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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA SIMULACIÓN DE TÉCNICAS DE CONTROL AVANZADO APLICADAS A CASOS DE ESTUDIO PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y CONTROL CHRISTIAN GUSTAVO SALAZAR NOROÑA [email protected] DIRECTOR: Prof. PATRICIO BURBANO MSc. [email protected] Quito, enero 2010 DECLARACIÓN Yo, Christian Gustavo Salazar Noroña, declaro bajo juramento que el trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normatividad institucional vigente. ______________________ Christian G. Salazar N. CERTIFICACIÓN Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Christian Gustavo Salazar Noroña, bajo mi supervisión. ________________________ Prof. Patricio Burbano MSc. DIRECTOR DEL PROYECTO AGRADECIMIENTOS Debo agradecer en primer lugar al Dios de Israel que es también mi Dios, y sin su presencia no existiría nada en el universo. Agradezco a mi familia que son mis dos mamás Yolanda Noroña y María Peralta, por estar siempre a mi lado. A mi papá Gustavo Salazar por sus consejos y por apoyarme económicamente durante todos mis estudios. También deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mi director de tesis el ingeniero Patricio Burbano, porque sin su valioso tiempo y colaboración no hubiera sido posible este proyecto. DEDICATORIA Dedicado a la memoria de mi compañero y amigo de la carrera de Control Eduardo Erazo, quien seguramente hubiera sido otro ingeniero en control de la E.P.N., pero sus panas siempre lo recordaremos. CONTENIDO Página RESUMEN i PRESENTACIÓN ii 1 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Generalidades del Control Avanzado 1 2 CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE TÉCNICAS DE CONTROL AVANZADO 2.1 Espacio de Estado 2.1.1 Realimentación de Estado 4 4 2.1.1.1 Diseño de la Realimentación de Estado para un Sistema Regulador 5 2.1.1.2 Diseño de la Realimentación de Estado para un Sistema de Seguimiento 2.1.2 Observador de Estado 10 16 2.1.2.1 Diseño de un Observador de Estado de Orden Completo para un Sistema Regulador 16 2.1.2.2 Diseño de un Observador de Estado de Orden Completo para un Sistema de Seguimiento 2.1.3 Tutorial para diseño de Espacio de Estado con Matlab 24 31 2.1.3.1 Diseño de Realimentación de Estado para el Sistema de Seguimiento 32 2.1.3.2 Diseño de un Observador de Estado de Orden Completo para el Sistema de Seguimiento 2.2 Control Robusto 2.2.1 Teoría Básica del Control Robusto 34 39 41 2.2.1.1 Definiciones Matemáticas 41 2.2.1.2 Definiciones del Control Robusto 45 2.2.1.3 Condiciones de Diseño del Control Robusto 47 2.2.2 Control Robusto H2 y H∞ 50 2.2.2.1 Método de diseño H2 51 2.2.2.2 Método de diseño H∞ 51 2.2.3 Tutorial para Diseño de Control H∞ con Matlab 2.3 Control Difuso 2.3.1 Teoría Básica del Control Difuso 2.3.1.1 Definiciones de Lógica Difusa 2.3.2 Control Difuso Mandami y Takagi Sugeno 56 64 64 64 65 2.3.2.1 Método de Diseño Mandami 65 2.3.2.2 Método de Diseño Takagi Sugeno TS 66 2.3.3 Tutorial para Diseño de Control Difuso TS con Matlab 67 3 CAPÍTULO 3 MODELACIÓN, DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONVERSOR ELEVADOR DE VOLTAJE DC/DC 3.1 Modelo Matemático del Conversor 73 3.1.1 Modelación del Elevador de Voltaje DC/DC en C.C. 73 3.1.2 Diseño de un Elevador de Voltaje DC/DC de 10 a 20 V 78 3.1.2.1 Elementos y Parámetros de Funcionamiento del Elevador 10 a 20 [V] 3.1.2.2 Modelo Matemático para el Elevador de 10 a 20 [V] 3.2 Simulación 78 81 82 4 CAPÍTULO 4 DISEÑO DE CONTROLADORES PARA EL ELEVADOR 4.1 Controlador de Espacio de Estado 85 4.1.1 Realimentación de Estado 85 4.1.2 Observador de Estado 90 4.2 Controlador Robusto H∞ 91 4.3 Controlador Difuso TS 94 4.3.1 Controlador PI Difuso TS 94 4.3.2 Controlador PI Difuso TS Modificado 97 5 CAPÍTULO 5 PRUEBAS Y RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES 5.1 Simulaciones del Elevador Sin Perturbaciones 100 5.1.1 Elevador de Voltaje Controlado por Espacio de Estado 100 5.1.2 Elevador de Voltaje Controlado por un Sistema H∞ 103 5.1.3 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS 105 5.1.4 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS Modificado 106 5.1.5 Análisis Comparativo de los Resultados Obtenidos con las Simulaciones de los Cuatro Controladores 108 5.2 Simulaciones del Elevador con Perturbación en el Voltaje de Entrada 109 5.2.1 Elevador de Voltaje Controlado por Espacio de Estado 109 5.2.2 Elevador de Voltaje Controlado por un Sistema H∞ 111 5.2.3 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS 112 5.2.4 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS Modificado 113 5.2.5 Análisis Comparativo de los Resultados Obtenidos con las Simulaciones de los Cuatro Controladores 115 5.3 Simulaciones del Elevador con Perturbación en la Corriente de Carga 116 5.3.1 Elevador de Voltaje Controlado por Espacio de Estado 116 5.3.2 Elevador de Voltaje Controlado por un Sistema H∞ 118 5.3.3 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS 119 5.3.4 Elevador de Voltaje Controlado por PI Difuso TS Modificado 121 5.3.5 Análisis Comparativo de los Resultados Obtenidos con las Simulaciones de los Cuatro Controladores 122 6 CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 6.1 Conclusiones 124 6.2 Recomendaciones 126 BIBLIOGRAFÍA 127 ANEXO A MANUAL DE USUARIO A.1 Manual de Uso de Programas y Simulaciones A.1.1 Elevador de Voltaje Controlado Únicamente por PWM A.1.2 Elevador de Voltaje con Espacio de Estado A.1.2.1 Manejo del Programa para calcular las matrices de ganancias de estado I I II II A.1.2.2 Simulación del Elevador Controlado por Espacio de Estado A.1.3 Elevador de Voltaje con Control Robusto H∞ VIII IX A.1.3.1 Manejo del Programa de Diseño del Controlador H∞ IX A.1.3.2 Simulación del Elevador controlado por H∞ XII A.1.4 Elevador de Voltaje con Control PI Fuzzy TS XIII A.1.4.1 Manejo del Programa de Diseño del Controlador PI fuzzy TS A.1.4.2 Simulación del Elevador controlado por PI fuzzy TS A.1.5 Elevador de Voltaje con Control PI Fuzzy ts modificado XIII XIV XV i RESUMEN El presente trabajo tiene como objetivo analizar la respuesta de tres diferentes sistemas de control que fueron diseñados en el paquete computacional Matlab 7.4 con las técnicas de Control Avanzado: Espacio de Estado, Control Robusto H infinito H∞ y Control Difuso Takagi Sugeno, para controlar un conversor elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20 voltios vía simulación. En el capítulo 1, se presenta una breve introducción con las generalidades del control avanzado. El capítulo 2 describe de manera corta la teoría de cada una de las tres técnicas motivo de este trabajo, pero además se incluye en cada tema los respectivos tutoriales para poder efectuar diseños empleando Matlab. En el capítulo 3 se resume la modelación matemática hecha por los científicos Middlebrock y Cuk para el elevador de voltaje dc/dc. Posteriormente en este mismo capítulo se explica el diseño de un elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20 voltios, para luego hacer su simulación con la herramienta Simulink de Matlab. En el capítulo 4 se efectúan los diseños de los controladores para el convertidor elevador, mediante programas hechos en Matlab. Estos diseños son: Controlador de Espacio de Estado, Controlador Robusto H∞ y Control PI Difuso Takagi Sugeno. El capítulo 5 contiene las simulaciones de los tres diseños implementados, así como sus correspondientes resultados. En el capítulo 6 se presentan las conclusiones y recomendaciones. Finalmente en los anexos se señalan las indicaciones básicas para poder simular todos los diseños. ii PRESENTACIÓN Considerando la importancia de las múltiples técnicas de control avanzado existentes y que actualmente se aplican en diferentes campos de la industria, se menciona a continuación tres de estas técnicas con sus respectivos ejemplos: la técnica de observador de estado en la fabricación de variadores de velocidad (sensorless), la técnica de control robusto H infinito en la aeronáutica y la técnica de lógica difusa en la construcción de artefactos para el hogar como lavadoras ó de entretenimiento electrónico. Tomando en cuenta además, que aunque a nivel nacional se han desarrollado un sin número de proyectos con lógica difusa, poco o nada se ha implementado con técnicas como el espacio de estado o peor aún con el control robusto con H infinito. Se hace una simulación con estas tres técnicas de control, aplicándolas a un conversor dc/dc de tipo elevador conocido también como boost. Con este trabajo no se pretende decir que se está aplicando dichas técnicas por primera vez a un conversor boost, ya que a nivel internacional ya se han desarrollado varios proyectos similares, con algoritmos complejos de control pero con muy buenos resultados. En este proyecto, únicamente se diseñan algoritmos de control diferentes y más sencillos comparados con los ya existentes, pero que permiten a su vez un estado operativo aceptable del boost. Existen trabajos con un gusto exquisito por la matemática como herramienta de diseño y que sirvieron como inspiración para este proyecto, algunos se mencionan como referencia a lo largo de este documento. La técnica de espacio de estado utiliza al mismo tiempo dos diseños para manejar al conversor boost, el primero es una realimentación de estado mientras el segundo es un observador de estado. El sistema de control robusto H infinito usa uno de los casos de sensibilidad mixta y en el diseño de lógica difusa se requirió de un algoritmo de tipo Takagi Sugeno para efectuar el control. 1 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1 GENERALIDADES DEL CONTROL AVANZADO En el control clásico se utilizan técnicas que no son tan complejas en cuanto a procedimientos de cálculo en comparación con la mayoría de las técnicas del control avanzado, sin embargo, conllevan varias desventajas ya que no tienen mucho campo de aplicación. Por ejemplo las técnicas de control convencional no son aplicables a: sistemas con múltiples entradas y múltiples salidas, sistemas no lineales, y a sistemas variables en el tiempo. Entre estas técnicas clásicas se cuentan las de respuesta de frecuencia, lugar geométrico de las raíces, entre otras [1]. En el Control Avanzado se encuentran distintos métodos, para los cuales el desarrollo de un diseño puede ir desde complicados problemas de cálculo hasta el razonamiento lógico difuso sin la intervención de detalladas herramientas matemáticas. Entre estos métodos podemos mencionar: diseño en el espacio de estado, control robusto, control predictivo, control adaptativo, control en modo de deslizamiento, control difuso, etc. Se puede señalar que aunque el campo de aplicación del control avanzado es mayor que el del control convencional, en cuanto a los tipos de sistemas que puede manejar, también tiene sus respectivas falencias, ya que el buen desempeño de un diseño depende de varios factores: del nivel de conocimiento del funcionamiento de la planta, de la precisión con la cual los algoritmos matemáticos representen un proceso real, de las características de diseño que el ingeniero requiera dar al controlador, etc. 2 En el presente trabajo se resumen tres de las técnicas de control avanzado: el diseño en el espacio de estado, el control robusto y el control difuso. El espacio de estado fundamenta su diseño en variables de estado que pueden estar disponibles o no para la realimentación, las que se obtienen del modelo matemático de un determinado proceso. Además, se puede hacer uso de herramientas tales como: ayudas computacionales para realizar cálculos tediosos (ya que el espacio de estado trabaja en el dominio del tiempo), polos de lazo cerrado deseados (empleados para el diseño del controlador), condiciones iniciales, índices de desempeño para preparar sistemas de control óptimo, etc. El control robusto juega un papel importante para el diseño de sistemas de control de precisión debido a que en el modelo dinámico de un proceso real existen errores de modelado o incertidumbres. Las características favorables que se manifiestan con este tipo de controladores son: reducción de error de seguimiento, rechazo a perturbaciones, reducción de sensibilidad a errores de modelado, estabilidad robusta, reducción de sensibilidad a ruido en sensores. La técnica de control difuso se asemeja al razonamiento lógico humano, el cual no excluye o incluye de forma radical los elementos en un determinado conjunto y además dentro de esta técnica se tiene dos opciones de diseño, utilizar algoritmos Mandami o los de tipo Takagi Sugeno. Los algoritmos Mandami son muy útiles para controlar plantas en las que no se pueden determinar con exactitud sus representaciones matemáticas, o en las que simplemente éstas no existen; en estos casos para diseñar el controlador difuso se toma como principio de funcionamiento el conocimiento adquirido de experiencias previas sobre el proceso en estudio. Mientras que en los Takagi Sugeno se requiere de fórmulas matemáticas que describan con mayor exactitud el funcionamiento del controlador a crear. 