (31):
x& = ( A − K e ) ⋅ x + B ⋅ u + K e ⋅ y
Señal de control:
u = −K ⋅ x + k I ⋅ ξ
(34)35
La ecuación de estado de orden completo queda de la siguiente forma:
x& = ( A − Ke ⋅ C − B ⋅ K ) ⋅ x + B ⋅ kI ⋅ ξ + Ke ⋅ y
(35)36
 K = [12.5625 2.75]
Donde  k I = 16.3125
 ξ = 0.77011494

  x  0 
 x&   0 + 1  51 
0 
 51 
⇒  1  = 
−   ⋅ [1 0] −   ⋅ [12.5625 2.75] ⋅  1  +   ⋅ k I ⋅ ξ +   ⋅ y

 4
574
 x& 2  − 2 − 3 574
  x 2   4
&
− 51
+ 1   x1  0
 51 
⋅   +   ⋅ kI ⋅ξ +   ⋅ y

− 626.25 − 14  x 2  4
574
∴  x1  = 
 x& 2 
_________________
35
36
Referencia [1]
Referencia [1]
29
Paso 5:
Diagrama de bloques del sistema de seguimiento con una realimentación del
estado observado y una referencia r = 2 :
FIGURA 7.- Diagrama de bloques del sistema de seguimiento con realimentación de estado observado
Señales obtenidas del diagrama de bloques, estado real x1 y estado estimado
x1 estimado :
Figura 8.- Formas de onda obtenidas a partir del diseño de la Figura 7: (8a) Estado real x1; (8b) Estado estimado x1
30
Figura 9.- Formas de onda obtenidas del sistema de seguimiento de la figura 7. En la parte superior se observan
el estado real x2 y el estado estimado x2 mientras que en la parte inferior se tiene la salida real y y la
salida estimada y
Este tipo de sistemas de seguimiento se emplea en péndulos invertidos en los
que el dispositivo que proporciona la fuerza estabilizadora u requiere moverse
todo el tiempo siguiendo una referencia distinta de cero.
En el diseño de seguimiento presentado en esta sección no se analiza la
respuesta ante perturbaciones ya que en los capítulos posteriores se presenta un
amplio análisis de las perturbaciones en un sistema de seguimiento de una planta
de mayor aplicación como es el elevador de voltaje dc/dc. Para mayor información
sobre péndulos invertidos consultar la referencia [1].
31
2.1.3 TUTORIAL PARA DISEÑO DE ESPACIO DE ESTADO CON MATLAB
Debido a que uno de los casos de estudio de las técnicas de control avanzado
aplicadas al elevador de voltaje es espacio de estado con seguimiento, en esta
sección se diseña tanto la realimentación como el observador de estado
únicamente para el ejemplo anterior de seguimiento, más no para el caso de
regulación.
Ejemplo 2.1.3
Diseñar el sistema de control de un servosistema para el cual la planta no tiene
integrador. El sistema de control debe ser diseñado mediante realimentación de
estado y observador de estado. La planta está definida por la siguiente función de
transferencia:
G(s) =
4
( s + 1) ⋅ ( s + 2)
Paso 1:
Analizar el comportamiento de la planta tanto en lazo abierto como en lazo
cerrado con realimentación unitaria. En las figuras 10a y 10b se presenta el
análisis.
FIGURA 10.- Procedimiento de diseño de realimentación de estado observado para un sistema con seguimiento: (a) Planta
en lazo abierto y sin realimentación de estado; (b) Planta en lazo cerrado con realimentación unitaria pero sin
realimentación de estado observado
32
En base al paso 1 se puede concluir que la señal de salida no sigue la referencia
establecida r = 2 y que en lazo cerrado existe Mp (máximo sobreimpulso), por lo
cual el sistema requiere un controlador que proporcione ganancia al sistema para
alcanzar la referencia y que además disminuya el Mp.
Paso 2:
Diseño de un sistema de control mediante realimentación de estado observado.
Primero se diseña la realimentación de estado para seguidamente calcular el
correspondiente observador de estado de orden completo.
2.1.3.1 Diseño de Realimentación de Estado para el Sistema de Seguimiento
Haciendo uso del método de Fórmula de Ackermann y del toolbox control system
de espacio de estado de Matlab, se diseña la matriz de ganancias K̂ para
realimentación de estado.
FIGURA 11.- Programa para determinar la matriz de ganancias de realimentación de estado.
1. Variables de estado de la función de transferencia de la planta
33
FIGURA 12.- Programa para determinar la matriz de realimentación de estado
K y la ganancia integral k i
2. Verificación de requisitos para la ubicación de polos
3. Ingreso de polos deseados en el programa
4. Salida de las constantes
K1 , K 2
y
ki
La matriz Nc1 se calcula por medio de la ecuación (2), el rango de dicha matriz se
calcula con el comando rank, el polinomio característico deseado Pr e se obtiene
con el comando poly y el polinomio característico Fi Re con el comando polyvalm.
34
En la figura 13 se presenta una forma más rápida y alternativa para el cálculo de
la matriz de ganancias K̂ , este método no requiere mayores conocimientos de la
teoría de realimentación de estado expuesta anteriormente para este tipo de
diseños sólo se requiere del comando acker del toolbox de control system.
FIGURA 13.- Forma alternativa de cálculo de la matriz de ganancias
K̂ , mediante el toolbox de control system
2.1.3.2 Diseño de un observador de estado de orden completo para el sistema de
seguimiento
La matriz de observabilidad se calcula con la ecuación: N O = [C *
]
A* C * . Los
comandos rank, poly, polyvalm se emplean en forma análoga con la
realimentación de estado pero ahora tomando en cuenta que los polinomios
característicos deseados son: POe y FiOe .
35
Finalmente con el método de Fórmula de Ackermann para observador de estado
de orden completo se calcula la matriz de ganancias K e .
FIGURA 14.- Diseño de la matriz de ganancias del observador de estado de orden completo
Ke
1. Verificación de condiciones de observabilidad
2. Ingreso de polos deseados
3. Salida de las constantes de la matriz del observador
De igual forma que para realimentación de estado, en la figura 15 se presenta la
forma alternativa para el cálculo de la matriz de ganancias K e del observador de
estado mediante el comando acker del toolbox de control system.
36
FIGURA 15.- Forma alternativa de cálculo de la matriz de ganancias
K e , mediante el toolbox de control system
Paso 3:
Implementar el sistema de control por realimentación de estado observado con las
matrices de ganancias encontradas en los pasos anteriores y hacerlo funcionar
con la planta. Las siguientes figuras 16a, 16b y 16c muestran una implementación
hecha con el primer método utilizado en Matlab para el cálculo de las matrices de
ganancias K̂ y K e .
FIGURA 16a.- Planta con realimentación de estado observado, matrices de ganancias calculadas con subrutinas de Matlab
a partir de uno de los procedimientos teóricos
37
FIGURA 16b.- Formas de onda para el diagrama de bloques de la figura 16a: (b1) Estados x1 real y x1 estimado; (b2)
Estados x2 real y x2 estimado; (b3) Salidas y real y y estimado
En las figuras 16a, 16b y 16c se comprueba que el método de espacio de estado
para seguimiento es efectivo, ya que la señal de salida consiguió alcanzar a la
referencia r = 2 con este tipo de controlador y además el Mp disminuyó
considerablemente al punto de ser eliminado. También se pudo verificar que las
38
variables de salida estimadas siguen fielmente a la variable de salida real en los
tres métodos de cálculo empleados. Esta última afirmación se comprueba en la
figura 16c porque en lugar de aparecer dos curvas diferentes en cada gráfico (una
para el parámetro real y otra para el estimado), se tiene una sola que representa a
las dos ya que tanto el parámetro real como el estimado están traslapados.
FIGURA 16c.- Formas de onda de estados reales y estimados para el diagrama de bloques de la figura 16a: (c1) Estados x1
real y x1 estimado; (c2) Estados x2 real y x2 estimado; (c3) Salidas y real y y estimado
Dependiendo de la complejidad del proceso, las matrices de ganancias pueden o
no funcionar correctamente desde la primera ocasión en que sean colocadas en
el controlador. Si el proceso es sencillo el sistema funcionará desde la primera
vez o en caso contrario dichas matrices requerirán de uno o varios ajustes
(proceso de sintonización). Si en último caso no cumplen las expectativas de
diseño, se debe escoger otros polos deseados. El proceso de sintonización
depende de dos factores: el primero, del conocimiento que tenga el ingeniero en
cuanto al funcionamiento de su planta y el segundo sobre el conocimiento que
tenga acerca de la teoría de espacio de estado.
39
2.2
CONTROL ROBUSTO
De acuerdo a ciertos autores como Dorf y otros, los sistemas de control robusto
pueden ser desarrollados con métodos simples tales como respuesta de
frecuencia, lugar geométrico de las raíces que pertenecen al control clásico o con
los de control avanzado, índice de comportamiento ITAE (Integral Time Absolute
Error), métodos H 2 y H ∞ , LTR (Loop Transfer Recovery), métodos de diseño IMC
(Internal Model Control), método QFT (Quantitative Feedback Theory), entre
otros.
a) La respuesta de frecuencia consiste en encontrar un compensador de tal
forma que al minimizar tanto la sensibilidad de lazo cerrado como el efecto de
perturbación, se obtenga una ganancia y un margen de fase adecuados [2].
b) El lugar geométrico de las raíces para controladores PID, es descrito por Dorf
mediante los siguientes pasos:
1. Colocar los polos y ceros de G ( s ) / s en el plano s , donde G (s ) representa
la función de transferencia de la planta.
2. Seleccionar
una localización de ceros de la función del compensador
GC (s ) que resulten en un lugar de las raíces aceptables y raíces
dominantes adecuadas.
3. Comprobar la respuesta transitoria del sistema compensado e iterar el
paso dos si es necesario 37.
c) El índice de comportamiento ITAE se minimiza mediante selección de los tres
coeficientes típicos de un controlador PID, para lo cual se requieren los
siguientes pasos [2]:
_________________
37
Referencia [2]
40
1. Elegir ω n del sistema de lazo cerrado especificando el tiempo de
establecimiento
2. Determinar los tres coeficientes utilizando la ecuación óptima apropiada y
la ω n del paso 1 para obtener GC (s ) .
3. Determinar un prefiltro G p (s ) de forma que la función de transferencia del
sistema en lazo cerrado, T (s ) no tenga ningún cero 38.
d) Los métodos H 2 y H ∞ están relacionados con la minimización del valor pico
de la respuesta de frecuencia de cierta función en lazo cerrado.
e) LTR apareció para mejorar la robustez de los controladores del procedimiento
LQG (Lineal Cuadrático Gaussiano). LQG es un procedimiento de optimización
en el dominio frecuencial que emplea un observador para estimar los estados
(el observador es un filtro de Kalman KBF) cuando el sistema está sometido a
perturbaciones estocásticas y / o el vector de estado no es accesible.
El problema del método LTR es encontrar un controlador con una estructura
determinada que recupere la FTLAD (Función Matriz de transferencia en lazo
abierto deseada) ya que el comportamiento en lazo cerrado y la robustez del
sistema dependen de dicha matriz. Los métodos LTR pueden o no basarse en
observador [3].
f) El
principio
de
diseño
IMC
(Internal
Model
Control)
dice
que
si
GC ( s ) ⋅ G ( s ) contiene R (s ) (función de transferencia de la señal de referencia),
entonces y (t ) seguirá a r (t ) asintóticamente (en el estado estacionario) y el
seguimiento es robusto 39.
_________________
38
39
Referencia [2]
Referencia [2]
41
g) QFT (Quantitative Feedback Theory) tiene como objetivo obtener un gran
ancho de banda para una función de transferencia en lazo cerrado con una
ganancia de lazo K elevada40.
2.2.1 TEORÍA BÁSICA DEL CONTROL ROBUSTO
Para entender de lo que se trata la robustez, se requiere tanto de definiciones
básicas de tipo matemático como de las propias del control robusto.
2.2.1.1 Definiciones Matemáticas
Valores Singulares.- Los valores singulares de una matriz G ∈ C n×n de rango r y
denotados por σ i , “son las raíces cuadradas no negativas de los valores propios
de G ∗G ”41
σ i (G ) = λ (G * G )
(36)42
Donde G * es la matriz transpuesta y conjugada; y, los valores singulares están
ordenados de la siguiente manera:
σ 1 > σ 2 > ... > σ n
Si r < n entonces existen n − r valores singulares iguales a cero, es decir:
σ r +1 = σ r + 2 = ... = σ n = 0
Por lo tanto cuando se habla del rango de una matriz A , es igual al número de
valores singulares de A diferentes de cero [5].
_________________
40
41
42
Referencia [2]
Referencia [4]
Referencia [4]
42
Máximo y Mínimo Valor Singular.- El máximo y mínimo valores singulares de una
matriz función de transferencia G (s ) denotan la máxima y mínima ganancia de
dicha matriz G (s ) respectivamente [5]. Y se representan por las siguientes
ecuaciones:
σ (G ) = máx
Gx
σ (G ) = mín
Gx
x ≠0
x
x ≠0
x
= Máximo valor singular de G (s )
(37)43
= Mínimo valor singular de G (s )
(38)44
Norma de un Vector.- La norma de un vector x denotado como x , es una medida
del tamaño de x .
Si el vector es de la forma x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , la definición
matemática de norma es la euclidiana [6].
1
2


x = ∑ xi2  = Norma euclidiana del vector x
 i =1 
n
(39)45
Norma de una Matriz.- La norma de una matriz Am×n , está definida en términos de la
norma de un vector asociado x de la siguiente manera [6]:
A = máx Ax
x =1
(40)46
A partir de esta definición y considerando la ecuación (37), la norma de una matriz
A alcanza el valor de [6]:
1