3 Cabe señalar que en cualquier diseño de control e independientemente de la técnica que se vaya a seleccionar, es necesario tomar en cuenta los siguientes procedimientos generales: 1. Se debe conocer el comportamiento dinámico de la planta para hacer el control. 2. Efectuar mediciones para determinar parámetros del modelo. Mediciones en la planta instrumentada. 3. El sistema de control debe ir realimentado para hacer seguimiento y para rechazar las perturbaciones. 4 CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE TÉCNICAS DE CONTROL AVANZADO 2.1 ESPACIO DE ESTADO El diseño en el espacio de estado tiene dos metodologías totalmente independientes entre sí: realimentación de estado y observador de estado. 2.1.1 REALIMENTACIÓN DE ESTADO Los principales casos de diseño de realimentación de estado son: diseño de sistemas reguladores y diseño de servosistemas. “Los sistemas reguladores son sistemas de control retroalimentados que traen estados no nulos (producidos por perturbaciones externas) al origen con suficiente celeridad”1, mientras que los servosistemas están relacionados con aplicaciones de los sistemas de seguimiento y se dividen en dos clases: la primera cuando en la función de transferencia de la planta existe un integrador y la segunda cuando en la función de transferencia no existe integrador. Tanto para el diseño de sistemas reguladores como para el diseño de servosistemas se analiza el método de ubicación de polos de lazo cerrado deseados, de tal manera que el sistema sea asintóticamente estable. Para tal efecto se requiere que todas las variables de estado estén disponibles para ser realimentadas. Con esto no se pretende decir que no hay otros métodos de diseño, sino que no son parte del estudio de esta tesis. Por ejemplo, en el caso de los sistemas reguladores se puede aplicar el método de control óptimo cuadrático que minimiza un índice de desempeño para encontrar el vector de control. _________________ 1 Referencia [1] 5 2.1.1.1 Diseño de la Realimentación de Estado para un Sistema Regulador Ejemplo 2.1.1.1 Sea el sistema definido por la siguiente función de transferencia: G ( s) = 4 s − 24.5 2 Se desea diseñar un sistema regulador asintóticamente estable por el método de realimentación de estado con ubicación de polos deseados de lazo cerrado, tal que el sistema diseñado cumpla con las siguientes características de diseño, a partir de los polos deseados: u1− 2 = −2 ± j 2.4 ω n = 3.124 ξ = 0.64 Mp < 20% ts < 4seg Paso 1: Representación en variables de estado x& = A ⋅ x + B ⋅ u (1)2 y = C ⋅ x + D ⋅u x&1 0 x& = 24 .5 2 1 x1 0 ⋅ + ⋅u 0 x 2 4 x y = [1 0 ] ⋅ 1 x2 ⇒ 0 A= 24 .5 1 ; 0 0 B = ; C = [1 0 ]; 4 D=0 Paso 2: Comprobar si el sistema original representado por las variables de estado tiene estado completamente controlable para poder ubicar arbitrariamente los polos deseados de lazo cerrado. ∴Verificar si el rango de la matriz de controlabilidad _________________ 2 Referencia [1] 6 N C es igual al orden n del sistema original o a su vez verificar si el determinante de N C es distinto de cero. [ NC = B A ⋅ B ... A n −1 ⋅ B ] (2)3 Como n = 2 N C = [B 0 4 A ⋅ B] = 4 0 ⇒ det ( N C ) = −16 ≠ 0 ∴ Es posible la ubicación arbitraria de polos. Si Paso 3: Análisis del sistema original y de las características deseadas de diseño. a) Análisis del sistema original G ( s) = Y (s) 4 = 2 U ( s) s + 0 ⋅ s − 24.5 2 ⋅ ξ ⋅ ωn = 0 Donde: ω n = − 24.5 ξ =0 ⇒ ω n no existe Coeficientes de la ecuación característica original a1 y a 2 : det (sI − A) = s 2 + a1s + a2 s −1 det (sI − A) = − 24.5 s (3) = s 2 − 24.5 = s 2 + a1s + a2 a =0 ⇒ 1 a2 = −24.5 Valores Propios del sistema original λ1 y λ 2 : det(sI − A) = 0 _________________ 3 4 Referencia [1] Referencia [1] (4)4 7 s 2 − 24.5 = (s + 4.949) ⋅ (s − 4.949) = 0 λ = −4.949 ⇒ 1 λ 2 = +4.949 El sistema es un sistema inestable por presentar un polo de lazo abierto en el semiplano derecho b) Especificaciones de las características deseadas de diseño: ω n = 3.124 ξ = 0.64 − π ⋅ξ 2 Mp = (100% ) ⋅ e 1−ξ = 7.2953% < 20% 4 ts = = 2 seg < 4 seg ξ ⋅ ωn Determinación de los polos deseados de lazo cerrado. El polinomio o ecuación característica deseada es: Pd ( s ) = s 2 + 2 ⋅ ξ ⋅ ω n + ω n2 = (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) (5)5 Reemplazando los correspondientes valores en la ecuación (5) se obtienen los polos de lazo cerrado deseados µ1 y µ 2 Pd ( s) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76 = (s + 2 + j ⋅ 2.4) ⋅ (s + 2 − j ⋅ 2.4 ) ⇒ Se desea colocar los polos de lazo cerrado en: s1−2 = −2 ± j 2.4 ∴ Los valores propios de A-BK deben ser: u1− 2 = −2 ± j 2.4 Paso 4: El diseño del sistema de control por retroalimentación de estado, se resume en el cálculo de la matriz K para poder utilizar la siguiente señal de control: u = −K ⋅ x _________________ 5 6 Referencia [1] Referencia [1] (6)6 8 Método 1: Forma Canónica Controlable K = [α n − a n α n−1 − a n −1 ... α 2 − a 2 α 1 − a1 ] ⋅ T −1 (7)7 Dado que n = 2 , la ecuación anterior se reduce a: K = [α 2 − a 2 α 1 − a1 ] ⋅ T −1 Donde a1 , a 2 son coeficientes de la ecuación característica original: 0 , − 24.5 α 1 , α 2 son coeficientes de la ecuación característica deseada: 4 , 9.76 Como la ecuación de estado no está en la forma canónica controlable, la matriz de transformación T no es la matriz identidad y debe ser calculada. T = NC ⋅W (8)8 a n −1 a n−2 W = M a1 1 a n −2 L a1 a W = 1 1 1 0 1 = 0 1 0 a n −3 L 1 M 1 L M 0 0 L 0 1 0 M 0 0 (9)9 Reemplazando valores en (8): 0 4 0 1 4 0 T = ⋅ = 4 0 1 0 0 4 0 0.25 ⇒ T −1 = 0.25 0 A continuación se puede utilizar la fórmula (7) de la forma canónica controlable: 0 0.25 K = [34.26 4]⋅ 0.25 0 ∴ K = [8.565 1] _________________ 7 8 9 Referencia [1] Referencia [1] Referencia [1] 9 Método 2: Método Directo det(sI − A + BK ) = (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) (10)10 det (sI − A + BK ) = s 2 + 4 K 2 ⋅ s + (4 K 1 − 24.5) (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = (s + 2 + j 2.4) ⋅ (s + 2 − j 2.4) (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 4s + 9.76 Igualando los dos polinomios característicos deseados se obtienen los valores de las constantes: 4K 2 = 4 ⇒ K2 = 1 (4 K1 − 24.5) = 9.76 ⇒ K1 = 8.565 ∴ K = [8.565 1] Método 3: Fórmula de Ackermann [ K = [0 0 L 0 1] ⋅ B A ⋅ B L A n −1 ⋅ B ] −1 ⋅ φ ( A) (11)11 Donde φ ( A) = Ecuación característica definida por el teorema de Caley Hamilton φ ( A) = A n + α 1 ⋅ A n −1 + L + α n −1 ⋅ A + α n ⋅ I α1 , α 2 , L, α n = coeficientes de la ecuación característica deseada Dado que n = 2 , la ecuación (11) se reduce a: 34.26 φ ( A) = A 2 + 4 ⋅ A + 9.76 ⋅ I = 98 4 34.26 De igual manera la ecuación (10) se reduce porque n = 2 : K = [0 1] ⋅ [B A ⋅ B ] ⋅ φ ( A) −1 −1 4 0 4 34.26 K = [0 1] ⋅ ⋅ 4 0 98 34.26 ∴ K = [8.565 1] _________________ 10 11 12 Referencia [1] Referencia [1] Referencia [1] (12)12 10 FIGURA 1.- Sistema de control regulador con retroalimentación de estado con señal de control u = −K ⋅ x 2.1.1.2 Diseño de la Realimentación de Estado para un Sistema de Seguimiento Ejemplo 2.1.1.2 Diseñar el sistema de control de un servosistema para el cual la planta no tiene integrador y está definida por la siguiente función de transferencia: G(s) = 4 ( s + 1) ⋅ ( s + 2) Paso 1: Representación en variables de estado x&1 0 + 1 x1 0 x& = − 2 − 3 ⋅ x + 4 ⋅ u 2 2 x y = [1 0] ⋅ 1 x2 0 + 1 0 ⇒ A= ; B = ; C = [1 0] − 2 − 3 4 Paso 2: Se verifica si el sistema definido por la ecuación de error del estado (13), es de estado completamente controlable. 11 Por tanto la ecuación de error del estado es: e& = Aˆ e + Bˆ u e (13)13 1 0 0 A 0 ˆ ⇒ A= = − 2 − 3 0 , − C 0 − 1 0 0 1 0 0 0 ⇒ e& = − 2 − 3 0 ⋅ e + 4 ⋅ u e − 1 0 0 0 Kˆ = [K u e = − Kˆ ⋅ e − k I ] = [k1 k2 0 B , ˆ B = = 4 0 0 (14)14 − kI ] (15)15 A continuación se analiza el rango de la matriz P A P= − C B 0 (16)16 1 0 0 P = − 2 − 3 4 − 1 0 0 ⇒ El rango de la matriz P es tres y coincide con el orden n + 1 = 3 del nuevo sistema (sistema que ahora contiene integrador) ∴ El sistema definido por la ecuación de error del estado es completamente controlable por tanto se puede ubicar arbitrariamente los polos. Paso 3: Se asume tres polos deseados de lazo cerrado ya que al añadir el integrador el orden del sistema es tres. Cuando la planta es sencilla como la de este ejemplo, el tercer polo deseado µ 3 se puede elegir aproximadamente entre 3 a 5 veces mayor que la parte real de los polos µ1− 2 , lo cual no constituye una regla estricta a cumplir como se verá en el capítulo 4 para una planta más compleja. µ1 = −2.5 + j ; µ2 = −2.5 − j _________________ 13 14 15 16 Referencia [1] Referencia [1] Referencia [1] Referencia [1] y µ3 = −9 12 Paso 4: Determinar el valor de la matriz K̂ mediante el método de la ubicación de polos deseados de lazo cerrado. Kˆ = [α n +1 − an+1 α n − an ... α1 − a1 ]⋅ T −1 (17)17 Empleando la ecuación (3), la ecuación característica para este nuevo sistema es: det s ⋅ I − Aˆ = s 3 + 3s 2 + 2s = s 3 + a1 s + a 2 s + a3 a1 = 3 ⇒ a 2 = 2 a = 0 3 La ecuación característica deseada es: ( s − µ1 ) ⋅ ( s − µ 2 ) ⋅ ( s − µ3 ) = s 3 + 14s 2 + 52.25s + 65.25 = s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3 α 1 = 14 ⇒ α 2 = 52.25 α = 65.25 3 Matriz de transformación T: (18)18 T = Nˆ c ⋅ W [ Nˆ c = Bˆ Aˆ ⋅ Bˆ a 2 W = a1 1 0 ˆA 2 ⋅ Bˆ = 4 0 a1 1 2 1 0 = 3 0 0 1 ] + 4 − 12 − 12 + 28 ; 0 − 4 3 1 1 0 0 0 0 4 0 ⇒ T = Nˆ c ⋅ W = 0 0 4 − 4 0 0 _________________ 17 18 Referencia [1] Referencia [1] 13 ⇒T −1 0 − 0.25 0 = 0.25 0 0 0 0.25 0 Reemplazando los correspondientes valores en la ecuación (17), se encuentra el valor de la matriz K̂ . Kˆ = [α 3 − a 3 α 2 − a 2 α 1 − a1 ] ⋅ T −1 0 − 0.25 0 ˆ K = [65.25 50.25 11] ⋅ 0.25 0 0 0 0.25 0 Kˆ = [12.5625 2.75 − 16.3125] = [K − k I ] = [k1 ∴ K = [12.5625 k2 − kI ] 2.75] ; k I = 16.3125 Paso 5: Calcular los valores de x(∞) , y (∞) , u (∞) y ξ (∞) x& A 0 x B 0 ξ& = - C 0 ⋅ ξ + 0 ⋅ u + 1 ⋅ r (19)19 Donde: u = − Kx + k I ξ (20)20 x& A - B ⋅ K B ⋅ k I x 0 ⋅ + ⋅r ξ& = - C 0 ξ 1 1 0 0 A- B⋅K = ; B ⋅ kI = − 52.25 − 14 65.25 ⇒ ∴ +1 0 x1 0 x&1 0 x& = − 52.25 − 14 65.25 ⋅ x + 0 ⋅ r 2 2 ξ& − 1 0 0 ξ 1 En estado estable a partir de las ecuaciones: x& = A ⋅ x + B ⋅ u ξ& = r − y = r − Cx _________________ 19 20 21 Referencia [1] Referencia [1] Referencia [1] (21)21 14 Se tiene que: x& (∞) = 0 = A ⋅ x (∞) + B ⋅ u (∞) ξ&(∞) = 0 = r − y (∞) = r − C ⋅ x(∞) (22)22 De lo cual: 0 A 0 = − C B x ( ∞ ) 0 ⋅ + 0 u (∞) r (23)23 Donde 1 0 0 B = − 2 − 3 4 = P 0 − 1 0 0 A − C Y como se mencionó antes, el rango de esta matriz P es igual a n + 1 = 3 ∴ ∃ La matriz inversa de P es decir P −1 Despejando de la ecuación (23) el segundo miembro de la ecuación: x (∞) A = u (∞) − C ⇒ Donde P −1 7.5 × 10 −15 = 1 0.75 x1 (∞) 7.5 × 10 ⇒ x 2 (∞) = 1 u (∞) 0.75 −15 −1 B 0 ⋅ 0 − r + 2 × 10 −15 − 1 × 10 0.25 + 2 × 10 −15 − 1 × 10 0.25 −15 −15 r y (∞) = C ⋅ x(∞) = [1 0] ⋅ = r 0 _________________ 22 23 24 Referencia [1] Referencia [1] Referencia [1] −1 1 × 10 − 0.5 −15 −1 0 + r 1 × 10 −15 ⋅ 0 = 0 − 0.5 − r 0.5r Despejando y (∞) de la ecuación (22) Dado que: (24)24 x& (∞ ) = 0 = A ⋅ x (∞ ) + B ⋅ u (∞ ) 15 1 r 0 0 0 0 = − 2 − 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ u (∞) 0 0 0 0 = − 2 r + 4 ⋅ u (∞ ) 0 0 u ( ∞) ⋅ = 4 2 r ⇒ u ( ∞) = r 2 A partir del diagrama de bloques, se conoce que: u = −K ⋅ x + k I ⋅ ξ Y por tanto: ⇒ u (∞) = − K ⋅ x(∞) + k I ⋅ ξ (∞) r r = −[12.5625 2.75] ⋅ + [16.3125] ⋅ ξ (∞) 2 0 ⇒ ξ (∞) = 0.8 ⋅ r Si r = 1 ⇒ ξ (∞) = 0.8 Paso 6: Dibujar el diagrama de bloques del sistema de control retroalimentado FIGURA 2.- Sistema de control de seguimiento cuando la planta no tiene integrador 16 2.1.2 OBSERVADOR DE ESTADO Como se explicó anteriormente, en un proceso real por lo general no se tienen todas las variables de estado disponibles para ser realimentadas, motivo por el cual deben ser estimadas mediante un dispositivo o un programa de computadora llamado observador de estado. “El observador de estado estima las variables de estado con base a la medición de las variables de salida y de control”25. El diseño de observadores de estado se lo efectúa de forma totalmente independiente con respecto a los diseños de realimentación de estado. Los observadores de estado se clasifican de acuerdo a las variables de estado que van a estimar, por ejemplo un observador que estima tanto las variables disponibles como no disponibles para ser medidas directamente se conoce como observador de estado de orden completo, mientras que un observador de estado que estima únicamente las variables no medibles, es decir un número menor a n ( n es el orden del sistema) se denomina observador de orden reducido. Además a un observador que estima sólo las variables de orden mínimo se denomina observador de orden mínimo. Este tema de titulación sólo trata acerca de los observadores de estado de orden completo. A continuación se desarrolla el diseño de observadores de orden completo para los dos ejercicios anteriores, tanto de regulación como seguimiento. 2.1.2.1 Diseño de un Observador de Estado de Orden Completo para un Sistema Regulador Ejemplo 2.1.2.1 Sea un sistema regulador definido por la siguiente función de transferencia, diseñar el observador de estado de orden completo: G( s) = _________________ 25 Referencia [1] 4 s − 24.5 2 17 Paso 1: Representación en variables de estado x& = A ⋅ x + B ⋅ u y = C ⋅ x + D ⋅u 1 x1 0 x&1 0 x& = 24.5 0 ⋅ x + 4 ⋅ u 2 2 x y = [1 0] ⋅ 1 x2 ⇒ 1 0 0 A= ; B = ; C = [1 0]; D = 0 24.5 0 4 Paso 2: Condición necesaria y suficiente para la observación de estado: Observabilidad completa [ NO = C * [ NO = C* ( A* ) n −1 C * A*C * ] ] 1 0 A*C * = 0 1 El rango de N O es 2 y también n = 2 Además el det( N O ) = 1 ≠ 0 ∴El sistema es completamente observable Paso 3: Antes del cálculo de la matriz K e , se asume dos polos deseados de lazo cerrado ya que sistema original es de segundo orden. Normalmente se escogen polos deseados para observador de estado 10 veces mayores que la parte real de los polos µ1− 2 de realimentación de estado, pero esto tampoco es una regla a seguir como se ve a continuación. µ1 = −2 + j 2.4 ; µ 2 = −2 − j 2.4 18 Método 1: Forma Canónica Observable α n − an α n −1 − an −1 α n − an α n −1 − an −1 . Ke = Q . * −1 O = (W ⋅ N ) . . (25)26 . . . . α1 − a1 α1 − a1 W = a n −1 a n−2 a n−2 a n −3 . . ... ... a1 1 1 0 . . . . . . . a1 . 1 ... . 0 . 0 1 0 ... 0 0 (26)27 a1 , a2 ,…, an−1 son coeficientes de la ecuación característica de la ecuación de estado original. det s ⋅ I − A = s 2 − 24.5 = s 2 + a1 ⋅ s + a 2 a =0 ⇒ 1 a 2 = −24.5 Debido a que n = 2 , la matriz W se reduce a: a W = 1 1 1 0 1 = 0 1 0 α n − an α n −1 − a n −1 * −1 Q = (W ⋅ N O ) 0 1 = Ke = Q ⋅ 1 0 . . . . α 1 − a1 _________________ 26 27 28 Referencia [1] Referencia [1] Referencia [1] =Q⋅ α 2 − a2 α 1 − a1 (27)28 19 α1 y α 2 salen de la ecuación característica deseada. Ecuación característica deseada con los polos deseados µ1 = −2 + j 2.4 y µ 2 = −2 − j 2.4 (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76 s 2 + 4 ⋅ s + 9.76 = s 2 + α1 ⋅ s + α2 α1 = 4 ⇒ α 2 = 9.76 Reemplazando los valores correspondientes en la ecuación (27): Ke = Q ⋅ α 2 − a 2 0 1 34.26 4 = ⋅ = α 1 − a1 1 0 4 34.26 ∴ K e = 4 34.26 Método 2: Método Directo det s ⋅ Ι − ( A − K e ⋅ C ) = ( s − µ 1 ) ⋅ ( s − µ 2 ) (28)29 k e1 k e2 Donde K = . e . . k en Se igualan la ecuación característica del observador y la ecuación característica deseada para obtener los elementos ke1 , k e 2 ,…, k en de la matriz K e . La ecuación característica del observador es: det s ⋅ Ι − ( A − K e ⋅ C ) = s 2 + K e1 ⋅ s + (K e 2 − 24.5) _________________ 29 Referencia [1] 20 La ecuación característica deseada es: (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76 Igualando las dos ecuaciones: s 2 + K e1 ⋅ s + (K e 2 − 24.5 ) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76 K e1 = 4 K e 2 − 24.5 = 9.76 ∴ K e = 4 34.26 ⇒ Método 3: Fórmula de Ackermann −1 C CA . K e = K = φ ( A) ⋅ * 0 0 . ⋅ . . . . 0 n−2 CA CA n −1 ⇒ C K e = K = φ ( A) ⋅ C ⋅ A * 1 −1 ⋅ 0 1 Donde: φ ( A) se obtiene por analogía con φ (s ) : φ ( s) = (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 4 ⋅ s + 9.76 φ ( A) = A2 + 4 ⋅ A + 9.76 ⋅ I 4 34.26 34.26 98 φ ( A) = −1 ⇒ 4 1 0 0 C 0 34.26 K e = K = φ ( A) ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 34.26 0 1 1 C ⋅ A 1 98 * ∴ K e = 4 34.26 _________________ 30 31 Referencia [1] Referencia [1] (29)30 (30)31 21 Paso 4: Ecuación de estado de orden completo: x& = ( A − K e ) ⋅ x + B ⋅ u + K e ⋅ y (31)32 Debido a que se está trabajando con un sistema de control mediante la realimentación del estado observado en lugar del control mediante la realimentación de estado real, se debe considerar la señal de control: u = −K ⋅ x (32)33 ⇒ La ecuación de estado de orden completo queda de la siguiente forma: x& = ( A − K e ⋅ C − B ⋅ K ) ⋅ x + K e ⋅ y (33)34 Donde K = [8.565 1] & ⇒ x1 = 0 x& 2 x 4 1 4 0 − ⋅ [1 0] − ⋅ [8.565 1] ⋅ 1 + ⋅ y 4 24.5 0 34.26 x 2 34.26 & x& 2 −4 + 1 x1 4 ⋅ + ⋅ y − 44.02 − 4 x2 34.26 ∴ x1 = Paso 5: Diagrama de bloques del sistema regulador con una realimentación del estado observado se encuentra en la figura 3. _________________ 32 Referencia [1] 33 Referencia [1] 34 Referencia [1] 22 FIGURA 3.- Diagrama de bloques del sistema regulador con realimentación de estado observado En el sistema regulador de la figura 3 se puede ver que la referencia r = 0 . Este tipo de sistemas se utiliza en uno de los casos de péndulo invertido, en el cual se requiere que en el estado de equilibrio se mantengan en cero tanto el vector de espacio de estados como la salida del sistema (figuras 4 y 5) y por lo cual ante la presencia de perturbaciones, estas variables de estado vuelvan a tomar el valor de cero (figura 6). Figura 4.- Formas de onda obtenidas a partir del diseño de la Figura 3 cuando el sistema se mantiene en estado de equilibrio: (4a) Estado real x1; (4b) Estado estimado x1 23 Figura 5.- Formas de onda obtenidas a partir del diseño de la Figura 3 cuando el sistema se mantiene en estado de equilibrio. En la parte superior se observan el estado real x2 y el estado estimado x2 mientras que en la parte inferior se tiene la salida real y y la salida estimada y En la figura 6 se presentan las formas de onda para el diseño de la figura 3, pero ahora se considera la existencia de algún tipo de perturbación en el sistema al iniciar la simulación, esto se puede conseguir dando condiciones iniciales en el vector de espacio de estados (para este ejemplo se asumirá x1 (0) = 0.5 y x 2 (0) = 0 ). Con las curvas de la figura 6 se representa la utilidad que tiene este tipo de sistema regulador en aplicaciones de péndulos invertidos donde la presencia de algún tipo de perturbación como una ráfaga de viento, hace que el péndulo se mueva de su estado de equilibrio. En estado de equilibrio, el ángulo entre el péndulo y la vertical es θ (0) = 0 y debido a la presencia de la perturbación pasa a ser θ (0) = x1 (0) = 0.5 . La otra variable de estado es θ&(0) = x 2 (0) = 0 . 24 Figura 6.- Formas de onda obtenidas al aplicar condiciones iniciales x1 (0) = 0.5 y x 2 ( 0) = 0 Las formas de onda de la figura 6 indican como el sistema regulador logra que los estados y la señal de salida retornen a cero ante la presencia de una posible perturbación. 2.1.2.2 Diseño de un Observador de Estado de Orden Completo para un Sistema de Seguimiento Ejemplo 2.1.2.2 Diseñar el observador de estado de orden completo de un servosistema para el cual la planta no tiene integrador y está definida por la siguiente función de transferencia: G ( s) = 4 ( s + 1) ⋅ ( s + 2) 25 Paso 1: Representación en variables de estado x&1 0 + 1 x1 0 x& = − 2 − 3 ⋅ x + 4 ⋅ u 2 2 x y = [1 0] ⋅ 1 x2 0 + 1 0 ⇒ A= ; B = ; C = [1 0] − 2 − 3 4 Paso 2: Condición necesaria y suficiente para la observación de estado: Observabilidad completa [ NO = C* [ NO = C* ( A* ) n −1 C * A* C * ] ] 1 0 A*C * = 0 1 El rango de N O es dos y también n = 2 Además el det (N O ) = 1 ≠ 0 ∴ El sistema es completamente observable Paso 3: Se determina el valor de la matriz K e mediante el método de la ubicación de polos deseados de lazo cerrado. Se asume dos polos deseados de lazo cerrado ya que el orden del sistema original es 2: µ1 = −27 ; µ 2 = −27 26 Método 1: Forma Canónica Observable α n − an α n −1 − a n −1 α n − an α n −1 − a n −1 . . Ke = Q Donde a1 , a 2 ,…, . . * −1 O = (W ⋅ N ) . . . . α 1 − a1 α 1 − a1 an−1 son coeficientes de la ecuación característica de la ecuación de estado original det s ⋅ I − A = s 2 + 3s + 2 = s 2 + a1 ⋅ s + a 2 a = 3 ⇒ 1 a 2 = 2 a 1 3 1 Debido a que n = 2 , la matriz W se reduce a: W = 1 = 1 0 1 0 0 1 * Q = (W ⋅ N O ) −1 = 1 − 1 Ke = Q ⋅ α 2 − a2 α 1 − a1 Polos deseados y ecuación característica deseada: µ1 = −27 y µ 2 = −27 (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 54 ⋅ s + 729 ⇒ Ke = Q ⋅ s + 54 ⋅ s + 729 = s + α1 ⋅ s + α2 2 2 α 2 − a 2 0 + 1 727 51 = ⋅ = α 1 − a1 1 − 3 51 574 51 ∴ K e = 574 α = 54 ⇒ 1 α 2 = 729 27 Método 2: Método Directo k e1 k e2 det s ⋅ Ι − ( A − K e ⋅ C ) = ( s − µ 1 ) ⋅ ( s − µ 2 ) ; Donde K = . e . . k en Se igualan la ecuación característica del observador y la ecuación característica deseada para obtener los elementos ke1 , k e 2 ,…, k en de la matriz K e . La ecuación característica del observador es: det s ⋅ Ι − ( A − K e ⋅ C ) = s 2 + (3 + K e1 ) ⋅ s + (3K e1 + K e 2 + 2) La ecuación característica deseada es: (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 54 ⋅ s + 729 s 2 + (3 + K e1 ) ⋅ s + (3 K e1 + K e 2 + 2 ) = s 2 + 54 ⋅ s + 729 Igualando las dos ecuaciones: K e1 = 51 K e 2 = 574 ⇒ ∴ K e = 51 574 Método 3: Fórmula de Ackermann C CA K e = K = φ ( A) ⋅ * −1 0 0 . . . ⋅ . . . n−2 CA CA n −1 ⇒ C K e = K = φ ( A) ⋅ C ⋅ A * 0 1 Donde: φ ( A) se obtiene por analogía con φ (s ) : φ ( s) = (s − µ1 ) ⋅ (s − µ 2 ) = s 2 + 54 ⋅ s + 729 φ ( A) = A 2 + 54 ⋅ A + 729 ⋅ I −1 ⋅ 0 1 28 −1 51 1 0 0 C 0 727 K e = K * = φ ( A) ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ C ⋅ A 1 − 102 574 0 1 1 ⇒ ∴ K e = 51 574 Paso 4: Ecuación de estado de orden completo ecuación (31): x& = ( A − K e ) ⋅ x + B ⋅ u + K e ⋅ y Señal de control: u = −K ⋅ x + k I ⋅ ξ (34)35 La ecuación de estado de orden completo queda de la siguiente forma: x& = ( A − Ke ⋅ C − B ⋅ K ) ⋅ x + B ⋅ kI ⋅ ξ + Ke ⋅ y (35)36 K = [12.5625 2.75] Donde k I = 16.3125 ξ = 0.77011494 x 0 x& 0 + 1 51 0 51 ⇒ 1 = − ⋅ [1 0] − ⋅ [12.5625 2.75] ⋅ 1 + ⋅ k I ⋅ ξ + ⋅ y 4 574 x& 2 − 2 − 3 574 x 2 4 & − 51 + 1 x1 0 51 ⋅ + ⋅ kI ⋅ξ + ⋅ y − 626.25 − 14 x 2 4 574 ∴ x1 = x& 2 _________________ 35 36 Referencia [1] Referencia [1] 29 Paso 5: Diagrama de bloques del sistema de seguimiento con una realimentación del estado observado y una referencia r = 2 : FIGURA 7.- Diagrama de bloques del sistema de seguimiento con realimentación de estado observado Señales obtenidas del diagrama de bloques, estado real x1 y estado estimado x1 estimado : Figura 8.