σ ( A) = λ máx ( A * A) 2  = Máximo valor singular de A


_________________
43
44
45
46
47
Referencia [6]
Referencia [6]
Referencia [4]
Referencia [4]
Referencia [4]
(41)47
43
Se debe señalar que para sistemas SISO (sistemas de una sola entrada, una sola
salida), el máximo valor singular de la matriz A equivale a:
σ ( A) = A
(42)48
Norma H∞ de una Matriz.- “La norma H ∞ de una matriz G ( jw) , está definida por el
supremo de sus máximos valores singulares”49, es decir:
G ( jw)
∞
= sup σ [G ( jw)]
(43)50
w
Que representa el máximo módulo posible de la matriz G sobre todo el rango de
frecuencias w [6].
Ecuación Algebraica de Riccati (ARE).- Doyle define a la ecuación algebraica de
Riccati como una ecuación matricial de la forma:
AT X + XA − XRX + Q = 0
(44)51
A , Q y R son matrices cuadradas de dimensión n , con Q y R simétricas.
Matriz Hamiltoniana Asociada H .- Si A , Q y R son matrices cuadradas de
dimensión n , con Q y R simétricas, la matriz hamiltoniana asociada no tiene
valores propios en el eje imaginario y se define como [3]:
−R 
 A
H =
T 
− Q − A 
_________________
48
49
50
51
52
Referencia [6]
Referencia [6]
Referencia [6]
Referencia [11]
Referencia [11]
(45)52
44
Solución de la ARE.- Si la ecuación (44) fuera de tipo escalar, sólo tendría dos
raíces o dos soluciones de la forma:
X 1− 2
A ± A2 + R ⋅ Q
=
R
(46)
2n
Pero como es matricial tiene   = (2n)!2 soluciones.
n
(n!)
Interesa entonces conocer aquella única solución que hace que la matriz A − RX
sea estable, es decir que todos sus valores propios tengan parte real negativa, la
cual se representa como sigue:
X = Ric(H )
(47)53
Ric( H ) = T21T11−1
(48)54
H : Es la matriz hamiltoniana asociada. Se denomina así porque si la ecuación
(44) fuera escalar, H sería como la expresión A2 + R ⋅ Q de la ecuación (46)
que está asociada a las dos soluciones.
T21 , T11 : Son elementos de una matriz T de orden 2 × 2 tal que se cumpla que
A
T −1 HT =  11
0
A12 

A22 
(48)55
“Con la propiedad de que la matriz A11 tiene todos sus valores propios con parte
real negativa”56.
_________________
53
54
55
56
Referencia [3]
Referencia [3]
Referencia [3]
Referencia [3]
45
2.2.1.2 Definiciones del Control Robusto
A continuación se sigue algunas de las definiciones del control robusto
desarrolladas por diferentes autores.
Estabilidad.- “Las salidas retornan a su estado de equilibrio cuando el sistema es
sometido a alguna perturbación o señal de comando”57.
Desempeño.- “Señales de error pequeñas en presencia de perturbaciones y de
señales de comando”58.
Estabilidad Nominal NS.- “Cuando además de necesitar que el sistema de control
diseñado funcione adecuadamente en un proceso real, se desea que sea estable
en lazo cerrado para ciertas condiciones de trabajo dadas o nominales”59.
Comportamiento Nominal NP.- “Comportamiento óptimo deseado para ciertas
variables respecto a una función de costes o índice de comportamiento”60.
Estabilidad Robusta RS.- “Estabilidad en lazo cerrado requerida para el conjunto de
plantas que puedan aparecer por la presencia de incertidumbre en el modelo de la
planta”61.
Comportamiento Robusto RP.- “Cuando a más de conseguir la estabilidad robusta, el
sistema de control debe cumplir unas especificaciones de funcionamiento”62.
Robustez.- “Que las condiciones de estabilidad y desempeño se mantengan en
presencia de incertidumbres en el modelo”63.
_________________
57
58
59
60
61
62
63
Referencia [6]
Referencia [6]
Referencia [3]
Referencia [3]
Referencia [3]
Referencia [3]
Referencia [6]
46
Sensibilidad, Sensibilidad del Control y Sensibilidad Complementaria.- A partir del
siguiente
gráfico
generalizado
de
un
sistema
de
control,
definiremos
matemáticamente estas tres relaciones importantes; la sensibilidad
S (s ) ,
sensibilidad del control R (s ) y la sensibilidad complementaria T (s ) .
FIGURA 17: Diagrama de bloques de un sistema de control generalizado
De la figura 17:
r = Referencia o señal de consigna
di = Perturbación de entrada
K ( s ) = Algoritmo matemático del controlador
do = Perturbación de salida
G ( s ) = Modelo matemático de la planta
y = Respuesta de salida
η = Ruido en los sensores de realimentación de la salida
S ( s ) = [I + G ( s ) ⋅ K ( s )]
−1
(49)64
R ( s ) = K ( s ) ⋅ [I + G ( s ) ⋅ K ( s ) ]
−1
(50)65
T ( s ) = G ( s ) ⋅ K ( s ) ⋅ [I + G ( s ) ⋅ K ( s )]
−1
S ( s) + T (s) = I
S ( s ) + R ( s ) = [I + K ( s )] ⋅ [I + G ( s ) ⋅ K ( s)]
(51)66
(52)67
−1
(53)
Incertidumbres.- Partiendo del hecho en el cual un modelo matemático no puede
describir con exactitud a una planta real debido a la existencia de incertidumbres
_________________
64
65
66
67
Referencia [6]
Referencia [6]
Referencia [6]
Referencia [6]
47
ó errores en el modelado, la definición de incertidumbre es la siguiente: Diferencia
entre el modelo nominal y real.
Las incertidumbres pueden ser clasificadas de diferentes formas entre las cuales
se puede mencionar: según su origen en estructurales y paramétricas; según su
estructura en estructurada y no estructurada; y por último de acuerdo a la forma
en la que se represente la imprecisión en aditiva y multiplicativa [3].
Por ser este trabajo únicamente de simulaciones, en los diseños que se indicarán
en adelante sólo se atiende a la existencia de la incertidumbre aditiva, ya que la
incertidumbre multiplicativa está relacionada con el ruido presente en los
sensores.
FIGURA 18: Incertidumbres de acuerdo a su representación
∆A = Incertidumbre aditiva, ∆M = Incertidumbre
multiplicativa
Los diagramas de bode de los valores singulares de R (s ) y T (s ) se usan para
determinar o medir el margen de estabilidad del sistema frente a perturbaciones
de la planta aditivas y multiplicativas respectivamente [6].
2.2.1.3 Condiciones de Diseño del Control Robusto
Funciones de Ponderación.- En el control robusto las especificaciones de diseño
pueden estar dadas en el dominio de la frecuencia, y con ello se busca satisfacer
algunos de los siguientes objetivos [8]:
48
1. El controlador K (s ) debe estabilizar G (s ) ;
2. Rechazo de perturbaciones a la salida σ ( S ) << 1 ;
3. Atenuación del ruido σ (T ) << 1 ;
4. Buen seguimiento de la referencia σ (T ) ≈ σ (T ) ≈ 1 ;
5. Control de la reducción de energía σ ( R ) << 1 ;
6. Otros requerimientos de robustez68.
Para cumplir de manera independiente con estos objetivos se han creado las
llamadas funciones de ponderación: W1 ( s ) , W2 ( s ) , W3 ( s ) .
“ W1 ( s ) abarca tanto seguimiento a la señal de comando o set point como la
atenuación a perturbaciones a la salida y se debe cumplir lo siguiente”69.
σ [S ( jw)] ≤ W1−1 ( jw)
(54)70
Donde:
W1−1 ( jw) = Factor
de
atenuación
deseado
especificado
para
cada
frecuencia w
W2 ( s) se refiere al margen de estabilidad del sistema frente a incertidumbres
aditivas en la planta y se debe cumplir lo siguiente:
σ [R ( jw)] ≤ W2−1 ( jw)
Donde:
W2−1 ( jw) = Es el máximo tamaño de la incertidumbre aditiva.
_________________
68
69
70
71
Referencia [9]
Referencia [9]
Referencia [9]
Referencia [9]
(55)71
49
W3 ( s ) se refiere al margen de estabilidad del sistema frente a incertidumbres
multiplicativas en la planta y se debe cumplir lo siguiente:
σ [T ( jw)] ≤ W3−1 ( jw)
(56)72
Donde:
W3−1 ( jw) = Es el máximo tamaño de la incertidumbre multiplicativa.
Cálculo de las Funciones de Ponderación.- En los diseños H ∞ que se indicarán más
adelante, nos interesa conocer únicamente como calcular las funciones W1 ( s ) y
W2 ( s ) , mientras que el desarrollo de W3 ( s ) sólo será citado brevemente.
W1 ( s ) =
α i s + 10 ( K −1) ωT
s + β i ⋅ 10 ( K −1) ωT
i
(57)73
i
Donde:
α i : Es un indicador de la sobreoscilación o la ganancia de la función en alta
frecuencia.
β i : Es el error en régimen permanente permitido o la ganancia de la función en
baja frecuencia.
ωT : Es la frecuencia de corte de la función W3 ( s ) .
K i : Parámetro para variar el ancho de banda de la salida.
ω 

 s + d  ⋅ (s + 10 ρω d )
10 ρ 
W2 ( s ) = 
ω 

 s + d  ⋅ (s + ρω d )
ρ 

Donde:
ρ : Es un parámetro para variar el ancho de banda de la función W2 ( s) .
ω d : Es la frecuencia de oscilación de la respuesta.
_________________
72
73
74
Referencia [8]
Referencia [8]
Referencia [8]
(58)74
50
k
10 20 ⋅ (as + 1)
W3 ( s ) =
(bs + 1)
(59)75
“La función W3 ( s ) debe ser estable de fase mínima y de módulo mayor que el
máximo valor singular de las incertidumbres calculadas para todas las
frecuencias”76.
Por otra parte, si se desea cumplir algunos de los seis objetivos planteados
anteriormente pero de forma simultanea, se debe recurrir a uno de los tres
problemas de sensibilidad mixta: S / R , S / T , S / R / T .
2.2.2 CONTROL ROBUSTO H2 Y H∞
Como se explicó en el literal d) de la sección 2.2, los métodos H 2 y H ∞ tienen
algo en común pero se diferencian en que el uno evalúa la mínima desviación de
cierta matriz, mientras que el otro evalúa el máximo módulo de dicha matriz.
Para saber identificar el método más apropiado de diseño a utilizar en un proceso
se debe analizar los siguientes objetivos de desempeño:
Si las señales de prueba son procesos estocásticos estacionarios de espectro
conocido, el objetivo de desempeño es la minimización de la varianza del
error y el problema se resuelve con el método H 2 [6].
Si las señales de prueba son funciones de energía o potencia límites, el
objetivo de desempeño es minimizar el peor caso de energía o potencia,
respectivamente, de la señal de error y el problema se resuelve con el método
H ∞ [6].
_________________
75
76
Referencia [9]
Referencia [9]
51
2.2.2.1 Método de diseño H2
Como ya se mencionó antes, este método consiste en evaluar en forma directa la
mínima desviación de la matriz del controlador a fin de lograr los valores
singulares σ requeridos. Para efectuar el diseño se emplea la norma H 2 de la
función costo Tzw que recoge las especificaciones de diseño requeridas para que
el sistema sea robusto. Se debe indicar que el análisis de este método no se
encuentra entre los objetivos de esta tesis, para mayor información acerca de
este tema consultar la referencia [6].
2.2.2.2 Método de diseño H∞
Este método consiste en hallar un controlador, tal que minimice el valor pico de la
respuesta de frecuencia de una matriz función de transferencia de lazo cerrado,
que abarque varios requerimientos para que el sistema de control sea robusto. La
función de costo o matriz función de transferencia de lazo cerrado se llama Tzw .
Si se considera la figura 19, se encuentra las funciones de ponderación de las
señales significativas para un sistema de control general.
FIGURA 19: (a) Señales significativas con sus funciones de ponderación en frecuencia para un sistema de control
generalizado; (b) Estructura general para problemas de control
H∞con planta aumentada P(s)
52
En la figura anterior se puede ver las funciones de ponderación de las señales de
error, control y señal de salida, las cuales son respectivamente W1 , W2 , W3 .
Además, Wr , Wdi , Wdo y Wη son las funciones de ponderación de las señales de
entrada al sistema, es decir de r , di , do y η . Por lo cual las salidas ponderadas
del sistema son z1 , z 2 y z 3 .
Simplificando la figura 19a se obtiene la figura 19b, donde a P (s ) se le denomina
como planta aumentada. Un diagrama aún más simplificado aparece en la figura
20.
FIGURA 20.- Problema de diseño
H∞. Planta generalizada y controlador
Problema de diseño H∞.- Al problema de diseño H∞ también se lo conoce como
problema de mínima ganancia y consiste en lo siguiente: “Dada la realización en
variables de estado de P (s ) , hallar un controlador estabilizante u (s) = K ∞ ( s) ⋅ e(s) , tal
que la norma infinita de Tzw sea menor o igual que uno”77.
z = Tzw ⋅ ω
z : Vector de salida z = [z1 z 2
z3 ]
T
ω : Vector de entrada ω = [r η d o d i ]T
_________________
77
78
Referencia [3]
Referencia [3]
(60)78
53
Tzw : Matriz función de transferencia de lazo cerrado o función de costo, cuya
estructura depende de los casos de sensibilidad mixta.
La representación en variables de estado de la planta aumentada P (s ) es la
siguiente:
x& p = A p x p + B1ω + B2 u
(61)79
z = C1 x + D11ω + D12 u
e = C 2 x + D21ω + D22 u
Así la representación reducida de P (s ) queda de la siguiente forma:
[
P( s) = A p , B p , C p , D p
]
(62)80
Donde:
B p = [B1
B2 ];
D
C Tp = [C1 C 2 ] y D p =  11
 D21
D12 
D22 
A partir de las matrices anteriores se puede construir su respectiva matriz
hamiltoniana asociada:
 Ap
H =
− Q p
Donde:
Rp = −
B p B Tp
γ2
− Rp 
− ATp 
(63)
; Q p = C Tp C p
El problema de diseño H∞ queda planteado idealmente con 0 < γ ≤ 1 de las
siguientes formas:
Si el problema es S / R :
Tzw
_________________
79
80
81
Referencia [3]
Referencia [9]
Referencia [12]
∞
=
W1 S
W2 R
≤γ
∞
(64)81
54
Si el problema es S / T :
Tzw
∞
=
W1 S
W3T
≤γ
(65)82
≤γ
(66)83
∞
Por último si es S / R / T
W1 S
Tzw
∞
= W2 R
W3T
∞
Cualesquiera que sea el problema de sensibilidad mixta a emplear, se aplican los
siguientes pasos para el diseño de un controlador H∞:
Paso 1:
El paso 1 consiste en calcular la norma H∞ de Tzw y se lo puede hacer con dos
métodos:
Método 1: Método Directo
Tzw
∞
= sup σ [Tzw ]
(67)84
w
Método 2: Método Indirecto
Para este método se sigue los siguientes pasos tomados del libro Control
Adaptativo y Robusto de Rubio y Sánchez.
1) Asumir un valor escalar de γ > 0 .
2) Chequear si la matriz H construida con la ecuación (63) tiene valores propios
imaginarios.
_________________
82
83
84
Referencia [12]
Referencia [12]
Referencia [3]
55
3) De acuerdo al resultado del paso 2) incrementar o disminuir γ .
4) Repetir el proceso, iterando con γ hasta encontrar un valor crítico γ 0 que con
cierta precisión cumpla la condición del paso 2), en ese caso se consigue una
cota ajustada Tzw
∞
< γ 0 [3].
Paso 2:
En el paso dos se busca un controlador asintóticamente estable K (s ) , con el cual
se logre Tzw
∞
< γ , para lo cual se deben resolver el siguiente par de ecuaciones
de Riccati [3]:
[(
)
]
ATp X ∞ + X ∞ A p − X ∞ 1 / γ 2 B1 B1T − B2 B2T X ∞ + C1T C1 = 0
[(
)
]
(68)85
A p Y∞ + Y∞ A − Y∞ 1 / γ C C1 − C C 2 Y∞ + B1 B = 0
T
p
2
T
1
T
2
T
1
Y sus respectivas soluciones son:
(
X ∞ = Ric H X ∞
(
Y∞ = Ric H X ∞
)
)
(69)86
Donde:
 Ap
(1 / γ 2 ) B1 B1T − B2 B2T 
H X∞ = 