- Formas de onda obtenidas a partir del diseño de la Figura 7: (8a) Estado real x1; (8b) Estado estimado x1 30 Figura 9.- Formas de onda obtenidas del sistema de seguimiento de la figura 7. En la parte superior se observan el estado real x2 y el estado estimado x2 mientras que en la parte inferior se tiene la salida real y y la salida estimada y Este tipo de sistemas de seguimiento se emplea en péndulos invertidos en los que el dispositivo que proporciona la fuerza estabilizadora u requiere moverse todo el tiempo siguiendo una referencia distinta de cero. En el diseño de seguimiento presentado en esta sección no se analiza la respuesta ante perturbaciones ya que en los capítulos posteriores se presenta un amplio análisis de las perturbaciones en un sistema de seguimiento de una planta de mayor aplicación como es el elevador de voltaje dc/dc. Para mayor información sobre péndulos invertidos consultar la referencia [1]. 31 2.1.3 TUTORIAL PARA DISEÑO DE ESPACIO DE ESTADO CON MATLAB Debido a que uno de los casos de estudio de las técnicas de control avanzado aplicadas al elevador de voltaje es espacio de estado con seguimiento, en esta sección se diseña tanto la realimentación como el observador de estado únicamente para el ejemplo anterior de seguimiento, más no para el caso de regulación. Ejemplo 2.1.3 Diseñar el sistema de control de un servosistema para el cual la planta no tiene integrador. El sistema de control debe ser diseñado mediante realimentación de estado y observador de estado. La planta está definida por la siguiente función de transferencia: G(s) = 4 ( s + 1) ⋅ ( s + 2) Paso 1: Analizar el comportamiento de la planta tanto en lazo abierto como en lazo cerrado con realimentación unitaria. En las figuras 10a y 10b se presenta el análisis. FIGURA 10.- Procedimiento de diseño de realimentación de estado observado para un sistema con seguimiento: (a) Planta en lazo abierto y sin realimentación de estado; (b) Planta en lazo cerrado con realimentación unitaria pero sin realimentación de estado observado 32 En base al paso 1 se puede concluir que la señal de salida no sigue la referencia establecida r = 2 y que en lazo cerrado existe Mp (máximo sobreimpulso), por lo cual el sistema requiere un controlador que proporcione ganancia al sistema para alcanzar la referencia y que además disminuya el Mp. Paso 2: Diseño de un sistema de control mediante realimentación de estado observado. Primero se diseña la realimentación de estado para seguidamente calcular el correspondiente observador de estado de orden completo. 2.1.3.1 Diseño de Realimentación de Estado para el Sistema de Seguimiento Haciendo uso del método de Fórmula de Ackermann y del toolbox control system de espacio de estado de Matlab, se diseña la matriz de ganancias K̂ para realimentación de estado. FIGURA 11.- Programa para determinar la matriz de ganancias de realimentación de estado. 1. Variables de estado de la función de transferencia de la planta 33 FIGURA 12.- Programa para determinar la matriz de realimentación de estado K y la ganancia integral k i 2. Verificación de requisitos para la ubicación de polos 3. Ingreso de polos deseados en el programa 4. Salida de las constantes K1 , K 2 y ki La matriz Nc1 se calcula por medio de la ecuación (2), el rango de dicha matriz se calcula con el comando rank, el polinomio característico deseado Pr e se obtiene con el comando poly y el polinomio característico Fi Re con el comando polyvalm. 34 En la figura 13 se presenta una forma más rápida y alternativa para el cálculo de la matriz de ganancias K̂ , este método no requiere mayores conocimientos de la teoría de realimentación de estado expuesta anteriormente para este tipo de diseños sólo se requiere del comando acker del toolbox de control system. FIGURA 13.- Forma alternativa de cálculo de la matriz de ganancias K̂ , mediante el toolbox de control system 2.1.3.2 Diseño de un observador de estado de orden completo para el sistema de seguimiento La matriz de observabilidad se calcula con la ecuación: N O = [C * ] A* C * . Los comandos rank, poly, polyvalm se emplean en forma análoga con la realimentación de estado pero ahora tomando en cuenta que los polinomios característicos deseados son: POe y FiOe . 35 Finalmente con el método de Fórmula de Ackermann para observador de estado de orden completo se calcula la matriz de ganancias K e . FIGURA 14.- Diseño de la matriz de ganancias del observador de estado de orden completo Ke 1. Verificación de condiciones de observabilidad 2. Ingreso de polos deseados 3. Salida de las constantes de la matriz del observador De igual forma que para realimentación de estado, en la figura 15 se presenta la forma alternativa para el cálculo de la matriz de ganancias K e del observador de estado mediante el comando acker del toolbox de control system. 36 FIGURA 15.- Forma alternativa de cálculo de la matriz de ganancias K e , mediante el toolbox de control system Paso 3: Implementar el sistema de control por realimentación de estado observado con las matrices de ganancias encontradas en los pasos anteriores y hacerlo funcionar con la planta. Las siguientes figuras 16a, 16b y 16c muestran una implementación hecha con el primer método utilizado en Matlab para el cálculo de las matrices de ganancias K̂ y K e . FIGURA 16a.- Planta con realimentación de estado observado, matrices de ganancias calculadas con subrutinas de Matlab a partir de uno de los procedimientos teóricos 37 FIGURA 16b.- Formas de onda para el diagrama de bloques de la figura 16a: (b1) Estados x1 real y x1 estimado; (b2) Estados x2 real y x2 estimado; (b3) Salidas y real y y estimado En las figuras 16a, 16b y 16c se comprueba que el método de espacio de estado para seguimiento es efectivo, ya que la señal de salida consiguió alcanzar a la referencia r = 2 con este tipo de controlador y además el Mp disminuyó considerablemente al punto de ser eliminado. También se pudo verificar que las 38 variables de salida estimadas siguen fielmente a la variable de salida real en los tres métodos de cálculo empleados. Esta última afirmación se comprueba en la figura 16c porque en lugar de aparecer dos curvas diferentes en cada gráfico (una para el parámetro real y otra para el estimado), se tiene una sola que representa a las dos ya que tanto el parámetro real como el estimado están traslapados. FIGURA 16c.- Formas de onda de estados reales y estimados para el diagrama de bloques de la figura 16a: (c1) Estados x1 real y x1 estimado; (c2) Estados x2 real y x2 estimado; (c3) Salidas y real y y estimado Dependiendo de la complejidad del proceso, las matrices de ganancias pueden o no funcionar correctamente desde la primera ocasión en que sean colocadas en el controlador. Si el proceso es sencillo el sistema funcionará desde la primera vez o en caso contrario dichas matrices requerirán de uno o varios ajustes (proceso de sintonización). Si en último caso no cumplen las expectativas de diseño, se debe escoger otros polos deseados. El proceso de sintonización depende de dos factores: el primero, del conocimiento que tenga el ingeniero en cuanto al funcionamiento de su planta y el segundo sobre el conocimiento que tenga acerca de la teoría de espacio de estado. 39 2.2 CONTROL ROBUSTO De acuerdo a ciertos autores como Dorf y otros, los sistemas de control robusto pueden ser desarrollados con métodos simples tales como respuesta de frecuencia, lugar geométrico de las raíces que pertenecen al control clásico o con los de control avanzado, índice de comportamiento ITAE (Integral Time Absolute Error), métodos H 2 y H ∞ , LTR (Loop Transfer Recovery), métodos de diseño IMC (Internal Model Control), método QFT (Quantitative Feedback Theory), entre otros. a) La respuesta de frecuencia consiste en encontrar un compensador de tal forma que al minimizar tanto la sensibilidad de lazo cerrado como el efecto de perturbación, se obtenga una ganancia y un margen de fase adecuados [2]. b) El lugar geométrico de las raíces para controladores PID, es descrito por Dorf mediante los siguientes pasos: 1. Colocar los polos y ceros de G ( s ) / s en el plano s , donde G (s ) representa la función de transferencia de la planta. 2. Seleccionar una localización de ceros de la función del compensador GC (s ) que resulten en un lugar de las raíces aceptables y raíces dominantes adecuadas. 3. Comprobar la respuesta transitoria del sistema compensado e iterar el paso dos si es necesario 37. c) El índice de comportamiento ITAE se minimiza mediante selección de los tres coeficientes típicos de un controlador PID, para lo cual se requieren los siguientes pasos [2]: _________________ 37 Referencia [2] 40 1. Elegir ω n del sistema de lazo cerrado especificando el tiempo de establecimiento 2. Determinar los tres coeficientes utilizando la ecuación óptima apropiada y la ω n del paso 1 para obtener GC (s ) . 3. Determinar un prefiltro G p (s ) de forma que la función de transferencia del sistema en lazo cerrado, T (s ) no tenga ningún cero 38. d) Los métodos H 2 y H ∞ están relacionados con la minimización del valor pico de la respuesta de frecuencia de cierta función en lazo cerrado. e) LTR apareció para mejorar la robustez de los controladores del procedimiento LQG (Lineal Cuadrático Gaussiano). LQG es un procedimiento de optimización en el dominio frecuencial que emplea un observador para estimar los estados (el observador es un filtro de Kalman KBF) cuando el sistema está sometido a perturbaciones estocásticas y / o el vector de estado no es accesible. El problema del método LTR es encontrar un controlador con una estructura determinada que recupere la FTLAD (Función Matriz de transferencia en lazo abierto deseada) ya que el comportamiento en lazo cerrado y la robustez del sistema dependen de dicha matriz. Los métodos LTR pueden o no basarse en observador [3]. f) El principio de diseño IMC (Internal Model Control) dice que si GC ( s ) ⋅ G ( s ) contiene R (s ) (función de transferencia de la señal de referencia), entonces y (t ) seguirá a r (t ) asintóticamente (en el estado estacionario) y el seguimiento es robusto 39. _________________ 38 39 Referencia [2] Referencia [2] 41 g) QFT (Quantitative Feedback Theory) tiene como objetivo obtener un gran ancho de banda para una función de transferencia en lazo cerrado con una ganancia de lazo K elevada40. 2.2.1 TEORÍA BÁSICA DEL CONTROL ROBUSTO Para entender de lo que se trata la robustez, se requiere tanto de definiciones básicas de tipo matemático como de las propias del control robusto. 2.2.1.1 Definiciones Matemáticas Valores Singulares.- Los valores singulares de una matriz G ∈ C n×n de rango r y denotados por σ i , “son las raíces cuadradas no negativas de los valores propios de G ∗G ”41 σ i (G ) = λ (G * G ) (36)42 Donde G * es la matriz transpuesta y conjugada; y, los valores singulares están ordenados de la siguiente manera: σ 1 > σ 2 > ... > σ n Si r < n entonces existen n − r valores singulares iguales a cero, es decir: σ r +1 = σ r + 2 = ... = σ n = 0 Por lo tanto cuando se habla del rango de una matriz A , es igual al número de valores singulares de A diferentes de cero [5]. _________________ 40 41 42 Referencia [2] Referencia [4] Referencia [4] 42 Máximo y Mínimo Valor Singular.- El máximo y mínimo valores singulares de una matriz función de transferencia G (s ) denotan la máxima y mínima ganancia de dicha matriz G (s ) respectivamente [5]. Y se representan por las siguientes ecuaciones: σ (G ) = máx Gx σ (G ) = mín Gx x ≠0 x x ≠0 x = Máximo valor singular de G (s ) (37)43 = Mínimo valor singular de G (s ) (38)44 Norma de un Vector.- La norma de un vector x denotado como x , es una medida del tamaño de x . Si el vector es de la forma x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , la definición matemática de norma es la euclidiana [6]. 1 2 x = ∑ xi2 = Norma euclidiana del vector x i =1 n (39)45 Norma de una Matriz.