T
− ATp
− C1 C1

 Ap
(1 / γ 2 )C1T C1 − C 2 C 2T 
H Y∞ = 

T
− ATp
− B1C1

(70)87
Obteniéndose el siguiente controlador:
[
K ( s ) = K c sI − A p − (1 / γ 2 ) B1 B1T X ∞ − B2 K c − ZK 0 C 2
_________________
85
86
87
88
Referencia [3]
Referencia [3]
Referencia [3]
Referencia [3]
]
−1
K0
(71)88
56
Donde: K c = B2T X ∞ , K 0 = Y∞ C 2T , Z = [I − (1 / γ 2 )Y∞ X ∞ ] , K 1 = B1 B1T X ∞ (1 / γ 2 )
−1
El controlador anterior ya cumple la condición Tzw
∞
< γ , pero además se debe
cumplir con las siguientes condiciones:
X∞ ≥ 0
(72)89
Y∞ ≥ 0
λ max ( X ∞ Y∞ ) < γ 2
Paso 3:
Si se cumple la condición Tzw
∞
< γ y las inecuaciones (72), el controlador está
listo para ser colocado en la planta. En caso contrario se debe cambiar el valor de
γ y efectuar los dos pasos anteriores. “El proceso de búsqueda puede terminar
con el valor mínimo γ mín , o en una solución subóptima (γ 0 > γ mín ) ”90.
2.2.3 TUTORIAL PARA DISEÑO DE CONTROL H∞ CON MATLAB
Ejemplo 2.2.3
Diseñar el sistema de control H ∞ de un sistema de seguimiento con referencia
r = 31 , para la planta está definida por la función de transferencia mostrada abajo.
En el diseño considere el problema de sensibilidad mixta S / R
G(s) =
3
( s + 1)
Paso 1:
Analizar el comportamiento de la planta tanto en lazo abierto, como en lazo
cerrado con realimentación unitaria. En las figuras 21a y 21b se presenta el
análisis.
_________________
89
90
Referencia [3]
Referencia [3]
57
FIGURA 21: Procedimiento para diseñar un controlador
H∞
(a) Prueba en lazo abierto; (b) Planta en lazo cerrado
Del paso 1 se puede concluir que la señal de salida no sigue la referencia
establecida r = 31 por la no existencia de un controlador.
Paso 2:
Diseño de las funciones de las especificaciones de diseño, para lo cual se
requiere usar las ecuaciones (57) y (58) y se obtiene las funciones de
ponderación que se muestran a continuación.
W1 ( s) =
0.5s + 1
s + 10 −6
Para este sistema en particular no se tiene restricciones en la señal de control por
lo que se puede escoger: W2 ( s ) = 1
No se toma en cuenta W3 ( s ) debido a que el sistema en análisis no tiene sensores,
por lo cual no hay ponderación de ruido en sensores.
Paso 3:
Obtención de la planta aumentada P (s ) mediante el comando sysic del toolbox de
robust control y tomando en cuenta la ecuación (62), se tiene que:
58
0 
− 1
; B p = 0 1 ;
Ap = 
−6 
− 3 − 10 
1 0 
 0 .5 0 
− 1.5 1




0 y D p =  0 1
Cp =  0
 1 0
 − 3 0
Paso 4:
Encontrar el controlador estabilizante tal que cumpla con las condiciones de
diseño establecidas de acuerdo a lo que mencionamos en la teoría anteriormente.
Para esto se utiliza el comando hinfsyn del toolbox de Robust Control.
Primero se verifica si el controlador que se está diseñando cumple la
condición Tzw
∞
< γ , para esto se necesita que el diagrama de Bode de los
valores singulares de Tzw sea lo más cercano a 0 [dB] [6]. Mediante el
comando sigma del toolbox de control system se calculan dichos valores.
FIGURA 22.- Diagrama de bode de los valores singulares de
Tzw
Luego se revisa si el controlador sigue a las condiciones de la ecuación (72)
para las ecuaciones de Riccati por medio del comando hinfsyn.
59
FIGURA 23.- Programa de diseño del controlador estabilizante, iteraciones de
γ
para comprobar si el
controlador diseñado cumple las condiciones de diseño: de las matrices
H X ∞ , H Y∞ y las inecuaciones
(72). El signo # significa que una de las 5 condiciones falló para ese valor de
γ.
Verificar si la condición mostrada en la ecuación (54) se está cumpliendo para
bajas frecuencias y la (55) para frecuencias intermedias. Esto se hace con los
comandos bode del toolbox de control system y la función de referencia de
Matlab semilogx.
FIGURA 24.- Comparación entre sensibilidad
S
y su función de ponderación
W1−1
60
FIGURA 25.- Comparación entre sensibilidad
R
y su función de ponderación
W2−1
Paso 5:
Si todas las condiciones del paso cuatro son correctas, utilizar el controlador
encontrado, en caso contrario regresar al paso dos para ir variando los principales
parámetros de las funciones de ponderación (sintonización) hasta que se vayan
cumpliendo todas las condiciones. Es importante resaltar que al cambiar dichas
funciones, de igual forma cambiará la planta aumentada. Por ejemplo, en este
caso que se acaba de resolver, se puede notar en la figura 22 que la curva no es
cercana a los 0 [dB], por otra parte en las figuras 24 y 25 las condiciones (54) y
(55) si se cumplen. Entonces se debe ajustar la función de ponderación W1 ( s ) .
Repetición del Paso 2:
En W1 ( s) inicialmente ω T = 10 rad / seg con lo cual no se cumplió la primera
condición, por lo cual se realiza varios cambios en ωT , hasta que se cumplan
todas las condiciones de diseño, lo cual se consiguió para ωT = 23.64 rad / seg con
la siguiente función de transferencia.
W1 ( s ) =
0.5s + 2.364
s + 2.364 × 10 −6
61
Para este caso en particular no se necesita hacer cambios en la función de
ponderación de sensibilidad de control, ya que se mantiene como:
W2 ( s ) = 1
Repetición del Paso 3:
P (s ) , queda definida como:
1
0
 0
 −1

; Bp = 
Ap = 
;
−6 
1.537 0
 − 4.612 − 2.364 × 10 
− 1.5 1.537 
C =  0
0 
 − 3
0 
T
p
y
0.5 0
D p =  0 1 
 1 0
Repetición del Paso 4:
FIGURA 26.- Diagrama de bode de los valores singulares de la nueva
Tzw
62
FIGURA 27.- Programa de diseño del controlador estabilizante, nuevas iteraciones del
γ
para comprobar
si el controlador diseñado cumple las condiciones de diseño
FIGURA 28.- Comparación entre la nueva
R
y su función de ponderación
W2−1
Repetición del Paso 5:
En el paso anterior ya todas las condiciones fueron correctas, por lo cual ya se
puede utilizar el controlador resultante de la figura 29.
63
FIGURA 29.- Controlador
K∞ diseñado
FIGURA 30.- Planta en lazo cerrado y con un controlador
K∞ diseñado
La figura 30 indica el perfecto seguimiento de y iii a la referencia r = 31 mediante
el uso de realimentación unitaria y el controlador K ∞ .
64
2.3
CONTROL DIFUSO
Ahora se va describir la lógica difusa en forma resumida y desde el punto de vista
de los sistemas de control. No se especificará su matemática ya que esto se lo ha
hecho repetidamente en varias tesis de la EPN.
2.3.1 TEORÍA BÁSICA DEL CONTROL DIFUSO
2.3.1.1 Definiciones de Lógica Difusa
Base de Reglas.- En el control difuso existe un razonamiento lógico humano basado
en condicionales del tipo “si, entonces,” que son los que dan lugar a la salidas que
va tomando el controlador. A este conjunto de condicionales se les conoce como
base de reglas.
Universo de discurso.- La base de reglas proviene de la elección de una respuesta
en función de cada uno de los estados que vayan adquiriendo las variables de
entrada del controlador dentro de un conjunto de valores numéricos llamado
universo de discurso.
Etiquetas.- Cada subconjunto difuso de un universo de discurso en el cual se
mueven las variables de entrada del controlador.
Función de Membrecía.- La diferencia principal entre la lógica difusa y la lógica
matemática que se conoce está dada porque las variables que se van a analizar
con el controlador difuso, no pertenecen de forma estricta a una etiqueta, como se
lo haría con la lógica matemática normal que se conoce; sino que en la lógica
difusa se habla de grados de pertenencia. Es decir “cada uno de los elementos de
un subconjunto difuso es miembro de dicho conjunto en determinado grado”91. La
función que relaciona el grado de pertenencia que tiene cada elemento se llama
función de membrecía.
_________________
91
Referencia [13]
65
Fusificación.- Con la fusificación se “convierte cada fragmento de datos de entrada
en grados de membrecía a través de una o varias funciones de membrecía, las
cuales caracterizan a las distintas etiquetas”92. Esta conversión se hace con el
objeto de acoplar las variables de entrada con la base de reglas.
Inferencia.- Para seleccionar la mejor salida del controlador de una base de reglas
de acuerdo a lo que esté ocurriendo con las variables de entrada del mismo, se
requiere de un análisis de las relaciones existentes entre los subconjuntos
difusos, dicho análisis se llama inferencia.
Defusificación.- Consiste en transformar la salida seleccionada por el proceso de
inferencia en la señal de control que se va a utilizar para controlar determinado
proceso [13]. Para esto se utilizan métodos tales como:
Centroide
Media de máximos
Bisectriz de área
Máximo izquierdo y/o derecho
Por defecto el Toolbox Fuzzy Logic utiliza el centro de gravedad, que también es
el utilizado en este proyecto, por lo cual es el único que se describe.
Centroide.- Mediante este método se calcula el centro de gravedad de la superficie
formada por la base de reglas.
2.3.2 CONTROL DIFUSO MANDAMI Y TAKAGI SUGENO
2.3.2.1. Método de Diseño Mandami
Debido a que uno de los proyectos de esta tesis es un controlador con técnica
Takagi Sugeno, no se detalla el método Mandami, pero para mayor información
se puede consultar la referencia [13], [14].
_________________
92
Referencia [13]
66
El método Mandami necesita una tabla lingüística para estructurar la base de
reglas. Dicha tabla contiene las etiquetas de las variables de entrada a lo largo de
los ejes, mientras que las etiquetas de las salidas se encuentran en el interior de
cada casillero de la tabla.
Este método puede ser utilizado cuando se desconoce la existencia de los
algoritmos matemáticos que describen tanto el funcionamiento de la planta como
del controlador. Si dichos algoritmos existieran no tendría caso hacer un diseño
Mandami y se debe recurrir al método Takagi Sugeno. Por lo cual aunque el
método Mandami funciona correctamente cuando es implementado, no tiene la
precisión que se tendría con un método Takagi Sugeno.
2.3.2.2 Método de Diseño Takagi Sugeno TS
La técnica Takagi Sugeno TS, trabaja en base a algoritmos matemáticos lineales,
los cuales de alguna forma deben tener similitud con la siguiente ecuación lineal
TS:
z = p⋅x+q⋅ y +r
(73)93
Donde: p , q y r son constantes.
Por esta razón cada regla de la base queda definida así:
Si x es A y y es B luego la salida es z
(74)94
Basándonos en (73), un tipo de salida más sencillo puede ser sólo de tipo
constante como sigue:
z = kte
(75)
Donde también se cumple el mismo tipo de condicional (74) para obtener la salida
del controlador a diseñarse. Con la ecuación (73) la estructura de la base de
reglas no requiere de ninguna tabla lingüística.
_________________
93
94
Referencia [14]
Referencia [14]
67
2.3.3 TUTORIAL PARA DISEÑO DE CONTROL DIFUSO TS CON MATLAB
El método que se expondrá aquí es completamente sencillo ya que no requiere
los equivalentes discretos de las acciones de control proporcional integral
derivativa PID’s (ecuaciones en diferencias que consideran valores anteriores de
la señal de control y la señal de error). Sólo se necesita tener en cuenta los
algoritmos de control PID’s básicos: proporcional, proporcional derivativo,
proporcional integral y proporcional integral derivativo.
u = K P ⋅ e(t )
u = K P ⋅ e(t ) + K D ⋅
de(t )
dt
t
(76)95
u = K P ⋅ e(t ) + K I ⋅ ∫ e(t ) ⋅ dt
0
t
de(t )
u = K P ⋅ e(t ) + K D ⋅
+ K I ⋅ ∫ e(t ) ⋅ dt
dt
0
Ejemplo 2.3.3
Diseñar un sistema de control PD difuso con la técnica TS de un sistema de
seguimiento con referencia r = 10 para la planta definida por la función de
transferencia mostrada abajo.
G ( s) =
10
s ( s + 5)( s + 1)
Paso 1:
Análisis del comportamiento de la planta tanto en lazo abierto, como en lazo
cerrado con realimentación unitaria figuras 31a y 31b.
_________________
95
Referencia [1]
68
FIGURA 31.- Procedimiento para diseñar un controlador difuso PD con técnica TS
(a) Prueba en lazo abierto; (b) Planta en lazo cerrado con realimentación unitaria
De las figuras anteriores se concluye que en lazo abierto la salida y no sigue
ninguna referencia y que en lazo cerrado con realimentación unitaria no existe la
necesidad de añadir ganancia al funcionamiento de la planta ya que la señal de
salida alcanza la consigna, pero existe un Mp exagerado por lo cual sí se requiere
de un controlador.
Paso 2:
Se debe observar el comportamiento de un controlador convencional que
garantice el buen funcionamiento de la planta. En caso de no existir el controlador
mencionado, habría que diseñarlo.
Para este ejemplo en particular se tuvo que diseñar un controlador convencional
PD, cuyos pasos de diseño no se presentan ya que son temáticas básicas.
La función de transferencia del controlador es:
GC ( s ) = (s + 1)
(77)
69
FIGURA 32.- Análisis de funcionamiento de un controlador PD convencional
FIGURA 33.- Señal de control y señal de salida de un controlador PD convencional
De las figuras 32 y 33 ya podemos sacar la información referente a los universos
de discurso para el controlador PD difuso que se va a diseñar. Los universo de
discurso son: error [0 10], ∆ de error [-6 0], señal de control u [0 4x1014].
Paso 3:
Diseñar el controlador PD difuso mediante el toolbox de Fuzzy Logic.
70
Primero se debe crear una estructura fis de tipo TS, como se muestra en la
figura 34. En está estructura se debe colocar tanto las entradas que van a
ingresar en el controlador (error, ∆ de error o cambio de error) como su salida
(señal de control u ), con sus respectivos universos de discurso.
FIGURA 34.- Estructura TS con variables de entrada y de salida
Crear las funciones de membrecía con sus respectivas etiquetas, en cada
variable de entrada y de manera simétrica, tal como se indica en la figura 35.
Las etiquetas para las funciones de membrecía del error son: PGG positivo
muy grande, PG positivo grande, P positivo, PM positivo medio, PP positivo
pequeño y ZP cero positivo. Las etiquetas del cambio de error son: N
negativo, NG negativo muy grande y NMG negativo muy grande.
FIGURA 35.- Funciones de membrecía del error ( e ) y el cambio de error ( ∆e )
71
Colocar el algoritmo del control PD de la ecuación (76) relacionándolo con la
ecuación (73), con lo cual se tiene que p = K P = 1 , q = K D = 1 y r = 0 (figura 36).
FIGURA 36.- Ecuaciones TS del controlador PD difuso
De la figura 36 se tiene que u1 = u 2 = u3 = u 4 = u5 = u 6 = p ⋅ e + q ⋅ ∆e
Definir la base de reglas (figura 37).
FIGURA 37.- Base de reglas del controlador PD difuso
Paso 4:
Probar el controlador con la planta para verificar si satisface las expectativas para
las que fue diseñado (figura 38). De no ser así se debe hacer una sintonización en
72
las constantes del controlador (subir o bajar sus valores de manera proporcional)
y además modificar las funciones de membrecía.
FIGURA 38.- Funcionamiento del controlador difuso PD con técnica TS: (a) Planta en lazo cerrado con realimentación unitaria
y controlador PD difuso; (b) Señales de control y de salida del sistema
En este ejemplo no fue necesario realizar ninguna sintonización ni ajuste de
funciones de membrecía ya que desde la primera vez funcionó correctamente el
controlador PD difuso. Como se puede apreciar en las señales de control y salida
de la figura 38, éstas son completamente similares a las de la figura 33 de un
sistema con control PD convencional.
Surge la pregunta ¿por qué diseñar un PID difuso si ya se tiene el convencional y
funcionan iguales?, la respuesta es sencilla: en ocasiones no se puede satisfacer
completamente las expectativas de diseño únicamente con un PID convencional
por ejemplo en la referencia [13] con un PD difuso se logró mejorar el estado
transitorio de un reductor de voltaje en mayor magnitud de lo que se lograba con
el PD convencional que sirvió de base para el diseño del difuso. En otras palabras
un PID difuso y un PID convencional que sirva de base no siempre funcionan
iguales como ocurrió en el ejemplo 2.3.3 ya que en el difuso existen más
herramientas para la sintonización y por ende mejoran las características de
diseño conseguidas.
73
CAPÍTULO 3
MODELACIÓN, DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL
CONVERSOR ELEVADOR DE VOLTAJE DC/DC
3.1 MODELO MATEMÁTICO DEL CONVERSOR
En 1976, R. Middlebrock y Slobodan Cuk desarrollaron un artículo interesante en
el cual se establece una serie de modelos matemáticos generales basados en
variables de estado para los principales conversores dc/dc operando en
conducción continua (cc) tales como: el reductor de voltaje, el elevador de voltaje
y el reductor elevador de voltaje (en inglés se les conoce como buck converter,
boost converter y buck-boost converter respectivamente).
3.1.1 MODELACIÓN DEL ELEVADOR DE VOLTAJE DC/DC EN CC
Los modelos matemáticos generales se basan en el concepto de promediar y
linealizar los modelos parciales que representan al circuito conversor en cada
estado de conmutación, de acuerdo al funcionamiento del elemento switch. En la
figura 39 se puede ver dichos estados de conmutación para un conversor
elevador de voltaje operando en conducción continua. Siguiendo la demostración
hecha por Middlebrock y Cuk a mediados de los años 70’s, tenemos las
siguientes variables de estado que representan los estados del conversor
elevador mostrados en las figuras 39b y 39c respectivamente.
Intervalo TSW ⋅ δ
x& = A1 ⋅ x + b ⋅ vin
x& = A2 ⋅ x + b ⋅ vin
y = c1T ⋅ x + b ⋅ vin
y = c 2T ⋅ x + b ⋅ vin
_________________
96
Intervalo TSW ⋅ δ '
Referencia [15]
(78)96
74
FIGURA 39.- Funcionamiento de un conversor elevador de voltaje dc/dc;
(a) Elementos y variables físicas involucradas en el funcionamiento
(b) Elevador operando en estado de conmutación cerrado
(c) Elevador operando en estado de conmutación abierto
De las ecuaciones (78) tenemos que:
 Rl
− L
A1 = 
 0