- La norma de una matriz Am×n , está definida en términos de la norma de un vector asociado x de la siguiente manera [6]: A = máx Ax x =1 (40)46 A partir de esta definición y considerando la ecuación (37), la norma de una matriz A alcanza el valor de [6]: 1 σ ( A) = λ máx ( A * A) 2 = Máximo valor singular de A _________________ 43 44 45 46 47 Referencia [6] Referencia [6] Referencia [4] Referencia [4] Referencia [4] (41)47 43 Se debe señalar que para sistemas SISO (sistemas de una sola entrada, una sola salida), el máximo valor singular de la matriz A equivale a: σ ( A) = A (42)48 Norma H∞ de una Matriz.- “La norma H ∞ de una matriz G ( jw) , está definida por el supremo de sus máximos valores singulares”49, es decir: G ( jw) ∞ = sup σ [G ( jw)] (43)50 w Que representa el máximo módulo posible de la matriz G sobre todo el rango de frecuencias w [6]. Ecuación Algebraica de Riccati (ARE).- Doyle define a la ecuación algebraica de Riccati como una ecuación matricial de la forma: AT X + XA − XRX + Q = 0 (44)51 A , Q y R son matrices cuadradas de dimensión n , con Q y R simétricas. Matriz Hamiltoniana Asociada H .- Si A , Q y R son matrices cuadradas de dimensión n , con Q y R simétricas, la matriz hamiltoniana asociada no tiene valores propios en el eje imaginario y se define como [3]: −R A H = T − Q − A _________________ 48 49 50 51 52 Referencia [6] Referencia [6] Referencia [6] Referencia [11] Referencia [11] (45)52 44 Solución de la ARE.- Si la ecuación (44) fuera de tipo escalar, sólo tendría dos raíces o dos soluciones de la forma: X 1− 2 A ± A2 + R ⋅ Q = R (46) 2n Pero como es matricial tiene = (2n)!2 soluciones. n (n!) Interesa entonces conocer aquella única solución que hace que la matriz A − RX sea estable, es decir que todos sus valores propios tengan parte real negativa, la cual se representa como sigue: X = Ric(H ) (47)53 Ric( H ) = T21T11−1 (48)54 H : Es la matriz hamiltoniana asociada. Se denomina así porque si la ecuación (44) fuera escalar, H sería como la expresión A2 + R ⋅ Q de la ecuación (46) que está asociada a las dos soluciones. T21 , T11 : Son elementos de una matriz T de orden 2 × 2 tal que se cumpla que A T −1 HT = 11 0 A12 A22 (48)55 “Con la propiedad de que la matriz A11 tiene todos sus valores propios con parte real negativa”56. _________________ 53 54 55 56 Referencia [3] Referencia [3] Referencia [3] Referencia [3] 45 2.2.1.2 Definiciones del Control Robusto A continuación se sigue algunas de las definiciones del control robusto desarrolladas por diferentes autores. Estabilidad.- “Las salidas retornan a su estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a alguna perturbación o señal de comando”57. Desempeño.- “Señales de error pequeñas en presencia de perturbaciones y de señales de comando”58. Estabilidad Nominal NS.- “Cuando además de necesitar que el sistema de control diseñado funcione adecuadamente en un proceso real, se desea que sea estable en lazo cerrado para ciertas condiciones de trabajo dadas o nominales”59. Comportamiento Nominal NP.- “Comportamiento óptimo deseado para ciertas variables respecto a una función de costes o índice de comportamiento”60. Estabilidad Robusta RS.- “Estabilidad en lazo cerrado requerida para el conjunto de plantas que puedan aparecer por la presencia de incertidumbre en el modelo de la planta”61. Comportamiento Robusto RP.- “Cuando a más de conseguir la estabilidad robusta, el sistema de control debe cumplir unas especificaciones de funcionamiento”62. Robustez.- “Que las condiciones de estabilidad y desempeño se mantengan en presencia de incertidumbres en el modelo”63. _________________ 57 58 59 60 61 62 63 Referencia [6] Referencia [6] Referencia [3] Referencia [3] Referencia [3] Referencia [3] Referencia [6] 46 Sensibilidad, Sensibilidad del Control y Sensibilidad Complementaria.- A partir del siguiente gráfico generalizado de un sistema de control, definiremos matemáticamente estas tres relaciones importantes; la sensibilidad S (s ) , sensibilidad del control R (s ) y la sensibilidad complementaria T (s ) . FIGURA 17: Diagrama de bloques de un sistema de control generalizado De la figura 17: r = Referencia o señal de consigna di = Perturbación de entrada K ( s ) = Algoritmo matemático del controlador do = Perturbación de salida G ( s ) = Modelo matemático de la planta y = Respuesta de salida η = Ruido en los sensores de realimentación de la salida S ( s ) = [I + G ( s ) ⋅ K ( s )] −1 (49)64 R ( s ) = K ( s ) ⋅ [I + G ( s ) ⋅ K ( s ) ] −1 (50)65 T ( s ) = G ( s ) ⋅ K ( s ) ⋅ [I + G ( s ) ⋅ K ( s )] −1 S ( s) + T (s) = I S ( s ) + R ( s ) = [I + K ( s )] ⋅ [I + G ( s ) ⋅ K ( s)] (51)66 (52)67 −1 (53) Incertidumbres.- Partiendo del hecho en el cual un modelo matemático no puede describir con exactitud a una planta real debido a la existencia de incertidumbres _________________ 64 65 66 67 Referencia [6] Referencia [6] Referencia [6] Referencia [6] 47 ó errores en el modelado, la definición de incertidumbre es la siguiente: Diferencia entre el modelo nominal y real. Las incertidumbres pueden ser clasificadas de diferentes formas entre las cuales se puede mencionar: según su origen en estructurales y paramétricas; según su estructura en estructurada y no estructurada; y por último de acuerdo a la forma en la que se represente la imprecisión en aditiva y multiplicativa [3]. Por ser este trabajo únicamente de simulaciones, en los diseños que se indicarán en adelante sólo se atiende a la existencia de la incertidumbre aditiva, ya que la incertidumbre multiplicativa está relacionada con el ruido presente en los sensores. FIGURA 18: Incertidumbres de acuerdo a su representación ∆A = Incertidumbre aditiva, ∆M = Incertidumbre multiplicativa Los diagramas de bode de los valores singulares de R (s ) y T (s ) se usan para determinar o medir el margen de estabilidad del sistema frente a perturbaciones de la planta aditivas y multiplicativas respectivamente [6]. 2.2.1.3 Condiciones de Diseño del Control Robusto Funciones de Ponderación.- En el control robusto las especificaciones de diseño pueden estar dadas en el dominio de la frecuencia, y con ello se busca satisfacer algunos de los siguientes objetivos [8]: 48 1. El controlador K (s ) debe estabilizar G (s ) ; 2. Rechazo de perturbaciones a la salida σ ( S ) << 1 ; 3. Atenuación del ruido σ (T ) << 1 ; 4. Buen seguimiento de la referencia σ (T ) ≈ σ (T ) ≈ 1 ; 5. Control de la reducción de energía σ ( R ) << 1 ; 6. Otros requerimientos de robustez68. Para cumplir de manera independiente con estos objetivos se han creado las llamadas funciones de ponderación: W1 ( s ) , W2 ( s ) , W3 ( s ) . “ W1 ( s ) abarca tanto seguimiento a la señal de comando o set point como la atenuación a perturbaciones a la salida y se debe cumplir lo siguiente”69. σ [S ( jw)] ≤ W1−1 ( jw) (54)70 Donde: W1−1 ( jw) = Factor de atenuación deseado especificado para cada frecuencia w W2 ( s) se refiere al margen de estabilidad del sistema frente a incertidumbres aditivas en la planta y se debe cumplir lo siguiente: σ [R ( jw)] ≤ W2−1 ( jw) Donde: W2−1 ( jw) = Es el máximo tamaño de la incertidumbre aditiva. _________________ 68 69 70 71 Referencia [9] Referencia [9] Referencia [9] Referencia [9] (55)71 49 W3 ( s ) se refiere al margen de estabilidad del sistema frente a incertidumbres multiplicativas en la planta y se debe cumplir lo siguiente: σ [T ( jw)] ≤ W3−1 ( jw) (56)72 Donde: W3−1 ( jw) = Es el máximo tamaño de la incertidumbre multiplicativa. Cálculo de las Funciones de Ponderación.- En los diseños H ∞ que se indicarán más adelante, nos interesa conocer únicamente como calcular las funciones W1 ( s ) y W2 ( s ) , mientras que el desarrollo de W3 ( s ) sólo será citado brevemente. W1 ( s ) = α i s + 10 ( K −1) ωT s + β i ⋅ 10 ( K −1) ωT i (57)73 i Donde: α i : Es un indicador de la sobreoscilación o la ganancia de la función en alta frecuencia. β i : Es el error en régimen permanente permitido o la ganancia de la función en baja frecuencia. ωT : Es la frecuencia de corte de la función W3 ( s ) . K i : Parámetro para variar el ancho de banda de la salida. ω s + d ⋅ (s + 10 ρω d ) 10 ρ W2 ( s ) = ω s + d ⋅ (s + ρω d ) ρ Donde: ρ : Es un parámetro para variar el ancho de banda de la función W2 ( s) . ω d : Es la frecuencia de oscilación de la respuesta. _________________ 72 73 74 Referencia [8] Referencia [8] Referencia [8] (58)74 50 k 10 20 ⋅ (as + 1) W3 ( s ) = (bs + 1) (59)75 “La función W3 ( s ) debe ser estable de fase mínima y de módulo mayor que el máximo valor singular de las incertidumbres calculadas para todas las frecuencias”76. Por otra parte, si se desea cumplir algunos de los seis objetivos planteados anteriormente pero de forma simultanea, se debe recurrir a uno de los tres problemas de sensibilidad mixta: S / R , S / T , S / R / T . 2.2.2 CONTROL ROBUSTO H2 Y H∞ Como se explicó en el literal d) de la sección 2.2, los métodos H 2 y H ∞ tienen algo en común pero se diferencian en que el uno evalúa la mínima desviación de cierta matriz, mientras que el otro evalúa el máximo módulo de dicha matriz. Para saber identificar el método más apropiado de diseño a utilizar en un proceso se debe analizar los siguientes objetivos de desempeño: Si las señales de prueba son procesos estocásticos estacionarios de espectro conocido, el objetivo de desempeño es la minimización de la varianza del error y el problema se resuelve con el método H 2 [6]. Si las señales de prueba son funciones de energía o potencia límites, el objetivo de desempeño es minimizar el peor caso de energía o potencia, respectivamente, de la señal de error y el problema se resuelve con el método H ∞ [6]. _________________ 75 76 Referencia [9] Referencia [9] 51 2.2.2.1 Método de diseño H2 Como ya se mencionó antes, este método consiste en evaluar en forma directa la mínima desviación de la matriz del controlador a fin de lograr los valores singulares σ requeridos. Para efectuar el diseño se emplea la norma H 2 de la función costo Tzw que recoge las especificaciones de diseño requeridas para que el sistema sea robusto. Se debe indicar que el análisis de este método no se encuentra entre los objetivos de esta tesis, para mayor información acerca de este tema consultar la referencia [6]. 2.2.2.2 Método de diseño H∞ Este método consiste en hallar un controlador, tal que minimice el valor pico de la respuesta de frecuencia de una matriz función de transferencia de lazo cerrado, que abarque varios requerimientos para que el sistema de control sea robusto. La función de costo o matriz función de transferencia de lazo cerrado se llama Tzw . Si se considera la figura 19, se encuentra las funciones de ponderación de las señales significativas para un sistema de control general. FIGURA 19: (a) Señales significativas con sus funciones de ponderación en frecuencia para un sistema de control generalizado; (b) Estructura general para problemas de control H∞con planta aumentada P(s) 52 En la figura anterior se puede ver las funciones de ponderación de las señales de error, control y señal de salida, las cuales son respectivamente W1 , W2 , W3 . Además, Wr , Wdi , Wdo y Wη son las funciones de ponderación de las señales de entrada al sistema, es decir de r , di , do y η . Por lo cual las salidas ponderadas del sistema son z1 , z 2 y z 3 . Simplificando la figura 19a se obtiene la figura 19b, donde a P (s ) se le denomina como planta aumentada. Un diagrama aún más simplificado aparece en la figura 20. FIGURA 20.- Problema de diseño H∞. Planta generalizada y controlador Problema de diseño H∞.- Al problema de diseño H∞ también se lo conoce como problema de mínima ganancia y consiste en lo siguiente: “Dada la realización en variables de estado de P (s ) , hallar un controlador estabilizante u (s) = K ∞ ( s) ⋅ e(s) , tal que la norma infinita de Tzw sea menor o igual que uno”77. z = Tzw ⋅ ω z : Vector de salida z = [z1 z 2 z3 ] T ω : Vector de entrada ω = [r η d o d i ]T _________________ 77 78 Referencia [3] Referencia [3] (60)78 53 Tzw : Matriz función de transferencia de lazo cerrado o función de costo, cuya estructura depende de los casos de sensibilidad mixta. La representación en variables de estado de la planta aumentada P (s ) es la siguiente: x& p = A p x p + B1ω + B2 u (61)79 z = C1 x + D11ω + D12 u e = C 2 x + D21ω + D22 u Así la representación reducida de P (s ) queda de la siguiente forma: [ P( s) = A p , B p , C p , D p ] (62)80 Donde: B p = [B1 B2 ]; D C Tp = [C1 C 2 ] y D p = 11 D21 D12 D22 A partir de las matrices anteriores se puede construir su respectiva matriz hamiltoniana asociada: Ap H = − Q p Donde: Rp = − B p B Tp γ2 − Rp − ATp (63) ; Q p = C Tp C p El problema de diseño H∞ queda planteado idealmente con 0 < γ ≤ 1 de las siguientes formas: Si el problema es S / R : Tzw _________________ 79 80 81 Referencia [3] Referencia [9] Referencia [12] ∞ = W1 S W2 R ≤γ ∞ (64)81 54 Si el problema es S / T : Tzw ∞ = W1 S W3T ≤γ (65)82 ≤γ (66)83 ∞ Por último si es S / R / T W1 S Tzw ∞ = W2 R W3T ∞ Cualesquiera que sea el problema de sensibilidad mixta a emplear, se aplican los siguientes pasos para el diseño de un controlador H∞: Paso 1: El paso 1 consiste en calcular la norma H∞ de Tzw y se lo puede hacer con dos métodos: Método 1: Método Directo Tzw ∞ = sup σ [Tzw ] (67)84 w Método 2: Método Indirecto Para este método se sigue los siguientes pasos tomados del libro Control Adaptativo y Robusto de Rubio y Sánchez. 1) Asumir un valor escalar de γ > 0 . 2) Chequear si la matriz H construida con la ecuación (63) tiene valores propios imaginarios. _________________ 82 83 84 Referencia [12] Referencia [12] Referencia [3] 55 3) De acuerdo al resultado del paso 2) incrementar o disminuir γ . 4) Repetir el proceso, iterando con γ hasta encontrar un valor crítico γ 0 que con cierta precisión cumpla la condición del paso 2), en ese caso se consigue una cota ajustada Tzw ∞ < γ 0 [3]. Paso 2: En el paso dos se busca un controlador asintóticamente estable K (s ) , con el cual se logre Tzw ∞ < γ , para lo cual se deben resolver el siguiente par de ecuaciones de Riccati [3]: [( ) ] ATp X ∞ + X ∞ A p − X ∞ 1 / γ 2 B1 B1T − B2 B2T X ∞ + C1T C1 = 0 [( ) ] (68)85 A p Y∞ + Y∞ A − Y∞ 1 / γ C C1 − C C 2 Y∞ + B1 B = 0 T p 2 T 1 T 2 T 1 Y sus respectivas soluciones son: ( X ∞ = Ric H X ∞ ( Y∞ = Ric H X ∞ ) ) (69)86 Donde: Ap (1 / γ 2 ) B1 B1T − B2 B2T H X∞ = T − ATp − C1 C1 Ap (1 / γ 2 )C1T C1 − C 2 C 2T H Y∞ = T − ATp − B1C1 (70)87 Obteniéndose el siguiente controlador: [ K ( s ) = K c sI − A p − (1 / γ 2 ) B1 B1T X ∞ − B2 K c − ZK 0 C 2 _________________ 85 86 87 88 Referencia [3] Referencia [3] Referencia [3] Referencia [3] ] −1 K0 (71)88 56 Donde: K c = B2T X ∞ , K 0 = Y∞ C 2T , Z = [I − (1 / γ 2 )Y∞ X ∞ ] , K 1 = B1 B1T X ∞ (1 / γ 2 ) −1 El controlador anterior ya cumple la condición Tzw ∞ < γ , pero además se debe cumplir con las siguientes condiciones: X∞ ≥ 0 (72)89 Y∞ ≥ 0 λ max ( X ∞ Y∞ ) < γ 2 Paso 3: Si se cumple la condición Tzw ∞ < γ y las inecuaciones (72), el controlador está listo para ser colocado en la planta. En caso contrario se debe cambiar el valor de γ y efectuar los dos pasos anteriores. “El proceso de búsqueda puede terminar con el valor mínimo γ mín , o en una solución subóptima (γ 0 > γ mín ) ”90. 2.2.3 TUTORIAL PARA DISEÑO DE CONTROL H∞ CON MATLAB Ejemplo 2.2.3 Diseñar el sistema de control H ∞ de un sistema de seguimiento con referencia r = 31 , para la planta está definida por la función de transferencia mostrada abajo. En el diseño considere el problema de sensibilidad mixta S / R G(s) = 3 ( s + 1) Paso 1: Analizar el comportamiento de la planta tanto en lazo abierto, como en lazo cerrado con realimentación unitaria. En las figuras 21a y 21b se presenta el análisis. _________________ 89 90 Referencia [3] Referencia [3] 57 FIGURA 21: Procedimiento para diseñar un controlador H∞ (a) Prueba en lazo abierto; (b) Planta en lazo cerrado Del paso 1 se puede concluir que la señal de salida no sigue la referencia establecida r = 31 por la no existencia de un controlador. Paso 2: Diseño de las funciones de las especificaciones de diseño, para lo cual se requiere usar las ecuaciones (57) y (58) y se obtiene las funciones de ponderación que se muestran a continuación. W1 ( s) = 0.5s + 1 s + 10 −6 Para este sistema en particular no se tiene restricciones en la señal de control por lo que se puede escoger: W2 ( s ) = 1 No se toma en cuenta W3 ( s ) debido a que el sistema en análisis no tiene sensores, por lo cual no hay ponderación de ruido en sensores. Paso 3: Obtención de la planta aumentada P (s ) mediante el comando sysic del toolbox de robust control y tomando en cuenta la ecuación (62), se tiene que: 58 0 − 1 ; B p = 0 1 ; Ap = −6 − 3 − 10 1 0 0 .5 0 − 1.5 1 0 y D p = 0 1 Cp = 0 1 0 − 3 0 Paso 4: Encontrar el controlador estabilizante tal que cumpla con las condiciones de diseño establecidas de acuerdo a lo que mencionamos en la teoría anteriormente. Para esto se utiliza el comando hinfsyn del toolbox de Robust Control. Primero se verifica si el controlador que se está diseñando cumple la condición Tzw ∞ < γ , para esto se necesita que el diagrama de Bode de los valores singulares de Tzw sea lo más cercano a 0 [dB] [6]. Mediante el comando sigma del toolbox de control system se calculan dichos valores. FIGURA 22.- Diagrama de bode de los valores singulares de Tzw Luego se revisa si el controlador sigue a las condiciones de la ecuación (72) para las ecuaciones de Riccati por medio del comando hinfsyn. 59 FIGURA 23.- Programa de diseño del controlador estabilizante, iteraciones de γ para comprobar si el controlador diseñado cumple las condiciones de diseño: de las matrices H X ∞ , H Y∞ y las inecuaciones (72). El signo # significa que una de las 5 condiciones falló para ese valor de γ. Verificar si la condición mostrada en la ecuación (54) se está cumpliendo para bajas frecuencias y la (55) para frecuencias intermedias. Esto se hace con los comandos bode del toolbox de control system y la función de referencia de Matlab semilogx. FIGURA 24.- Comparación entre sensibilidad S y su función de ponderación W1−1 60 FIGURA 25.- Comparación entre sensibilidad R y su función de ponderación W2−1 Paso 5: Si todas las condiciones del paso cuatro son correctas, utilizar el controlador encontrado, en caso contrario regresar al paso dos para ir variando los principales parámetros de las funciones de ponderación (sintonización) hasta que se vayan cumpliendo todas las condiciones. Es importante resaltar que al cambiar dichas funciones, de igual forma cambiará la planta aumentada. Por ejemplo, en este caso que se acaba de resolver, se puede notar en la figura 22 que la curva no es cercana a los 0 [dB], por otra parte en las figuras 24 y 25 las condiciones (54) y (55) si se cumplen. Entonces se debe ajustar la función de ponderación W1 ( s ) . Repetición del Paso 2: En W1 ( s) inicialmente ω T = 10 rad / seg con lo cual no se cumplió la primera condición, por lo cual se realiza varios cambios en ωT , hasta que se cumplan todas las condiciones de diseño, lo cual se consiguió para ωT = 23.64 rad / seg con la siguiente función de transferencia. W1 ( s ) = 0.5s + 2.364 s + 2.364 × 10 −6 61 Para este caso en particular no se necesita hacer cambios en la función de ponderación de sensibilidad de control, ya que se mantiene como: W2 ( s ) = 1 Repetición del Paso 3: P (s ) , queda definida como: 1 0 0 −1 ; Bp = Ap = ; −6 1.537 0 − 4.612 − 2.364 × 10 − 1.5 1.537 C = 0 0 − 3 0 T p y 0.5 0 D p = 0 1 1 0 Repetición del Paso 4: FIGURA 26.- Diagrama de bode de los valores singulares de la nueva Tzw 62 FIGURA 27.- Programa de diseño del controlador estabilizante, nuevas iteraciones del γ para comprobar si el controlador diseñado cumple las condiciones de diseño FIGURA 28.- Comparación entre la nueva R y su función de ponderación W2−1 Repetición del Paso 5: En el paso anterior ya todas las condiciones fueron correctas, por lo cual ya se puede utilizar el controlador resultante de la figura 29. 63 FIGURA 29.- Controlador K∞ diseñado FIGURA 30.- Planta en lazo cerrado y con un controlador K∞ diseñado La figura 30 indica el perfecto seguimiento de y iii a la referencia r = 31 mediante el uso de realimentación unitaria y el controlador K ∞ . 64 2.3 CONTROL DIFUSO Ahora se va describir la lógica difusa en forma resumida y desde el punto de vista de los sistemas de control. No se especificará su matemática ya que esto se lo ha hecho repetidamente en varias tesis de la EPN. 2.3.1 TEORÍA BÁSICA DEL CONTROL DIFUSO 2.3.1.1 Definiciones de Lógica Difusa Base de Reglas.- En el control difuso existe un razonamiento lógico humano basado en condicionales del tipo “si, entonces,” que son los que dan lugar a la salidas que va tomando el controlador. A este conjunto de condicionales se les conoce como base de reglas. Universo de discurso.- La base de reglas proviene de la elección de una respuesta en función de cada uno de los estados que vayan adquiriendo las variables de entrada del controlador dentro de un conjunto de valores numéricos llamado universo de discurso. Etiquetas.- Cada subconjunto difuso de un universo de discurso en el cual se mueven las variables de entrada del controlador. Función de Membrecía.- La diferencia principal entre la lógica difusa y la lógica matemática que se conoce está dada porque las variables que se van a analizar con el controlador difuso, no pertenecen de forma estricta a una etiqueta, como se lo haría con la lógica matemática normal que se conoce; sino que en la lógica difusa se habla de grados de pertenencia. Es decir “cada uno de los elementos de un subconjunto difuso es miembro de dicho conjunto en determinado grado”91. La función que relaciona el grado de pertenencia que tiene cada elemento se llama función de membrecía. _________________ 91 Referencia [13] 65 Fusificación.- Con la fusificación se “convierte cada fragmento de datos de entrada en grados de membrecía a través de una o varias funciones de membrecía, las cuales caracterizan a las distintas etiquetas”92. Esta conversión se hace con el objeto de acoplar las variables de entrada con la base de reglas. Inferencia.- Para seleccionar la mejor salida del controlador de una base de reglas de acuerdo a lo que esté ocurriendo con las variables de entrada del mismo, se requiere de un análisis de las relaciones existentes entre los subconjuntos difusos, dicho análisis se llama inferencia. Defusificación.- Consiste en transformar la salida seleccionada por el proceso de inferencia en la señal de control que se va a utilizar para controlar determinado proceso [13]. Para esto se utilizan métodos tales como: Centroide Media de máximos Bisectriz de área Máximo izquierdo y/o derecho Por defecto el Toolbox Fuzzy Logic utiliza el centro de gravedad, que también es el utilizado en este proyecto, por lo cual es el único que se describe. Centroide.- Mediante este método se calcula el centro de gravedad de la superficie formada por la base de reglas. 2.3.2 CONTROL DIFUSO MANDAMI Y TAKAGI SUGENO 2.3.2.1. Método de Diseño Mandami Debido a que uno de los proyectos de esta tesis es un controlador con técnica Takagi Sugeno, no se detalla el método Mandami, pero para mayor información se puede consultar la referencia [13], [14]. _________________ 92 Referencia [13] 66 El método Mandami necesita una tabla lingüística para estructurar la base de reglas. Dicha tabla contiene las etiquetas de las variables de entrada a lo largo de los ejes, mientras que las etiquetas de las salidas se encuentran en el interior de cada casillero de la tabla. Este método puede ser utilizado cuando se desconoce la existencia de los algoritmos matemáticos que describen tanto el funcionamiento de la planta como del controlador. Si dichos algoritmos existieran no tendría caso hacer un diseño Mandami y se debe recurrir al método Takagi Sugeno. Por lo cual aunque el método Mandami funciona correctamente cuando es implementado, no tiene la precisión que se tendría con un método Takagi Sugeno. 