1

−
(R + Rc ) ⋅ C 
0
1
L
b1 =  
 
0
 

c1T = 0

R 

R + Rc 
d1 = 0
_________________
98
Referencia [15]
 Rl + Rc ⊥ R
−
L
A2 = 
R

 (R + Rc ) ⋅ C
R

L ⋅ (R + Rc ) 

1

−
(R + Rc ) ⋅ C 
−
1
L
b2 =  
 
0
 

c 2T =  Rc ⊥ R

d2 = 0
R 

R + Rc 
(79)98
75
El modelo promediado de los dos estados de conmutación para un período TSW
tiene el modelo de la ecuación (80), donde además se considera que la relación
de trabajo δ es constante para todo el período, por lo cual se reemplaza por D .
x& = A ⋅ x + B ⋅ vin
(80)99
y =C⋅x
Donde:
A = D ⋅ A1 + D'⋅ A2
(81)100
B = b = D ⋅ b1 + D'⋅b2
C = c T = D ⋅ c1T + D '⋅c 2T
Reemplazando las matrices (79) en las ecuaciones (81), se obtiene lo siguiente:
 Rl ⋅ ( R + R c ) + Rc ⋅ R ⋅ D '
−
L ⋅ (R + Rc )
A=
R ⋅ D'

+

( R + Rc ) ⋅ C
 R ⋅ Rc ⋅ D'
C=
 R + Rc
1
R ⋅ D' 
L
L ⋅ (R + Rc ) 
 B= 
 
1

−
0

(R + Rc ) ⋅ C 
 
−
R 

R + Rc 
(82)
d =0
Si ahora aparece una perturbación en el voltaje de entrada, por la presencia de
variaciones lineales de voltaje v̂in , el voltaje de entrada queda de la forma:
vin = Vin + vˆin
Donde Vin es la entrada lineal de voltaje DC.
_________________
99
Referencia [15]
100
Referencia [15]
101
Referencia [15]
(83)101
76
La perturbación del voltaje de entrada causa una correspondiente perturbación en
el vector de estado dando origen a la ecuación:
x = X + xˆ
(84)102
Donde X nuevamente es un valor DC del vector de estado y x̂ es la perturbación
impuesta o componente AC.
Las perturbaciones mencionadas causan que en la salida también exista
perturbación, con lo cual la salida queda como en la ecuación (85).
y = Y + yˆ
(85)103
Si se reemplaza las ecuaciones (83), (84) y (85) en la (80), se obtiene el siguiente
sistema de variables de estado:
xˆ& = A ⋅ X + B ⋅ Vin + A ⋅ xˆ + B ⋅ vˆin
Y + yˆ = C ⋅ X + C ⋅ xˆ
(86)104
Supongamos ahora que δ no es constante para todo el período, sino que
depende del tiempo y tiene una parte en estado estable DC y otra que representa
sus ligeras variaciones en el tiempo o componente en AC.
δ = D + δˆ
Las ecuaciones (86) quedarían como las (88)
_________________
102
103
104
105
Referencia [15]
Referencia [15]
Referencia [15]
Referencia [15]
(87)105
77
En estado estable se cumple que:
X = − A −1 ⋅ B ⋅ Vin
−1
Y = C ⋅ X = −C ⋅ A ⋅ B ⋅ Vin
(89)107
Para linealizar las ecuaciones (88); se elimina los términos no lineales de segundo
orden y se separa los términos DC de los de AC, con lo cual la dinámica del
modelo en pequeña señal está representada por las ecuaciones (90):
xˆ& = A ⋅ xˆ + B ⋅ vˆin + [( A1 − A2 ) ⋅ X + (B1 − B2 ) ⋅ Vin ] ⋅ δˆ
yˆ = C ⋅ xˆ + (C − C ) ⋅ X ⋅ δˆ
1
(90)108
2
Las ecuaciones (89) y (90) representan el modelo de baja frecuencia en pequeña
señal de un conversor DC/DC, con doble estado de switcheo trabajando en el
modo de cc.
El modelo a variables de estado que requerimos para los diseños que se
presentarán más adelante sale de las ecuaciones (90) y en forma general sería:
x& = AG ⋅ x + BG ⋅ u
y = C G ⋅ x + DG ⋅ u
_________________
106
107
108
Referencia [15]
Referencia [15]
Referencia [15]
(91)
78
3.1.2 DISEÑO DE UN ELEVADOR DE VOLTAJE DC/DC DE 10 A 20 V
La planta que se va a diseñar es un elevador de voltaje de corriente continua con
las siguientes características: Vin = 10 [V], Vo = 20 [V], para una carga R = 31 [Ω]. El
elevador debe operar a f SW ≈ 2.5 [KHz] con realimentación unitaria de voltaje y de
corriente operando en conducción continua cc.
3.1.2.1 Elementos y Parámetros de Funcionamiento del Elevador 10 a 20 [V]
Aunque la selección real de los elementos del conversor no forma parte de este
proyecto, se dejan las siguientes pautas para dicho propósito.
Selección del inductor
Para mantener la conducción continua se debe seleccionar el mínimo inductor
requerido.
Lmín =
R ⋅ TSW
⋅ δ ⋅ δ '2
2
(92)
De la típica ecuación para calcular la relación de trabajo en un elevador se
obtiene la siguiente relación de trabajo:
δ = 1−
Vin
= 0 .5
Vo
Ahora utilizando las ecuaciones (89) se obtiene la siguiente relación de trabajo,
cuando existe la presencia de resistencias tanto en el inductor como en el
capacitor:
δ = 0.4932973 ⇒ δ ' = 0.506702
Como se puede ver de los dos últimos cálculos de δ , sus valores no difieren
mucho, por lo cual podemos utilizar cualquiera de los dos para encontrar Lmín . Si
se regresa a la ecuación (92), la inductancia mínima para mantener la cc es:
Lmín = 0.7644734 [mH ]
79
Sea: L = 0.7644734 [mH ]
con Rl = 0.1 [Ω]
Corriente pico I Lmáx
Es la corriente pico que debe soportar el inductor y se calcula como sigue:
I Lmáx = I L +
∆I l
2
(93)
∆I l
Vin ⋅ δ
=
= 1.013405 [ A]
2
2 ⋅ f SW ⋅ L
Vin
IL =
= 1.325625 [ A]
R ⋅ δ '2
Reemplazando los valores anteriores en la ecuación (93) se tiene que la corriente
pico es:
I Lmáx = 2.3390306 [ A]
Elección del capacitor
δ
C=
R ⋅ f SW
 ∆V
⋅  o
 Vo



(94)
Tomando en cuenta que se cumpla la siguiente ecuación de rizado de voltaje.
∆Vo
≤ 5%
Vo
Sea: ∆Vo = 0.3
Si se reemplaza en la ecuación (96) los datos correspondientes:
C = 435.87326788 × 10 −6 [ F ]
(95)
80
Si se parte del hecho en el que se ha escogido un capacitor adecuado para tener
un rizado de voltaje de salida aceptable, hay una fórmula que se utiliza para
calcular la resistencia Rc necesaria para limitar dicho rizado.


∆Vo
Rc < 
∆I L
 I omáx
+
1− δ
2
máx

Si I omáx = 0.645164 [ A] ; δ máx = 1 −






(96)109
Vin
= 0.6
2.5 ⋅ Vin
∴ Rc < 0.114 [Ω]
Por lo tanto el capacitor queda definido de la siguiente forma:
Sea: C = 470 [ µF ] con una Rc = 0.01 [Ω]
Corriente pico I Cmáx
Es la corriente pico que debe soportar el capacitor y se calcula:
I Cmáx = I Lmáx − I omáx = 1.693869 [ A]
Selección del elemento Switch
Se selecciona un GTO como elemento switch. Esta parte se fundamenta en la
referencia [13]. Además en esta selección se tuvo en cuenta lo siguiente:
Trabajo a alta frecuencia, es decir el conversor no sólo opera a
f SW ≈ 2500
[Hz] , sino que será utilizado a
f SW ≈ 12
[KHz] en el diseño H∞.
Salir del estereotipo en el que se utilizan transistores de potencia o mosfets
canal N como elementos switch.
_________________
109
Referencia [5]
81
Para un diseño real se puede considerar un GTO con las siguientes
características:
Tomando en cuenta la máxima corriente que puede circular por el inductor, la
[A]
corriente del GTO puede ser: imáx ≈ 3
y potencia p ≈ 20 [W ] .
Corrientes de encendido y apagado respectivamente: ion , ioff deben ser
seleccionadas de acuerdo a la señal de control emitida o PWM.
Tiempos de encendido y apagado: estos tiempos deben ser aptos para la
frecuencia de operación establecida y también cumplir con relación de trabajo
que se calculó anteriormente.
Elección del Diodo
En el Simulink se tomó un diodo de los elementos de potencia, por cuestiones de
compatibilidad de funcionamiento en el Matlab. En una aplicación real se puede
elegir un diodo Schottky de alta frecuencia que tenga las siguientes
características:
Frecuencia de operación: f SW = 12
[KHz]
Voltaje: VPI ≥ Vo = 20 [V ]
Corriente máx: I D = 2 ⋅ I o ≈ 1.5 [ A]
3.1.2.2 Modelo Matemático para el Elevador de 10 a 20 [V]
Sustituyendo los elementos de la parte de diseño del conversor elevador en la
ecuación (90), se obtienen las matrices indicadas en (97) que son el modelo
matemático para el mismo.
 − 104.93138 493.13824 
AG = A = 

− 1049.23031 − 68.61204
[
C G = C = 4.931382 × 10
−3
0.99967
]
− 20006.62479
BG = B = 

 2781.7725 
[
DG = D = − 1.307433 × 10
−2
]
(97)
82
De igual manera a partir de la ecuación (90) se puede calcular la función de
transferencia de este conversor elevador, que es la que relaciona el voltaje de
salida con la señal de control, o en otras palabras:
G (s) =
3.2
yˆ ( s ) vˆo ( s )
(s − 7441.1771) ⋅ (s + 212765.9574 )
=
=
δˆ ( s ) δˆ ( s) (s + 86.7717 − j ⋅ 719.0868 ) ⋅ (s + 86.7717 + j ⋅ 719.0868 )
(98)
SIMULACIÓN
El diseño planteado en el literal 3.1.2.1 se encuentra representado en la figura 40.
En la figura 41 se tienen las formas de onda que se consiguen con ese diseño,
tanto la parte transitoria como en estado estable. En la figura 42 se presenta un
acercamiento o zoom a la parte de estado estable de las formas de onda de la
figura 41.
FIGURA 40.- Elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20 [V] trabajando sólo con control PWM y con realimentaciones de voltaje
de salida V load y de corriente de inductor iL
En la figura 41, el voltaje de salida permite obtener las características de
respuesta del sistema, cuando se trabaja sin ningún sistema de control adicional
al ya existente (control PWM de la figura 40). Las características son: máximo
sobreimpulso M P , error de posición eP y tiempo de establecimiento t S :
M P = 78.49% ;
e P = 6.79% y t S = 0.0013seg
(99)
83
FIGURA 41.- Formas de onda del elevador de voltaje de la figura 40
FIGURA 42.- Acercamiento en la parte de estado estable de las formas de onda de la figura 41
84
Las figuras 43a y 43b muestran la simulación de los modelos matemáticos del
elevador de voltaje tanto a variables de estado como función de transferencia
ecuaciones (97) y (98). Como se ve en las figuras, las formas de onda del voltaje
de salida son similares a las presentadas en las figuras 41 y 42 porque tampoco
llegan a la señal de consigna que es 20[V] y tienen un sobrepico alrededor de
35[V]. Por esta razón se puede decir que los modelos matemáticos trabajan
correctamente al representar al estado dinámico de un conversor elevador de 10
a 20[V]. Bajo la consideración anterior, dichos modelos ya pueden ser utilizados
en el diseño de los controladores avanzados para el elevador, estos diseños
tienen que minimizar los parámetros planteados en (99).
FIGURA 43.- Funcionamiento de un conversor elevador de voltaje dc/dc;
(a) Simulación del modelo a variables de estado
(b) Simulación del modelo a función de transferencia
85
CAPÍTULO 4
DISEÑO DE CONTROLADORES PARA EL ELEVADOR
4.1 CONTROLADOR DE ESPACIO DE ESTADO
Las matrices de ganancias tanto para la realimentación de estado como para el
observador de estado, que se presentan en este capítulo se obtuvieron siguiendo
los pasos del tutorial 2.1.3.
4.1.1 REALIMENTACIÓN DE ESTADO
Sea: µ1−2 = −407.5357 ± j376.6398 ; µ 3 = −1000
(100)
Matriz de ganancias de realimentación calculada:
K = [0.0848 0.0196] ; k I = 14.8718
FIGURA 44.- Señales obtenidas con los polos deseados
µ1−2 = −407.5357 ± j376.6398 ; µ 3 = −1000
(101)
86
La señal de salida obtenida con los polos deseados (100), no es satisfactoria ya
que no existe señal de PWM como se aprecia en la figura 44, además la corriente
del inductor es exageradamente alta y podría destruir los elementos si fuera una
implementación real.
Para la planta que se está tratando no sirvió el criterio de incrementar
aproximadamente 3 veces el tercer polo con respecto a la parte real de µ1− 2 . Por
tales razones fue conveniente hacer un procedimiento de sintonización
incrementando µ3 . Luego de varias pruebas efectuadas variando los valores de
µ3 se llegó a los polos deseados:
µ1− 2 = −407.5357 ± j 376.6398 ; µ 3 = −77210.7826
(102)
Matriz de ganancias de realimentación calculada:
K = [4.2548 2.6144] ; k I = 1.1483 × 10 3
FIGURA 45.- Señales obtenidas con los polos deseados
µ1−2 = −407.5357 ± j376.6398 ; µ 3 = −1000
(103)
87
Los polos que se indican en la expresión (102) tienen una relación de tamaño
entre µ3 y la parte real de µ1− 2 de aproximadamente 190 veces. Con los
mencionados polos, los resultados mejoraron (figura 45) pero aún se requería
mejorar el Mp, lo cual se obtuvo eliminando la parte imaginaria de los polos
deseados y sometiendo a una nueva sintonización a todos los polos de (102)
µ1 = −452.93 ; µ 2 = −997.4379 ; µ 3 = −52629.72513
(104)
Matriz de ganancias de realimentación calculada:
K = [3.1689 3.4127 ] ; k I = 1.1483×103
(105)
FIGURA 46.- Señales obtenidas con los polos deseados µ1 = −452.938 , µ 2 = −997.437 , µ 3 = −52629.725
Utilizando la matriz (105) los resultados fueron excelentes como se muestra en la
figura 46 pero la constante k I representa un problema si se desea implementar
este diseño en la realidad, ya que correspondería a una alta ganancia
proporcionada con un sistema de amplificadores operacionales lo cual conlleva
88
problemas de saturación, inestabilidad, etc. Por tal motivo se decidió someter a
los polos deseados de la expresión (104) a un ajuste final, de tal forma que sólo la
ganancia k I disminuya ya que k1 y k 2 no representan inconvenientes en una
implementación real debido a su baja denominación.
En primer lugar se redujo la ganancia k I 10 veces de su valor original, es decir
pasó de k I = 1.1483×103 a k I = 114.83 esto se obtuvo con los polos deseados
ubicados en:
µ1 = −30.519 ; µ 2 = −1482.028 ; µ 3 = −52567.547
Con lo cual el tiempo de establecimiento t S se incrementó demasiado. Como se
indica en la figura 47, este tiempo subió alrededor de los 160 milisegundos.
FIGURA 47.- Señales obtenidas con los polos deseados µ1 = −30.519 , µ 2 = −1482.028 , µ3 = −52567.547121
Lo acontecido con el t S en la figura 47, obligó a incrementar
el valor de la
constante integral a k I = 870 obteniéndose resultados aceptables. Pero hay que
89
tomar en cuenta la siguiente consideración: para una implementación real,
posiblemente se deba recurrir a amplificadores de instrumentación, los cuales
presentan un rango de ganancia: 1 < Gain < 1000 .
El valor final de k I = 870 se obtuvo con los siguientes polos deseados:
µ 1 = −291.176 ; µ 2 = −1175.917 ; µ 3 = −52612.985
(106)
Los polos presentados en (106), tienen una relación de tamaño entre µ3 y µ 2 de
aproximadamente 45 veces.
Por lo tanto la matriz de ganancias de realimentación calculada es:
K = [3.1689 3.4127 ] ; k I = 870
FIGURA 48.- Señales obtenidas con los polos deseados µ1 = −291.176 , µ 2 = −1175.917 , µ3 = −52612.985
(107)
90
4.1.2 OBSERVADOR DE ESTADO
Sea: µ 4 = −9800 y µ 5 = − 9800
(108)
Los valores de la expresión (108) si cumplen con el criterio µ 4 − 5 ≈ 10 ⋅ (µ 1− 2 ) si se
considera que µ 4 − 5 = 8 .33 ⋅ (µ 2 ) . Esta consideración se la hace debido a que en
este caso no existen polos deseados de realimentación de estado con partes
reales iguales, por lo cual fue conveniente seleccionar al mayor polo deseado
(que para este diseño es µ 2 ) como referencia para que los polos µ 4 − 5 de
observador de estado sean aproximadamente 10 veces mayores.
Matriz de ganancias de estimación calculada:
8.9178 × 10 4 
Ke = 
4
1.8992 × 10 
(109)
El procedimiento de diseño de la matriz de ganancias del observador mostrada en
(109), se obtuvo sintonizando de forma similar a la que se encontró la matriz para
realimentación de estado (105). En esta parte del diseño los valores altos de las
ganancias de (109) no son un problema porque en una implementación real el
observador de estado es un programa de computadora. Para el proceso de
sintonización, lo que más se tomó en cuenta fue que las variables de estado
iL
ESTIMADA
y V0
ESTIMADO
sigan aceptablemente a sus correspondientes variables de
estado originales i L y V0 .
La simulación completa y los resultados finales obtenidos con las matrices de
ganancias de realimentación y observador de estado (107) y (109), se presentan
en el capítulo 5.
91
4.2 CONTROLADOR ROBUSTO H∞
Siguiendo los pasos similares a los mostrados en el tutorial 2.2.3 se encontraron
las siguientes funciones de ponderación (110) y (111) basadas en las fórmulas
(57) y (58) para diseñar el controlador H∞ del elevador de voltaje.
W1 ( s) =
0.31s + 42200
s + 0.422 × 10 −5
(110)
W2 ( s ) =
s + 31415.16
s + 314151.6
(111)
La planta aumentada P (s ) es:
20006.624 
 0
0
0
- 104.931 - 493.138

 0
 1049.23 - 68.612

− 2781.772
0
0
(112)
 ; Bp = 
Ap = 
64.961
 - 3.203

0.8493 
- 64.940 - 0.00000422
0




531.736 
0
0
0
− 314159.2654
 0

0
− 0.0152 − 0.309 64.961


C =
0
0
0
− 531.736
 − 0.0493 − 0.999

0
0
T
p
y
0.31 0.00405
D p =  0
1 
 1
0.01307 
Los parámetros de diseño quedaron establecidos como en las siguientes figuras
49 y 50:
FIGURA 49.- Parámetros de diseño que cumple el controlador
(a)
Tzw
∞
< γ ; (b) σ [S ( jw)] ≤ W1−1 ( jw)
K∞(s) del elevador de voltaje
92
FIGURA 50.- Parámetros de diseño que cumple el controlador
K∞(s) del elevador de voltaje σ [R( jw)] ≤ W2−1( jw)
El controlador K ∞ (s ) que cumple con las anteriores características es:
K ∞ (s) =
(s + 86 .77 +
j ⋅ 719 .08 ) ⋅ (s + 86 .77 − j ⋅ 719 .08 ) ⋅ (s + 314159 .26 ) ⋅ (s − 1006891049 .99 )
(s + 4.22 × 10 )⋅ (s + 28850 .56 + j ⋅ 24514 .16 ) ⋅ (s + 28850 .56 − j ⋅ 24514 .16 ) ⋅ (s + 1356481 .75 )
−6
(113)
Los polinomios del numerador y el denominador de la función de transferencia
(113) presentan valores numéricos muy altos, lo que aparentemente representaría
un grave problema al tratar de implementar dicha función de transferencia en una
aplicación real. Por esta razón se debe buscar otro controlador con valores
numéricos más pequeños.
Para reducir la función de transferencia del controlador, a continuación se plantea
un nuevo diseño.
W1 ( s ) =
3550
s + 3.55 × 10 −3
(114)
W2 ( s ) =
s + 7539.638
s + 75396.38
(115)
Siguiendo un procedimiento igual al anterior, se obtuvieron los siguientes
resultados para un nuevo controlador:
93
Planta aumentada P (s ) :
20006.624 
0
0
 0
- 104.931 - 493.138

 0
 1049.23 - 68.612

− 2781.772
0
0

;
(116)