2.3.2.2 Método de Diseño Takagi Sugeno TS La técnica Takagi Sugeno TS, trabaja en base a algoritmos matemáticos lineales, los cuales de alguna forma deben tener similitud con la siguiente ecuación lineal TS: z = p⋅x+q⋅ y +r (73)93 Donde: p , q y r son constantes. Por esta razón cada regla de la base queda definida así: Si x es A y y es B luego la salida es z (74)94 Basándonos en (73), un tipo de salida más sencillo puede ser sólo de tipo constante como sigue: z = kte (75) Donde también se cumple el mismo tipo de condicional (74) para obtener la salida del controlador a diseñarse. Con la ecuación (73) la estructura de la base de reglas no requiere de ninguna tabla lingüística. _________________ 93 94 Referencia [14] Referencia [14] 67 2.3.3 TUTORIAL PARA DISEÑO DE CONTROL DIFUSO TS CON MATLAB El método que se expondrá aquí es completamente sencillo ya que no requiere los equivalentes discretos de las acciones de control proporcional integral derivativa PID’s (ecuaciones en diferencias que consideran valores anteriores de la señal de control y la señal de error). Sólo se necesita tener en cuenta los algoritmos de control PID’s básicos: proporcional, proporcional derivativo, proporcional integral y proporcional integral derivativo. u = K P ⋅ e(t ) u = K P ⋅ e(t ) + K D ⋅ de(t ) dt t (76)95 u = K P ⋅ e(t ) + K I ⋅ ∫ e(t ) ⋅ dt 0 t de(t ) u = K P ⋅ e(t ) + K D ⋅ + K I ⋅ ∫ e(t ) ⋅ dt dt 0 Ejemplo 2.3.3 Diseñar un sistema de control PD difuso con la técnica TS de un sistema de seguimiento con referencia r = 10 para la planta definida por la función de transferencia mostrada abajo. G ( s) = 10 s ( s + 5)( s + 1) Paso 1: Análisis del comportamiento de la planta tanto en lazo abierto, como en lazo cerrado con realimentación unitaria figuras 31a y 31b. _________________ 95 Referencia [1] 68 FIGURA 31.- Procedimiento para diseñar un controlador difuso PD con técnica TS (a) Prueba en lazo abierto; (b) Planta en lazo cerrado con realimentación unitaria De las figuras anteriores se concluye que en lazo abierto la salida y no sigue ninguna referencia y que en lazo cerrado con realimentación unitaria no existe la necesidad de añadir ganancia al funcionamiento de la planta ya que la señal de salida alcanza la consigna, pero existe un Mp exagerado por lo cual sí se requiere de un controlador. Paso 2: Se debe observar el comportamiento de un controlador convencional que garantice el buen funcionamiento de la planta. En caso de no existir el controlador mencionado, habría que diseñarlo. Para este ejemplo en particular se tuvo que diseñar un controlador convencional PD, cuyos pasos de diseño no se presentan ya que son temáticas básicas. La función de transferencia del controlador es: GC ( s ) = (s + 1) (77) 69 FIGURA 32.- Análisis de funcionamiento de un controlador PD convencional FIGURA 33.- Señal de control y señal de salida de un controlador PD convencional De las figuras 32 y 33 ya podemos sacar la información referente a los universos de discurso para el controlador PD difuso que se va a diseñar. Los universo de discurso son: error [0 10], ∆ de error [-6 0], señal de control u [0 4x1014]. Paso 3: Diseñar el controlador PD difuso mediante el toolbox de Fuzzy Logic. 70 Primero se debe crear una estructura fis de tipo TS, como se muestra en la figura 34. En está estructura se debe colocar tanto las entradas que van a ingresar en el controlador (error, ∆ de error o cambio de error) como su salida (señal de control u ), con sus respectivos universos de discurso. FIGURA 34.- Estructura TS con variables de entrada y de salida Crear las funciones de membrecía con sus respectivas etiquetas, en cada variable de entrada y de manera simétrica, tal como se indica en la figura 35. Las etiquetas para las funciones de membrecía del error son: PGG positivo muy grande, PG positivo grande, P positivo, PM positivo medio, PP positivo pequeño y ZP cero positivo. Las etiquetas del cambio de error son: N negativo, NG negativo muy grande y NMG negativo muy grande. FIGURA 35.- Funciones de membrecía del error ( e ) y el cambio de error ( ∆e ) 71 Colocar el algoritmo del control PD de la ecuación (76) relacionándolo con la ecuación (73), con lo cual se tiene que p = K P = 1 , q = K D = 1 y r = 0 (figura 36). FIGURA 36.- Ecuaciones TS del controlador PD difuso De la figura 36 se tiene que u1 = u 2 = u3 = u 4 = u5 = u 6 = p ⋅ e + q ⋅ ∆e Definir la base de reglas (figura 37). FIGURA 37.- Base de reglas del controlador PD difuso Paso 4: Probar el controlador con la planta para verificar si satisface las expectativas para las que fue diseñado (figura 38). De no ser así se debe hacer una sintonización en 72 las constantes del controlador (subir o bajar sus valores de manera proporcional) y además modificar las funciones de membrecía. FIGURA 38.- Funcionamiento del controlador difuso PD con técnica TS: (a) Planta en lazo cerrado con realimentación unitaria y controlador PD difuso; (b) Señales de control y de salida del sistema En este ejemplo no fue necesario realizar ninguna sintonización ni ajuste de funciones de membrecía ya que desde la primera vez funcionó correctamente el controlador PD difuso. Como se puede apreciar en las señales de control y salida de la figura 38, éstas son completamente similares a las de la figura 33 de un sistema con control PD convencional. Surge la pregunta ¿por qué diseñar un PID difuso si ya se tiene el convencional y funcionan iguales?, la respuesta es sencilla: en ocasiones no se puede satisfacer completamente las expectativas de diseño únicamente con un PID convencional por ejemplo en la referencia [13] con un PD difuso se logró mejorar el estado transitorio de un reductor de voltaje en mayor magnitud de lo que se lograba con el PD convencional que sirvió de base para el diseño del difuso. En otras palabras un PID difuso y un PID convencional que sirva de base no siempre funcionan iguales como ocurrió en el ejemplo 2.3.3 ya que en el difuso existen más herramientas para la sintonización y por ende mejoran las características de diseño conseguidas. 73 CAPÍTULO 3 MODELACIÓN, DISEÑO Y SIMULACIÓN DEL CONVERSOR ELEVADOR DE VOLTAJE DC/DC 3.1 MODELO MATEMÁTICO DEL CONVERSOR En 1976, R. Middlebrock y Slobodan Cuk desarrollaron un artículo interesante en el cual se establece una serie de modelos matemáticos generales basados en variables de estado para los principales conversores dc/dc operando en conducción continua (cc) tales como: el reductor de voltaje, el elevador de voltaje y el reductor elevador de voltaje (en inglés se les conoce como buck converter, boost converter y buck-boost converter respectivamente). 3.1.1 MODELACIÓN DEL ELEVADOR DE VOLTAJE DC/DC EN CC Los modelos matemáticos generales se basan en el concepto de promediar y linealizar los modelos parciales que representan al circuito conversor en cada estado de conmutación, de acuerdo al funcionamiento del elemento switch. En la figura 39 se puede ver dichos estados de conmutación para un conversor elevador de voltaje operando en conducción continua. Siguiendo la demostración hecha por Middlebrock y Cuk a mediados de los años 70’s, tenemos las siguientes variables de estado que representan los estados del conversor elevador mostrados en las figuras 39b y 39c respectivamente. Intervalo TSW ⋅ δ x& = A1 ⋅ x + b ⋅ vin x& = A2 ⋅ x + b ⋅ vin y = c1T ⋅ x + b ⋅ vin y = c 2T ⋅ x + b ⋅ vin _________________ 96 Intervalo TSW ⋅ δ ' Referencia [15] (78)96 74 FIGURA 39.- Funcionamiento de un conversor elevador de voltaje dc/dc; (a) Elementos y variables físicas involucradas en el funcionamiento (b) Elevador operando en estado de conmutación cerrado (c) Elevador operando en estado de conmutación abierto De las ecuaciones (78) tenemos que: Rl − L A1 = 0 1 − (R + Rc ) ⋅ C 0 1 L b1 = 0 c1T = 0 R R + Rc d1 = 0 _________________ 98 Referencia [15] Rl + Rc ⊥ R − L A2 = R (R + Rc ) ⋅ C R L ⋅ (R + Rc ) 1 − (R + Rc ) ⋅ C − 1 L b2 = 0 c 2T = Rc ⊥ R d2 = 0 R R + Rc (79)98 75 El modelo promediado de los dos estados de conmutación para un período TSW tiene el modelo de la ecuación (80), donde además se considera que la relación de trabajo δ es constante para todo el período, por lo cual se reemplaza por D . x& = A ⋅ x + B ⋅ vin (80)99 y =C⋅x Donde: A = D ⋅ A1 + D'⋅ A2 (81)100 B = b = D ⋅ b1 + D'⋅b2 C = c T = D ⋅ c1T + D '⋅c 2T Reemplazando las matrices (79) en las ecuaciones (81), se obtiene lo siguiente: Rl ⋅ ( R + R c ) + Rc ⋅ R ⋅ D ' − L ⋅ (R + Rc ) A= R ⋅ D' + ( R + Rc ) ⋅ C R ⋅ Rc ⋅ D' C= R + Rc 1 R ⋅ D' L L ⋅ (R + Rc ) B= 1 − 0 (R + Rc ) ⋅ C − R R + Rc (82) d =0 Si ahora aparece una perturbación en el voltaje de entrada, por la presencia de variaciones lineales de voltaje v̂in , el voltaje de entrada queda de la forma: vin = Vin + vˆin Donde Vin es la entrada lineal de voltaje DC. _________________ 99 Referencia [15] 100 Referencia [15] 101 Referencia [15] (83)101 76 La perturbación del voltaje de entrada causa una correspondiente perturbación en el vector de estado dando origen a la ecuación: x = X + xˆ (84)102 Donde X nuevamente es un valor DC del vector de estado y x̂ es la perturbación impuesta o componente AC. Las perturbaciones mencionadas causan que en la salida también exista perturbación, con lo cual la salida queda como en la ecuación (85). y = Y + yˆ (85)103 Si se reemplaza las ecuaciones (83), (84) y (85) en la (80), se obtiene el siguiente sistema de variables de estado: xˆ& = A ⋅ X + B ⋅ Vin + A ⋅ xˆ + B ⋅ vˆin Y + yˆ = C ⋅ X + C ⋅ xˆ (86)104 Supongamos ahora que δ no es constante para todo el período, sino que depende del tiempo y tiene una parte en estado estable DC y otra que representa sus ligeras variaciones en el tiempo o componente en AC. δ = D + δˆ Las ecuaciones (86) quedarían como las (88) _________________ 102 103 104 105 Referencia [15] Referencia [15] Referencia [15] Referencia [15] (87)105 77 En estado estable se cumple que: X = − A −1 ⋅ B ⋅ Vin −1 Y = C ⋅ X = −C ⋅ A ⋅ B ⋅ Vin (89)107 Para linealizar las ecuaciones (88); se elimina los términos no lineales de segundo orden y se separa los términos DC de los de AC, con lo cual la dinámica del modelo en pequeña señal está representada por las ecuaciones (90): xˆ& = A ⋅ xˆ + B ⋅ vˆin + [( A1 − A2 ) ⋅ X + (B1 − B2 ) ⋅ Vin ] ⋅ δˆ yˆ = C ⋅ xˆ + (C − C ) ⋅ X ⋅ δˆ 1 (90)108 2 Las ecuaciones (89) y (90) representan el modelo de baja frecuencia en pequeña señal de un conversor DC/DC, con doble estado de switcheo trabajando en el modo de cc. El modelo a variables de estado que requerimos para los diseños que se presentarán más adelante sale de las ecuaciones (90) y en forma general sería: x& = AG ⋅ x + BG ⋅ u y = C G ⋅ x + DG ⋅ u _________________ 106 107 108 Referencia [15] Referencia [15] Referencia [15] (91) 78 3.1.2 DISEÑO DE UN ELEVADOR DE VOLTAJE DC/DC DE 10 A 20 V La planta que se va a diseñar es un elevador de voltaje de corriente continua con las siguientes características: Vin = 10 [V], Vo = 20 [V], para una carga R = 31 [Ω]. El elevador debe operar a f SW ≈ 2.5 [KHz] con realimentación unitaria de voltaje y de corriente operando en conducción continua cc. 3.1.2.1 Elementos y Parámetros de Funcionamiento del Elevador 10 a 20 [V] Aunque la selección real de los elementos del conversor no forma parte de este proyecto, se dejan las siguientes pautas para dicho propósito. Selección del inductor Para mantener la conducción continua se debe seleccionar el mínimo inductor requerido. Lmín = R ⋅ TSW ⋅ δ ⋅ δ '2 2 (92) De la típica ecuación para calcular la relación de trabajo en un elevador se obtiene la siguiente relación de trabajo: δ = 1− Vin = 0 .5 Vo Ahora utilizando las ecuaciones (89) se obtiene la siguiente relación de trabajo, cuando existe la presencia de resistencias tanto en el inductor como en el capacitor: δ = 0.4932973 ⇒ δ ' = 0.506702 Como se puede ver de los dos últimos cálculos de δ , sus valores no difieren mucho, por lo cual podemos utilizar cualquiera