Bp =
Ap =
59.581
 - 2.398

0.778 
- 59.562 - 0.00355
0




260.493 
0
0
0
− 75396.384
 0

0
0
59.581
0



0
0
0
− 260.493
C =
− 0.0493 − 0.999

0
0
T
p
0

1 
1 0.01307
y D p = 0

0
Las características que cumple el nuevo controlador son:
FIGURA 51.- Parámetros de diseño que cumple el controlador
(a)
Tzw
∞
K∞(s) del elevador de voltaje
< γ ; (b) σ [S ( jw)] ≤ W1−1 ( jw)
FIGURA 52.- Parámetros de diseño que cumple el controlador
K∞(s) del elevador de voltaje σ [R( jw)] ≤ W2−1( jw)
94
Controlador K ∞ (s ) resultante:
K ∞ (s) =
(s + 86 .77 +
j ⋅ 719 .08 ) ⋅ (s + 86 .77 − j ⋅ 719 .08 ) ⋅ (s + 75396 .38 )
(s + 3.55 × 10 )⋅ (s + 10534 .26 + j ⋅ 16475 .7 ) ⋅ (s + 10534 .26 − j ⋅ 16475 .7 ) ⋅ (s + 35309 .05 )
−3
(117)
La función de transferencia de este nuevo controlador contiene valores numéricos
menores en comparación con la función de transferencia (113), bajo dichas
condiciones, la implementación real de (117) podría llevarse a cabo mediante
configuraciones especiales de filtros.
Se debe tomar en cuenta que para mantener la cc con este tipo de controlador
ante las perturbaciones de voltaje de entrada y corriente de carga, es necesario
hacer que el conversor trabaje a frecuencias mucho mayores a f SW ≈ 2.5
por lo cual se selecciona f SW ≈ 12
[KHz] ,
[KHz] como frecuencia de conmutación.
4.3 CONTROLADOR DIFUSO TS
En base a lo señalado en el tutorial 2.3.3, se diseñan en las siguientes páginas
dos variantes de un controlador PI difuso partiendo del siguiente controlador PI
convencional.
GC ( s) = 0.29091 +
75.864
s
(118)
La ecuación (118) corresponde a un controlador PI para controlar el elevador de
voltaje diseñado en el literal 3.1.2 y sus parámetros son:
Kp = 0.29091 y Ki = 75.864
4.3.1 CONTROLADOR PI DIFUSO TS
En la figuras 53 y 54 se analiza el funcionamiento del controlador (118) trabajando
con el elevador de voltaje de la sección 3.1.2 en cc, para determinar los universos
de discurso tanto de la señal de error como de la integral del error.
95
FIGURA 53.- Universo de discurso del error de voltaje de salida del elevador, el cual es controlado con un PI
[
convencional, eVo ∈ − 1 . 5
20 ]
FIGURA 54.- Universo de discurso de la integral del error de voltaje de salida del elevador, controlado con un PI
convencional
∫e
Vo
∈ [0
0 .0292 ]
Para encontrar el algoritmo de control, se usa la ecuación (73) como una analogía
del controlador convencional PI ecuación (76), es decir p = Kp ; q = Ki . Por tanto
el controlador PI difuso TS resultante, se presenta en las figuras 55, 56 y 57.
96
FIGURA 55.- Estructura TS con variables de entrada y de salida para un controlador PI difuso TS
En la figura 55: e representa las funciones de membrecía del error de voltaje, inte
las funciones de membrecía de la integral del error de voltaje, PI la base de reglas
o condicionales y finalmente iref las ecuaciones TS del controlador para adquirir
los valores de salida del controlador.
FIGURA 56.- Funciones de membrecía de un controlador PI difuso TS para el elevador de voltaje
De la figura 56 se puede notar que las etiquetas para las funciones de membrecía
del error son: PBG positivo demasiado grande, PMMG positivo muy muy grande,
PMG positivo muy grande, PG positivo grande, P positivo, Z cero. Las etiquetas
97
para las funciones de membrecía de la integral del error son: Pop poco positivo,
Zep cero positivo y Zero cero.
FIGURA 57: Controlador PI difuso (a) Ecuaciones TS del controlador PI difuso, (b) Base de reglas
En la figura 57(a) iref 1 = iref 2 = iref 3 = iref 4 = iref 5 = iref 6 = 0.2909 ⋅ e + 75.86 ⋅ ∫ e
La base de reglas que se presenta en la figura 57(b) es la siguiente:
Si el error e es PBG entonces la salida del controlador es iref1
Si el error e es PMMG entonces la salida del controlador es iref2
Si el error e es PMG entonces la salida del controlador es iref3
Si el error e es PG entonces la salida del controlador es iref4
Si el error e es P entonces la salida del controlador es iref5
Si el error e es Z entonces la salida del controlador es iref6
4.3.2 CONTROLADOR PI DIFUSO TS MODIFICADO
Para diseñar este sistema se utilizan los mismos universos de discurso de las
figuras 53 y 54, pero además la base de reglas es una combinación de
las
ecuaciones (73) y (75). Por lo tanto, el algoritmo de control requiere del control PI
98
convencional (76) y de dos valores constantes que son analogía de la ecuación
(75). Las dos constantes son el valor de máxima corriente I Lmáx calculado en la
etapa de diseño y un valor intermedio de corriente de inductor establecido entre
I L e I Lmáx , inecuación (119).
I L ≤ I L' < I Lmáx
(119)
Donde: I L = 1.32 [ A] , I Lmáx = 2.33 [ A]
Por lo tanto se asume el valor intermedio de corriente de inductor como:
I L' = 1.45 [ A]
El resultado de este controlador es el que aparece en las figuras 58 y 59.
FIGURA 58.- Controlador PI difuso modificado (a) Estructura del controlador, (b) Funciones de membrecía
La estructura del controlador, los universos de discurso y las funciones de
membrecía de la figura 58 son los mismos que los explicados para las figuras 55 y
56.
99
FIGURA 59.- Controlador PI difuso modificado (a) Ecuaciones TS, (b) Base de reglas
En la figura 59a las ecuaciones TS para el controlador PI difuso modificado son
las siguientes:
iref 1 = kte1 = 2.33
iref 2 = iref 3 = iref 4 = 0.2909 ⋅ e + 75.86 ⋅ ∫ e
iref 5 = kte1 = 2.33
iref 6 = kte2 = 1.45
La base de reglas que se presenta en la figura 59b es la misma que se detalló
para la figura 57b.
100
CAPÍTULO 5
PRUEBAS Y RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES
5.1 SIMULACIONES DEL ELEVADOR SIN PERTURBACIONES
En esta parte del trabajo se presentan las simulaciones de los cuatro sistemas de
control diseñados, considerando que no existe ninguna clase de perturbación en
el sistema del elevador de voltaje. Esto se hace con el objetivo de verificar si los
parámetros de funcionamiento mejoraron con los controladores implementados.
5.1.1 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR ESPACIO DE ESTADO
Las figuras 60, 61 y 62 indican la correspondiente simulación del elevador con
realimentación de estado observado.
FIGURA 60.- Elevador de voltaje controlado con realimentación de estado observado
En la forma de onda del voltaje de salida (Vload) que aparece en la figura 61, se
ve que existe un pequeño transitorio en el intervalo comprendido entre 0 y 0.01
segundos. Esto se debe a que observador de estado tiene condiciones iniciales
101
iguales a cero en el momento en que arranca la simulación, por lo cual una vez
que su funcionamiento se estabiliza, desaparece este transitorio y la señal de
salida alcanza los 20 voltios.
FIGURA 61.- Formas de onda del elevador controlado por espacio de estado
FIGURA 62.- Acercamiento a la parte estable de formas de onda de la figura 61
102
La forma de onda de corriente de inductor iL de la figura 62 muestra una señal
triangular, cuyo máximo llega a dos amperios, por lo cual este tipo de control
además de mantener la conducción continua (cc), permite que la corriente de
inductor no supere el valor máximo de diseño.
FIGURA 63.- Formas de onda a la salida del observador de estado: Vo estimado e iL estimada
FIGURA 64.- Acercamiento en la parte estable de las formas de onda de la figura 53
FIGURA 65.- Formas de onda estimadas y reales de voltaje Vo, corriente iL: (a) verde = Vo estimado, azul = Vo real;
(b) verde = iL estimada, azul = iL real
103
En las figuras 63, 64 y 65, se verifica que el observador de estado funciona bien,
porque el Vload estimado sigue al Vload real y sólo hay un mínimo error en la
estimación de iL (offset de iL). El offset se debe a que en este sistema de control,
se consideró otra variable de estado (voltaje de capacitor estimado) para cumplir
con la teoría de Ogata donde además de realimentar la variable de salida, se
realimentan dos variables de estado estimadas (figura 7).
5.1.2 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR UN SISTEMA H∞
FIGURA 66.- Elevador de voltaje controlado por un sistema
H∞
FIGURA 67.- Formas de onda del elevador controlado por un sistema
H∞
104
FIGURA 68.- Acercamiento a la parte estable de las formas de onda de la figura 67
En la figura 67 se observa un transitorio satisfactorio en la señal de voltaje de
salida comparado con el comportamiento del sistema que emplea sólo control
PWM, en el que existe un sobrepico de 15 voltios (figura 41). En cuanto al tiempo
de establecimiento t S , éste se encuentra alrededor de 20 milisegundos siendo
menor que el de espacio de estado que es aproximadamente 25 milisegundos,
pero mayor al del sistema que tiene sólo PWM.
La simulación para el diseño se vuelve más lenta.
El sistema de control simulado en las figuras 66 a 68, mejora las características
tanto de estado estable como transitoria (excepto el t S ), disminuye el pico máximo
de la corriente del inductor haciendo que éste llegue sólo a 1.71 amperios y
también conserva la cc.
105
5.1.3 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR PI DIFUSO TS
FIGURA 69.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS
FIGURA 70.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS
En la figura 70, la parte transitoria de la forma de onda del voltaje de salida
todavía exhibe un sobrepico, y el tiempo de estabilización es mayor que en el
caso en el que el conversor utiliza sólo control PWM.
106
FIGURA 71.- Acercamiento a la parte estable de las formas de onda de la figura 70
De la figura 71, se puede apreciar que en la forma de onda de voltaje de salida,
su rizado se incrementó. También en esta figura se puede notar que la corriente
del inductor creció y su amplitud está cercana a los 3 amperios, y aunque aún se
encuentra en cc, ya está cercana al límite entre la cc y la cd (conducción
discontinua).
5.1.4 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR UN PI DIFUSO TS
MODIFICADO
FIGURA 72.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado
107
FIGURA 73.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado
FIGURA 74.- Acercamiento a la parte estable de las formas de onda de la figura 73
108
La forma de onda de voltaje de salida de la figura 73 presenta su parte transistoria
mejorada completamente, ya que no existe ningún sobrepico y el tiempo de
establecimiento t S se redujo aproximándose a 16 milisegundos.
La figura 74 en cambio indica una forma de onda de voltaje con rizado menor al
caso del controlador PI difuso TS (figura 71). La corriente de inductor sigue
manteniendo su amplitud cercana a los 3 amperios, pero sube hacia la cc.
5.1.5 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LAS SIMULACIONES DE LOS CUATRO CONTROLADORES
La Tabla №1 presenta un cuadro comparativo del desempeño de los
controladores diseñados para el elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20 [V]. En esta
tabla, un visto en el casillero correspondiente a cc representa que el conversor se
encuentra operando en conducción continua para ese tipo de controlador, por
consiguiente los tres guiones en el casillero de cd significan que no está
trabajando en conducción discontinua.
Tabla №1
Sistema de control implementado en el
elevador de voltaje
Características del controlador implementado
Mp
ts
cc
cd
∆VO / VO
[%]
[ms]
78.491
13
2.023
---
---
25
0.86
---
H∞ + PWM
---
20
0.395
---
PI Difuso TS + PWM
7.516
20
2.45
---
PI Difuso TS Modificado + PWM
0
16
2.35
---
Sólo PWM
Espacio de Estado + PWM
[%]
En la columna correspondiente a Mp, tanto para espacio de estado y H∞ los tres
guiones significan que no existe Mp pero existe un pequeño transitorio. Los
valores de la tabla anterior, identifican al controlador PI difuso TS modificado
como el más indicado a la hora de satisfacer condiciones de estado transitorio.
109
5.2 SIMULACIONES DEL ELEVADOR CON PERTURBACIÓN EN
EL VOLTAJE DE ENTRADA
La perturbación en el voltaje de entrada consiste en reducir o incrementar el
voltaje de la fuente de alimentación en un determinado porcentaje, de acuerdo a
la capacidad para estabilizar el sistema, que tenga el controlador asignado. Los
porcentajes de voltaje de entrada Vin que se añaden o restan de la fuente, se
colocan a los 31 milisegundos y a los 75 milisegundos de iniciada la simulación
para los cuatro sistemas de control que son motivo de análisis de éste trabajo.
5.2.1 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR ESPACIO DE ESTADO
De las pruebas efectuadas, se comprobó que este controlador soporta ±20% de
variaciones en el Vin. Si este porcentaje se incrementa, dejan de funcionar
simultáneamente el controlador y el sistema elevador.
FIGURA 75.- Elevador controlado con realimentación de estado observado, sometido a perturbaciones de ±20% en el Vin
110
FIGURA 76.- Formas de onda del elevador controlado por espacio de estado sometido a perturbaciones de ±20% en el Vin
FIGURA 77.- Formas de onda estimadas y reales de voltaje Vo, corriente iL cuando el elevador es sometido a
perturbaciones en el voltaje Vin: (a) verde = Vo estimado, azul = Vo real (b) verde = iL estimada,
azul = iL real;
El controlador de espacio de estado soporta perfectamente las variaciones de
voltaje de entrada, esto se indica en la señal de voltaje de salida V load de la
figura 76. La corriente iL alcanza como máximo 3 amperios en estas condiciones,
como se puede ver en la figura 76.
111
5.2.2 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON UN SISTEMA H∞
Este controlador soporta ±15% de variaciones en el Vin. Si este porcentaje se
incrementa, dejan de funcionar simultáneamente el control y el sistema elevador.
FIGURA 78.- Elevador de voltaje controlado por un sistema
H ∞ sometido a perturbaciones de ±15% en el Vin
FIGURA 79.- Formas de onda del elevador controlado por un sistema
H ∞ sometido a perturbaciones de
±15% en el Vin
La forma de onda de V load en la figura 79 indica que el controlador responde
bien a las perturbaciones sometidas. La corriente iL sube aproximadamente a 3.5
amperios.
112
5.2.3 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON PI DIFUSO TS
En este controlador se utilizó perturbaciones de -15% del Vin y +10% del Vin en la
fuente de alimentación. A continuación se analizan sus resultados.
FIGURA 80.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS sometido a perturbaciones de -15% y +10% en el Vin
FIGURA 81.- Formas de onda del elevador con control PI difuso TS sometido a perturbaciones de -15% y +10% en el Vin
El control PI difuso TS, no soportó perturbaciones de porcentaje positivo en Vin,
sólo las de tipo negativo hasta un -15%. En la forma de onda de voltaje de salida
V load de la figura 81, se puede notar que el control PI difuso aparentemente
logra estabilizar al sistema elevador, ante las perturbaciones de -15% y +10%,
113
pero no es del todo cierta esta afirmación, ya que si se hace un acercamiento en
la forma de onda de corriente iL (figura 82), se verifica que iL toma valores
negativos porque pasa de la cc a la cd en el intervalo de tiempo en el cual el
controlador se encuentra estabilizando el sistema en presencia de la perturbación
de +10%.
FIGURA 82.- Forma de onda de iL cuando el control PI difuso se encuentra estabilizando el sistema, en presencia de la
perturbación de +10% en el voltaje de entrada Vin
5.2.4 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON PI DIFUSO TS
MODIFICADO
En este controlador se trabajó con las mismas perturbaciones del literal 5.2.3.
FIGURA 83.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado sometido a perturbaciones de -15% y +10% en el
voltaje de entrada Vin
114
FIGURA 84.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado
sometido a perturbaciones de -15% y +10% en el voltaje de entrada Vin
Como se nota en la figura 84, la forma de onda de voltaje de salida V load cae a
un valor menor a 20 voltios, y nunca vuelve a subir una vez que ha ingresado la
perturbación de -15% de Vin, esto ocurre a partir de los 31 milisegundos. De la
misma manera cuando ingresa la perturbación de +10% de Vin la señal no
regresa a su estado estable, pero esta vez sube a un valor mayor a 20 voltios,
esto sucede a partir de los 75 milisegundos.
Aunque el controlador PI difuso modificado, no estabiliza al sistema en presencia
de perturbaciones del Vin, al analizar la corriente iL se puede notar que la misma
se mantuvo todo el tiempo en cc. Esto se verifica fácilmente cuando se hace un
acercamiento a la forma de onda de iL, en el intervalo de tiempo donde mayor
caída de corriente existe es decir, cuando está presente la perturbación de +10%
de Vin (figura 85).
115
FIGURA 85 .- Forma de onda de iL durante la presencia de la perturbación de +10% en el voltaje de entrada Vin
5.2.5 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON
LAS SIMULACIONES DE LOS CUATRO CONTROLADORES
En la tabla №2, se tiene un análisis que compara las respuestas de los
controladores diseñados ante la presencia de perturbaciones en el voltaje de
entrada. Un visto indica que el controlador responde bien y tres guiones quieren
decir que no hace nada ante las perturbaciones. Esta tabla no contiene el análisis
para el caso en el que sólo se usa control PWM con realimentaciones de Vo e iL
porque este tipo de control no responde a ningún tipo de perturbación.
Tabla № 2
Comportamiento con incremento de fuente
Sistema de
Máximo % de
Respuesta
Control
Vin sumado a
del
Implementado
la fuente
Comportamiento con reducción de fuente
Máximo % de
c.c.
c.d.
controlador
Respuesta
Vin restado
del
de la fuente
controlador
c.c.
c.d.
Espacio de
Estado +
+20
Si
No
-20
Si
No
+15
Si
No
-15
Si
No
+10
No
Si
-15
Si
No
+10
---
Si
No
-15
---
No
Si
PWM
H∞ +
PWM
PI Difuso TS
+ PWM
PI Difuso TS
Modificado +
PWM
116
De la tabla №2 se puede concluir que para perturbaciones en el voltaje de la
fuente, tanto el control por espacio de estado como el de H∞ presentan buenos
resultados ya que además de estabilizar el sistema a su respectivo voltaje de
salida, mantienen la cc. Pero se debe señalar que la simulación del H∞ es la más
lenta de todos casos estudiados.
5.3 SIMULACIONES DEL ELEVADOR CON PERTURBACIÓN EN
LA CORRIENTE DE CARGA
Para perturbar la corriente de carga (iLoad), se baja o se sube el valor de la
resistencia de carga, de acuerdo al porcentaje que se quiera aumentar o disminuir
a la corriente de carga. Para los cuatro sistemas de control, el incremento y
disminución de la resistencia de carga se colocan a los 31 milisegundos y a los 75
milisegundos respectivamente, contados a partir del inicio de la simulación.
5.3.1 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR ESPACIO DE ESTADO
Para este caso de estudio primero se va a restar de la corriente de carga (iLoad)
-30%, lo que equivale a incrementar la resistencia de carga hasta el valor de
44.285 ohmios siguiendo la ley de Ohm, desde el tiempo t = 31 mseg . Después se
sumará a dicha corriente +30%, lo que significa bajar la resistencia de carga
hasta 23.846 ohmios, desde t = 75 mseg .
FIGURA 86.- Elevador de voltaje controlado con espacio de estado sometido a perturbaciones de ±30% en la iLoad
117
FIGURA 87.- Formas de onda del elevador controlado por espacio de estado y sometido a perturbaciones de ±30% en la
corriente de carga. En la forma de onda de voltaje de salida V load los círculos rojos indican el efecto de las
perturbaciones: -30% de iLoad y +30% de iLoad
FIGURA 88.- Formas de onda estimadas y reales de voltaje Vo, corriente iL cuando el elevador es sometido a
perturbaciones de -30% de iLoad y +30% de iLoad: (a) verde = Vo estimado, azul = Vo real; (b) verde = iL
estimada, azul = iL real. Los círculos rojos indican donde se producen las perturbaciones para la señal del
voltaje de salida.
Este controlador máximo soporta ±30% de variación en la corriente de carga. Los
círculos rojos de la señal de voltaje de salida V load (figura 87), muestran como
las variaciones de carga afectan de forma casi imperceptible al voltaje de salida y
lo mismo ocurre en la señal de voltaje estimado de salida (figura 88). La señal iL
no pasa de los 3 amperios pero su rizado es cercano a 1 amperio.
118
5.3.2 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON UN SISTEMA H∞
Para este controlador se utilizaron las mismas condiciones de perturbación de
corriente de carga del caso con realimentación de estado observado literal 5.3.1.
FIGURA 89.- Elevador de voltaje controlado por un sistema
H ∞ sometido a perturbaciones
de ±30% en la corriente de la carga
FIGURA 90.- Formas de onda del elevador controlado por un sistema
de ±30% en la corriente de carga iLoad.
H ∞ sometido a perturbaciones
119
Al probar este controlador con las mismas perturbaciones de corriente de carga
del caso anterior, se observa en la figura 90, que los efectos en la señal de voltaje
de salida son ligeramente más notables que los del controlador por realimentación
de estado observado, pero el controlador H ∞ también consigue que el voltaje de
salida se estabilice y siga la referencia de 20 voltios.
Se debe resaltar el hecho de que la corriente iL tampoco pasa de los 3 amperios
pero su rizado es mucho más bajo que el de realimentación de estado observado,
pero tanto en el un caso como en el otro, se mantiene la conducción continua cc.
5.3.3 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON PI DIFUSO TS
Para el controlador PI difuso TS se utilizaron las siguientes cargas resistivas: una
de 34.831 ohmios, que representa disminuir la corriente de carga iLoad en -11% y
una de 23.846 ohmios que significa subir iLoad en +30% de su valor nominal.
FIGURA 91.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS sometido a perturbaciones de -11% y +30% en la iLoad
El control PI difuso TS, no pudo estabilizar el sistema completamente porque
aunque el voltaje de salida regresa al valor de referencia (forma de onda de
voltaje de salida V load figura 92), la señal de corriente pasó de la cc a la cd
cuando se aplicó la perturbación de -11% de la corriente de carga iLoad. Por tanto
el controlador sólo puede estabilizar completamente el sistema elevador para
perturbaciones de máximo +30% de iLoad, pero no funciona para porcentajes
negativos.
120
FIGURA 92.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS sometido a perturbaciones de -11% y +30%
en la corriente de la carga
FIGURA 93.- Forma de onda de iL cuando el control PI difuso se encuentra estabilizando el sistema, en presencia de la
perturbación de -11% en la corriente de la carga iLoad
En la figura 93 se puede ver como la iL toma valores negativos en el intervalo de
tiempo donde se está aplicando -11% de iLoad.
121
5.3.4 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON PI DIFUSO TS
MODIFICADO
Esta simulación se efectuó con las mismas condiciones de perturbación del caso
anterior literal 5.3.3.
FIGURA 94.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado con perturbaciones de -11% y +30% en la iLoad
FIGURA 95.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado sometido a perturbaciones de
–11% y +30% de iLoad
122
La forma de onda de voltaje de salida V load sube a un valor mayor a 20 voltios, y
nunca vuelve al valor de referencia de 20 voltios mientras dura la perturbación de
-11% de iLoad, esto ocurre a partir de los 31 milisegundos. Cuando se produce la
perturbación de +30% de iLoad, la señal de voltaje se mantiene por debajo de los
20 voltios, esto sucede a partir de los 75 milisegundos.
FIGURA 96 .- Forma de onda de la corriente del inductor iL durante la presencia de la perturbación de la perturbación de
-11% en la corriente de la carga iLoad
Por las razones antes expuestas, el PI difuso modificado no es apto para
estabilizar al sistema en presencia de perturbaciones de corriente de carga. Pero
en comparación con el controlador PI difuso TS, éste sí mantiene la cc para las
perturbaciones antes mencionadas ya que durante la caída de iLoad de -11%, la
corriente de inductor iL nunca tomó valores negativos (figura 96).
5.3.5 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON
LAS SIMULACIONES DE LOS CUATRO CONTROLADORES
La tabla №3 contiene en resumen los comportamientos de los cuatro
controladores ante la presencia de perturbaciones en la corriente de carga iLoad,
pero no se analiza el caso en el que sólo se utiliza control PWM con
realimentaciones de Vo e iL porque este sistema de control trabaja pero no
responde en absoluto a perturbaciones en la carga.
123
Tabla № 3
Comportamiento con incremento de iLoad
Sistema de
Máximo % de
Respuesta
Control
iLoad sumado
del
Implementado
a la carga
c.c.
c.d.
controlador
Comportamiento con reducción de iLoad
Máximo % de
Respuesta
iLoad restado
del
de la carga
c.c.
c.d.
controlador
Espacio de
Estado +
+30
Si
No
-30
Si
No
+30
Si
No
-30
Si
No
+30
Si
No
-11
No
Si
+30
---
Si
No
-11
---
No
Si
PWM
H∞ +
PWM
PI Difuso TS
+ PWM
PI Difuso TS
Modificado +
PWM
Se puede concluir de la tabla №3 que los mejores sistemas de control para
perturbaciones de corriente de carga, son el de espacio de estado y el H ∞ ya que
al mismo tiempo que mantienen la operación en cc, recuperan el seguimiento de
la señal de consigna por parte del voltaje de salida. Pero se debe tomar en cuenta
que también en este caso la simulación H ∞ es la más lenta.
124
CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1 CONCLUSIONES
Los procedimientos para la sintonización de controladores diseñados por espacio
de estado y control difuso, fueron los que mayor tiempo y paciencia demandaron.
En cuanto a la complejidad del diseño de los controladores con estas tres
técnicas, contrariamente a lo que se pueda pensar por la matemática que utiliza la
técnica de control robusto H infinito H ∞ , ésta fue la más versátil para el desarrollo
del respectivo controlador.
La lentitud en la simulación del controlador H ∞ se debe a que con este sistema, el
control PWM se encuentra trabajando a alta frecuencia de aproximadamente
f SW ≈ 12
[KHz]
. La frecuencia mencionada hace que el funcionamiento de
Simulink se vuelva más lento en el momento en que realiza las operaciones
matemáticas para la función de transferencia de control.
Controlar el sistema elevador de voltaje de este trabajo de titulación en presencia
de perturbaciones, tuvo mejores resultados cuando se empleó la técnica de
espacio de estado, en comparación con las otras dos técnicas ya que además de
proporcionar una simulación rápida, se consiguió características de robustez
excelentes.
En el controlador proporcional integral PI difuso Takagi Sugeno TS, las
características de robustez ya no serían válidas ya que como se pudo ver en las
125
tablas 2 y 3, hay ciertas perturbaciones para las cuales consigue estabilizar el
voltaje de salida pero a costa de pasar de la conducción continua cc a la
conducción discontinua cd. Sin embargo no se puede generalizar la falta de
robustez para todos los controladores PI difusos TS, ya que éste es sólo un caso
específico debido a que el algoritmo de control utilizado demostró no ser el más
indicado para este tipo de planta, por las no linealidades existentes en la misma.
Cuando no existían perturbaciones en el sistema, el controlador PI difuso TS
modificado, generó características de funcionamiento muy buenas en el elevador
de voltaje ya que se obtuvieron parámetros de estado transitorio muy
satisfactorios y también se logró reducir a un nivel aceptable los de estado
estable.
Las acciones de mejoramiento que realizó el PI difuso TS modificado cuando no
existieron perturbaciones son: eliminación del máximo sobreimpulso Mp (lo cual
no se consiguió con ninguna de las otras dos técnicas), disminuyó el tiempo de
establecimiento t S significativamente. En cuanto a la relación rizado a voltaje de
salida se puede decir que no la redujo en niveles considerables pero si
aceptables.
El controlador con mejor relación rizado a voltaje de salida, indudablemente fue el
H ∞ , y además tuvo una respuesta muy satisfactoria a las perturbaciones ya que
mantuvo la cc mientras estabilizaba el voltaje de salida. Su único problema es que
la simulación se vuelve más lenta comparada a la de los otros dos sistemas de
control.
Las perturbaciones empleadas en el capítulo 5, fueron los límites máximos a los
que se podía someter a esos controladores, ya que los mismos fueron diseñados
en base al modelo a variables de estado del elevador de voltaje, y para encontrar
éste, se hicieron algunas aproximaciones como eliminación de no linealidades y
elementos de segundo orden, por lo cual las perturbaciones no se pueden alejar
126
demasiado de las condiciones normales de funcionamiento, ya que todo el
sistema (controlador más planta) pueden dejar de funcionar.
Se revaloriza el diseño de espacio de estado, ya que además de presentar
características de robustez ante las perturbaciones, utiliza estimación de la
corriente de inductor en lugar del sensado de la corriente real.
6.2 RECOMENDACIONES
Para mejorar la robustez del controlador PI difuso TS se sugiere cambiar
completamente el algoritmo PI difuso TS, recurriendo al algoritmo discreto de un
controlador PI difuso con su equivalente ecuación de diferencias, lo cual podría
constituir un proyecto diferente.
Para futuros proyectos se podría estudiar las mismas tres técnicas de control
avanzado pero aplicadas en condiciones de cd y con cargas resistiva inductiva RL, resistiva inductiva con fuente de voltaje R-L-E.
Para hacer más rápida la simulación con control H ∞ , se puede bajar la frecuencia
de conmutación pero esto implica que suba el tiempo de establecimiento y que
además se pierda la cc en presencia de perturbaciones cuando se baja a valores
cercanos a f SW ≈ 2.5
[KHz] .
127
BIBLIOGRAFÍA
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Universidad de Minessota, U.S.A. 1998, páginas 823-891
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[3]
RUBIO FRANCISCO., SANCHEZ MANUEL., “Control Adaptativo y Robusto”,
Universidad de Sevilla, España 1996, páginas 150-196, 227-252, 259-276
[4]
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LÓPEZ JAIME, “Análisis y Diseño de Sistemas Multivariables Robustos
Usando Matlab”, E.P.N., Quito Ecuador 1995
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[8]
RUBIO FRANCISCO., “Control Engineering Applications”, Universidad de
Sevilla, España 1997
[9]
CÁMARA J., CASTAÑO F., ORTEGA M., RUBIO F., “Controlador Mediante
Sensibilidad Mixta S/KS/T aplicado a una Planta Piloto”, Universidad de
Sevilla, España, páginas 1-7
[10] VIDAL ENRIC, “Aportación de la Lógica Borrosa y del Control H∞ a la
Regulación de Sistemas Conmutados Continua Continua”, Universidad
Politécnica de Cataluña, España 2001, páginas 62-88
128
[11] SHAHIAN B., HASSUL M., “Control System Design Using Matlab”, Prentice
Hall 1993 U.S.A., páginas 395-409, 421-433
[12] ORTEGA M., RUBIO F., “Síntesis de Controladores H∞ Lineales”,
Universidad de Sevilla, España.
[13] CLAVIJO ROBINSON., “Controlador Difuso Aplicado a Conversores DCDC”, 2001 E.P.N., Quito Ecuador 2001.
[14] THE MATHWORKS INC., “Fuzzy Logic Toolbox For Use with Matlab”, The
Mathworks Inc. U.S.A. 1995
[15] MIDDLEBROCK R., CUK S., “A General Unifed Approach to Modelling
Switching Converters Stages”, IEEE PESC Record 1976, páginas 73-86.
ANEXOS
I
ANEXO A
MANUAL DE USUARIO
A.1 MANUAL DE USO DE PROGRAMAS Y SIMULACIONES
Este manual indica cómo utilizar los programas que fueron diseñados para los
sistemas de control del elevador de voltaje. Además se explica como simular el
elevador con estos controladores. Se requiere Matlab 7.4 o versiones superiores.
A.1.1 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO ÚNICAMENTE POR PWM
Elevador de voltaje controlado únicamente por PWM, se refiere al que se diseñó
y simuló en el capítulo tres, que sólo tiene control PWM y realimentaciones de
voltaje de salida V load y de corriente de inductor iL.
Para simular este caso, se debe abrir con el Matlab desde el disco Mi Tesis
el archivo llamado “Elevador10a20.mdl”, que se encuentra en la carpeta
Elevador sólo Control PWM como se muestra en las figuras A1 y A2.
FIGURA A1.- Ubicación de la carpeta Elevador sólo Control PWM en el disco Mi tesis
II
FIGURA A2.- Ubicación del archivo Elevador10a20.mdl en la carpeta Elevador sólo Control PWM
El archivo abierto aparecerá como en la figura A3, donde se procede a presionar
el botón de play de la parte superior del menú para comenzar la simulación.
FIGURA A3.- Simulación del elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20 [V] trabajando sólo con control PWM y con
realimentaciones de voltaje de salida V load y de corriente de inductor iL
A.1.2 ELEVADOR DE VOLTAJE CON ESPACIO DE ESTADO
A.1.2.1 Manejo del Programa para Calcular las Matrices de Ganancias de Estado
Las siguientes indicaciones sirven para el cálculo de las matrices de ganancias
tanto de realimentación de estado como de observador de estado del literal 4.1.
III
Abrir con Matlab desde el disco Mi Tesis el programa que se llama
“ElevadorEEProgram.m”, que se encuentra en la carpeta Elevador Espacio
de Estado y abrir el programa TutoEspacioProgram.m como se indica en la
figura A4.
FIGURA A4.- Ubicación del programa de diseño de matrices de ganancias para el controlador de espacio de estado
Una vez que esté abierto el programa (figura A5), presionar la tecla F5 para
hacerlo correr. Cuando se corre por primera vez cualquier programa “.m” en
Matlab, aparece el mensaje que se indica en la figura A6, al que se le debe
dar click en la opción change directory.
FIGURA A5.- Listado del programa ElevadorEEProgram.m para cálculo de las matrices de ganancias de estado
IV
FIGURA A6.- Mensaje que aparece en la pantalla cuando se corre por primera vez cualquier programa “.m” en Matlab
A continuación en el workspace del Matlab se pide el ingreso de los polos
deseados para el cálculo de la matriz de ganancias de realimentación de
estado (figura A7).
FIGURA A7.- Ingreso de polos deseados programa ElevadorEEProgram.m
Siendo los polos deseados: µ 1 = −291.176 , µ 2 = −1175.917 y µ 3 = −52612.985
Siguiendo la explicación de la figura A7 en donde se encuentra el cursor, los
polos deseados deben digitarse respetando los ceros y signos de punto y
coma.
Re = [µ1 0 0;0 µ2 0;0 0 µ3] : [-291.176 0 0;0 -1175.917 0;0 0 -52612.985]
V
Al dar un enter al final de la línea anterior, el programa entrega las
constantes de realimentación de estado (figura A8). Pero también se pide
nuevamente el ingreso de polos deseados para que esta parte del programa
calcule las constantes de realimentación pero ahora usando el método
alternativo mediante el toolbox de control system.
FIGURA A8.- Parte superior: Constantes k1, k2 y kI de realimentación de estado, calculadas con subrutinas de Matlab.
Parte inferior: Ingreso de polos deseados para cálculo de constantes de realimentación de estado con
método alternativo con el Toolbox de Control System
Los polos deseados se ingresan como indica la figura A8, respetando los
espacios entre polos, pero sin añadir ceros:
R = [µ1 µ2 µ3]: [-291.176 -1175.917 -52612.985]
Las constantes de realimentación de estado se obtienen al dar un enter al
final de esta línea (figura A9). En la parte inferior de esta figura, hay un
mensaje que pide presionar cualquier tecla para continuar ya que ahora el
programa tendrá que calcular la matriz de ganancias del observador de
estado (figura A10) utilizando subrutinas de Matlab en base a uno de los
métodos teóricos.
VI
FIGURA A9.- Constantes k1, k2 y kI, calculadas mediante método alternativo usando el Toolbox de Control System
FIGURA A10.- Ingreso de polos deseados para calcular la matriz de ganancias de observador de estado
mediante subrutinas de Matlab, aplicando uno de los métodos teóricos
VII
Los polos deseados deben ser ingresados siguiendo la instrucción que se
encuentra antes del cursor en la figura A10.
Polos deseados para observador de estado: µ 4 = −9800 ; µ 5 = −9800
Oe = [µ4 0;0 µ5] : [-9800 0;0 -9800]
Con el enter al final de la línea de Oe, se calcula la matriz de ganancias de
observador de estado indicada en la parte superior de la figura A8, y en la
parte inferior de esta figura, el programa pide nuevamente los polos
deseados para calcular la anterior matriz de ganancias pero por el método
alternativo.
FIGURA A11.- Parte superior: Matriz de ganancias de observador de estado Ke, calculadas con subrutinas de Matlab.
Parte inferior: Ingreso de polos deseados para cálculo de Ke con el método alternativo usando el
Toolbox de Control System
Los polos deseados se ingresan como indica la última línea de programa de la
figura A11:
Obs = [µ4 µ5]: [-9800 -9800]
VIII
Al presionar enter, la matriz de ganancias de observador de estado queda
definida como en la figura A12.
FIGURA A12.- Matriz Ke calculada por método alternativo utilizando Toolbox de Control System
A.1.2.2 Simulación del Elevador controlado por Espacio de Estado
Para efectuar la simulación del elevador controlado por espacio de estado,
se debe abrir nuevamente desde el Matlab la carpeta Elevador Espacio de
Estado, pero esta vez se selecciona el archivo ElevadorEE.mdl que se indica
en la figura A4.
En la nueva ventana de trabajo que contiene el elevador de voltaje
controlado por espacio de estado (figura A13), se procede a presionar el
botón de play y la simulación habrá comenzado.
IX
FIGURA A13.- Indicaciones para simular el elevador de voltaje controlado por espacio de estado
Para las simulaciones de las perturbaciones, se debe abrir el archivo
ElevadorEEVje.mdl para perturbaciones de voltaje de entrada ó el archivo
ElevadorEEIte.mdl para perturbaciones en la corriente de carga, que se
encuentran en la misma carpeta antes mencionada.
A.1.3 ELEVADOR DE VOLTAJE CON CONTROL ROBUSTO H∞
A.1.3.1 Manejo del Programa de Diseño del Controlador H∞
Para el diseño del controlador del literal 4.2, en primer lugar se debe abrir el
programa ElevadorHinfProgram.m de la carpeta Elevador Control Hinf, como
se indica en la figura A14. El programa abierto se presenta en la figura A15.
X
FIGURA A14.- Ubicación del programa de diseño del controlador H∞
Figura A15.- Listado del programa ElevadorHinfProgram.m para diseño del controlador H∞
Para que corra el programa se presiona la tecla F5, si es la primera vez, dar
click en change directory como en el caso de espacio de estado.
Al hacer correr el programa, van a aparecer tres figuras; primero Tzw , en
segundo lugar las curvas σ [S ( jw)] , W1−1( jw) y en tercer lugar σ [T ( jw)] , W2−1 ( jw)
(figuras A16, A17, A18, respectivamente).
XI
Figura A16.- Primera curva de diseño
Tzw
Figura A17.- Segundas curvas de diseño
Figura A18.- Segundas curvas de diseño
σ[S( jw)] , W1−1( jw)
σ[T( jw)] , W2−1( jw)
Para pasar tanto de la figura A16 a la A17 como de la A17 a la A18 se puede
presionar enter. Cuando se pasa de la A16 a la A17, en el Workspace ya se
tiene el numerador y el denominador del controlador H∞ que satisface las
características de todas las curvas figura A19.
Figura A19.- Numerador y denominador del controlador H∞ que satisface a las curvas de las figuras A16, A17 y A18
XII
A.1.3.2 Simulación del Elevador controlado por H∞
Para efectuar la simulación del elevador con sistema de control H∞, se debe
abrir con el Matlab el archivo ElevadorHinf.mdl que se encuentra en segundo
lugar en la carpeta Elevador Control Hinf que aparece en la figura A14.
Se debe asegurar que en el menú simulation se encuentre seleccionada la
configuración de parámetros ode45.
Para arrancar la simulación presionar el botón de play que se muestra en la
figura A20. Cuando aparece un mensaje solicitando cambiar la configuración
de parámetros a ode23t, sólo se debe dar click en OK y no se realiza ningún
cambio.
Figura A20.- Indicaciones para arrancar la simulación del elevador de voltaje con control H∞
Para simular las perturbaciones, se debe abrir el archivo ElevadorHinfVje.mdl
para perturbaciones de voltaje de entrada ó el archivo ElevadorHinfIte.mdl para
perturbaciones en la corriente de carga. Ambos archivos están en la carpeta
Elevador Control Hinf.
XIII
A.1.4 ELEVADOR DE VOLTAJE CON CONTROL PI FUZZY TS
A.1.4.1 Manejo del Programa de Diseño del controlador PI fuzzy TS
Para simular este controlador se requiere copiar el programa PI.fis desde el
disco Mi Tesis hacia la carpeta Matlab, la cual se encuentra en Mis
documentos en el computador en el que se vaya a efectuar la simulación. El
programa PI.fis es el programa de control PI fuzzy TS y se encuentra en la
carpeta Elevador PI Fuzzy del disco Mi Tesis (figura A21).
FIGURA A21.- Ubicación del programa de control PI Fuzzy TS
A continuación, se ejecuta el Matlab y en el Workspace se digita el comando
fuzzy PI para abrir el programa del controlador (figura A22).
Figura A22.- Indicaciones para manejar el programa del controlador PI Fuzzy TS
XIV
Para dejar listo el programa del controlador PI Fuzzy TS para la simulación,
se debe abrir en la ventana que indica la figura A22, la opción Export To
Workspace… y en el mensaje siguiente hacer un click en OK (figura A23).
Figura A23.- Mensaje para exportar el programa del controlador hacia el Workspace
A.1.4.2 Simulación del Elevador controlado por PI fuzzy TS
Abrir con el Matlab el archivo ElevadorPIF.mdl que también se encuentra en
la carpeta Elevador PI fuzzy que se muestra en la figura A21.
Verificar que en el diagrama circuital (archivo ElevadorPIF.mdl), se haga el
llamado al programa de control PI.fis. Para esto se da doble click en el
bloque correspondiente al controlador PI fuzzy TS, como se presenta en la
figura A24 hasta que se abra el mensaje de la figura A25, en esta nueva
ventana debe aparecer el nombre PI, o en caso contrario debe ser digitado
Figura A24.- Indicaciones para hacer el llamado al programa de control desde el diagrama circuital
XV
Figura A25.- Indicaciones para hacer el llamado al programa de control desde el diagrama circuital
Para dar inicio a la simulación presionar el botón de play (figura A24).
Si aparece un mensaje solicitando cambiar la configuración de parámetros a
ode23t o cualquier otro ode, sólo se debe dar click en OK y no se realiza
ningún cambio.
Para simular las perturbaciones, se abre el archivo ElevadorPIFVje.mdl para
perturbaciones de voltaje de entrada ó el archivo ElevadorPIFIte.mdl para
perturbaciones en la corriente de carga y se llevan a cabo los mismos pasos
anteriores. Los archivos para simular las perturbaciones se encuentran en la
misma carpeta señalada en la figura A21.
A.1.5 ELEVADOR
DE
VOLTAJE
CON
CONTROL
PI
FUZZY
TS
MODIFICADO
Tanto para el manejo del programa como la simulación de este controlador,
se utilizan los mismos pasos del literal A.1.4, con la única diferencia que en
lugar de copiar el programa PI.fis, se copia el programa PI2.fis que se
encuentra en la carpeta Elevador PI Fuzzy (figura A21). Los archivos para
simulaciones (diagramas circuitales) son los mismos que los del literal A.1.4,
lo único que cambia es el llamado al programa de control ya que ahora se
debe llamar a PI2 en lugar de PI.