de los dos para encontrar Lmín . Si se regresa a la ecuación (92), la inductancia mínima para mantener la cc es: Lmín = 0.7644734 [mH ] 79 Sea: L = 0.7644734 [mH ] con Rl = 0.1 [Ω] Corriente pico I Lmáx Es la corriente pico que debe soportar el inductor y se calcula como sigue: I Lmáx = I L + ∆I l 2 (93) ∆I l Vin ⋅ δ = = 1.013405 [ A] 2 2 ⋅ f SW ⋅ L Vin IL = = 1.325625 [ A] R ⋅ δ '2 Reemplazando los valores anteriores en la ecuación (93) se tiene que la corriente pico es: I Lmáx = 2.3390306 [ A] Elección del capacitor δ C= R ⋅ f SW ∆V ⋅ o Vo (94) Tomando en cuenta que se cumpla la siguiente ecuación de rizado de voltaje. ∆Vo ≤ 5% Vo Sea: ∆Vo = 0.3 Si se reemplaza en la ecuación (96) los datos correspondientes: C = 435.87326788 × 10 −6 [ F ] (95) 80 Si se parte del hecho en el que se ha escogido un capacitor adecuado para tener un rizado de voltaje de salida aceptable, hay una fórmula que se utiliza para calcular la resistencia Rc necesaria para limitar dicho rizado. ∆Vo Rc < ∆I L I omáx + 1− δ 2 máx Si I omáx = 0.645164 [ A] ; δ máx = 1 − (96)109 Vin = 0.6 2.5 ⋅ Vin ∴ Rc < 0.114 [Ω] Por lo tanto el capacitor queda definido de la siguiente forma: Sea: C = 470 [ µF ] con una Rc = 0.01 [Ω] Corriente pico I Cmáx Es la corriente pico que debe soportar el capacitor y se calcula: I Cmáx = I Lmáx − I omáx = 1.693869 [ A] Selección del elemento Switch Se selecciona un GTO como elemento switch. Esta parte se fundamenta en la referencia [13]. Además en esta selección se tuvo en cuenta lo siguiente: Trabajo a alta frecuencia, es decir el conversor no sólo opera a f SW ≈ 2500 [Hz] , sino que será utilizado a f SW ≈ 12 [KHz] en el diseño H∞. Salir del estereotipo en el que se utilizan transistores de potencia o mosfets canal N como elementos switch. _________________ 109 Referencia [5] 81 Para un diseño real se puede considerar un GTO con las siguientes características: Tomando en cuenta la máxima corriente que puede circular por el inductor, la [A] corriente del GTO puede ser: imáx ≈ 3 y potencia p ≈ 20 [W ] . Corrientes de encendido y apagado respectivamente: ion , ioff deben ser seleccionadas de acuerdo a la señal de control emitida o PWM. Tiempos de encendido y apagado: estos tiempos deben ser aptos para la frecuencia de operación establecida y también cumplir con relación de trabajo que se calculó anteriormente. Elección del Diodo En el Simulink se tomó un diodo de los elementos de potencia, por cuestiones de compatibilidad de funcionamiento en el Matlab. En una aplicación real se puede elegir un diodo Schottky de alta frecuencia que tenga las siguientes características: Frecuencia de operación: f SW = 12 [KHz] Voltaje: VPI ≥ Vo = 20 [V ] Corriente máx: I D = 2 ⋅ I o ≈ 1.5 [ A] 3.1.2.2 Modelo Matemático para el Elevador de 10 a 20 [V] Sustituyendo los elementos de la parte de diseño del conversor elevador en la ecuación (90), se obtienen las matrices indicadas en (97) que son el modelo matemático para el mismo. − 104.93138 493.13824 AG = A = − 1049.23031 − 68.61204 [ C G = C = 4.931382 × 10 −3 0.99967 ] − 20006.62479 BG = B = 2781.7725 [ DG = D = − 1.307433 × 10 −2 ] (97) 82 De igual manera a partir de la ecuación (90) se puede calcular la función de transferencia de este conversor elevador, que es la que relaciona el voltaje de salida con la señal de control, o en otras palabras: G (s) = 3.2 yˆ ( s ) vˆo ( s ) (s − 7441.1771) ⋅ (s + 212765.9574 ) = = δˆ ( s ) δˆ ( s) (s + 86.7717 − j ⋅ 719.0868 ) ⋅ (s + 86.7717 + j ⋅ 719.0868 ) (98) SIMULACIÓN El diseño planteado en el literal 3.1.2.1 se encuentra representado en la figura 40. En la figura 41 se tienen las formas de onda que se consiguen con ese diseño, tanto la parte transitoria como en estado estable. En la figura 42 se presenta un acercamiento o zoom a la parte de estado estable de las formas de onda de la figura 41. FIGURA 40.- Elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20 [V] trabajando sólo con control PWM y con realimentaciones de voltaje de salida V load y de corriente de inductor iL En la figura 41, el voltaje de salida permite obtener las características de respuesta del sistema, cuando se trabaja sin ningún sistema de control adicional al ya existente (control PWM de la figura 40). Las características son: máximo sobreimpulso M P , error de posición eP y tiempo de establecimiento t S : M P = 78.49% ; e P = 6.79% y t S = 0.0013seg (99) 83 FIGURA 41.- Formas de onda del elevador de voltaje de la figura 40 FIGURA 42.- Acercamiento en la parte de estado estable de las formas de onda de la figura 41 84 Las figuras 43a y 43b muestran la simulación de los modelos matemáticos del elevador de voltaje tanto a variables de estado como función de transferencia ecuaciones (97) y (98). Como se ve en las figuras, las formas de onda del voltaje de salida son similares a las presentadas en las figuras 41 y 42 porque tampoco llegan a la señal de consigna que es 20[V] y tienen un sobrepico alrededor de 35[V]. Por esta razón se puede decir que los modelos matemáticos trabajan correctamente al representar al estado dinámico de un conversor elevador de 10 a 20[V]. Bajo la consideración anterior, dichos modelos ya pueden ser utilizados en el diseño de los controladores avanzados para el elevador, estos diseños tienen que minimizar los parámetros planteados en (99). FIGURA 43.- Funcionamiento de un conversor elevador de voltaje dc/dc; (a) Simulación del modelo a variables de estado (b) Simulación del modelo a función de transferencia 85 CAPÍTULO 4 DISEÑO DE CONTROLADORES PARA EL ELEVADOR 4.1 CONTROLADOR DE ESPACIO DE ESTADO Las matrices de ganancias tanto para la realimentación de estado como para el observador de estado, que se presentan en este capítulo se obtuvieron siguiendo los pasos del tutorial 2.1.3. 4.1.1 REALIMENTACIÓN DE ESTADO Sea: µ1−2 = −407.5357 ± j376.6398 ; µ 3 = −1000 (100) Matriz de ganancias de realimentación calculada: K = [0.0848 0.0196] ; k I = 14.8718 FIGURA 44.- Señales obtenidas con los polos deseados µ1−2 = −407.5357 ± j376.6398 ; µ 3 = −1000 (101) 86 La señal de salida obtenida con los polos deseados (100), no es satisfactoria ya que no existe señal de PWM como se aprecia en la figura 44, además la corriente del inductor es exageradamente alta y podría destruir los elementos si fuera una implementación real. Para la planta que se está tratando no sirvió el criterio de incrementar aproximadamente 3 veces el tercer polo con respecto a la parte real de µ1− 2 . Por tales razones fue conveniente hacer un procedimiento de sintonización incrementando µ3 . Luego de varias pruebas efectuadas variando los valores de µ3 se llegó a los polos deseados: µ1− 2 = −407.5357 ± j 376.6398 ; µ 3 = −77210.7826 (102) Matriz de ganancias de realimentación calculada: K = [4.2548 2.6144] ; k I = 1.1483 × 10 3 FIGURA 45.- Señales obtenidas con los polos deseados µ1−2 = −407.5357 ± j376.6398 ; µ 3 = −1000 (103) 87 Los polos que se indican en la expresión (102) tienen una relación de tamaño entre µ3 y la parte real de µ1− 2 de aproximadamente 190 veces. Con los mencionados polos, los resultados mejoraron (figura 45) pero aún se requería mejorar el Mp, lo cual se obtuvo eliminando la parte imaginaria de los polos deseados y sometiendo a una nueva sintonización a todos los polos de (102) µ1 = −452.93 ; µ 2 = −997.4379 ; µ 3 = −52629.72513 (104) Matriz de ganancias de realimentación calculada: K = [3.1689 3.4127 ] ; k I = 1.1483×103 (105) FIGURA 46.- Señales obtenidas con los polos deseados µ1 = −452.938 , µ 2 = −997.437 , µ 3 = −52629.725 Utilizando la matriz (105) los resultados fueron excelentes como se muestra en la figura 46 pero la constante k I representa un problema si se desea implementar este diseño en la realidad, ya que correspondería a una alta ganancia proporcionada con un sistema de amplificadores operacionales lo cual conlleva 88 problemas de saturación, inestabilidad, etc. Por tal motivo se decidió someter a los polos deseados de la expresión (104) a un ajuste final, de tal forma que sólo la ganancia k I disminuya ya que k1 y k 2 no representan inconvenientes en una implementación real debido a su baja denominación. En primer lugar se redujo la ganancia k I 10 veces de su valor original, es decir pasó de k I = 1.1483×103 a k I = 114.83 esto se obtuvo con los polos deseados ubicados en: µ1 = −30.519 ; µ 2 = −1482.028 ; µ 3 = −52567.547 Con lo cual el tiempo de establecimiento t S se incrementó demasiado. Como se indica en la figura 47, este tiempo subió alrededor de los 160 milisegundos. FIGURA 47.- Señales obtenidas con los polos deseados µ1 = −30.519 , µ 2 = −1482.028 , µ3 = −52567.547121 Lo acontecido con el t S en la figura 47, obligó a incrementar el valor de la constante integral a k I = 870 obteniéndose resultados aceptables. Pero hay que 89 tomar en cuenta la siguiente consideración: para una implementación real, posiblemente se deba recurrir a amplificadores de instrumentación, los cuales presentan un rango de ganancia: 1 < Gain < 1000 . El valor final de k I = 870 se obtuvo con los siguientes polos deseados: µ 1 = −291.176 ; µ 2 = −1175.917 ; µ 3 = −52612.985 (106) Los polos presentados en (106), tienen una relación de tamaño entre µ3 y µ 2 de aproximadamente 45 veces. Por lo tanto la matriz de ganancias de realimentación calculada es: K = [3.1689 3.4127 ] ; k I = 870 FIGURA 48.- Señales obtenidas con los polos deseados µ1 = −291.176 , µ 2 = −1175.917 , µ3 = −52612.985 (107) 90 4.1.2 OBSERVADOR DE ESTADO Sea: µ 4 = −9800 y µ 5 = − 9800 (108) Los valores de la expresión (108) si cumplen con el criterio µ 4 − 5 ≈ 10 ⋅ (µ 1− 2 ) si se considera que µ 4 − 5 = 8 .33 ⋅ (µ 2 ) . Esta consideración se la hace debido a que en este caso no existen polos deseados de realimentación de estado con partes reales iguales, por lo cual fue conveniente seleccionar al mayor polo deseado (que para este diseño es µ 2 ) como referencia para que los polos µ 4 − 5 de observador de estado sean aproximadamente 10 veces mayores. Matriz de ganancias de estimación calculada: 8.9178 × 10 4 Ke = 4 1.8992 × 10 (109) El procedimiento de diseño de la matriz de ganancias del observador mostrada en (109), se obtuvo sintonizando de forma similar a la que se encontró la matriz para realimentación de estado (105). En esta parte del diseño los valores altos de las ganancias de (109) no son un problema porque en una implementación real el observador de estado es un programa de computadora. Para el proceso de sintonización, lo que más se tomó en cuenta fue que las variables de estado iL ESTIMADA y V0 ESTIMADO sigan aceptablemente a sus correspondientes variables de estado originales i L y V0 . La simulación completa y los resultados finales obtenidos con las matrices de ganancias de realimentación y observador de estado (107) y (109), se presentan en el capítulo 5. 91 4.2 CONTROLADOR ROBUSTO H∞ Siguiendo los pasos similares a los mostrados en el tutorial 2.2.3 se encontraron las siguientes funciones de ponderación (110) y (111) basadas en las fórmulas (57) y (58) para diseñar el controlador H∞ del elevador de voltaje. W1 ( s) = 0.31s + 42200 s + 0.422 × 10 −5 (110) W2 ( s ) = s + 31415.16 s + 314151.6 (111) La planta aumentada P (s ) es: 20006.624 0 0 0 - 104.931 - 493.138 0 1049.23 - 68.612 − 2781.772 0 0 (112) ; Bp = Ap = 64.961 - 3.203 0.8493 - 64.940 - 0.00000422 0 531.736 0 0 0 − 314159.2654 0 0 − 0.0152 − 0.309 64.961 C = 0 0 0 − 531.736 − 0.0493 − 0.999 0 0 T p y 0.31 0.00405 D p = 0 1 1 0.01307 Los parámetros de diseño quedaron establecidos como en las siguientes figuras 49 y 50: FIGURA 49.- Parámetros de diseño que cumple el controlador (a) Tzw ∞ < γ ; (b) σ [S ( jw)] ≤ W1−1 ( jw) K∞(s) del elevador de voltaje 92 FIGURA 50.- Parámetros de diseño que cumple el controlador K∞(s) del elevador de voltaje σ [R( jw)] ≤ W2−1( jw) El controlador K ∞ (s ) que cumple con las anteriores características es: K ∞ (s) = (s + 86 .77 + j ⋅ 719 .08 ) ⋅ (s + 86 .77 − j ⋅ 719 .08 ) ⋅ (s + 314159 .26 ) ⋅ (s − 1006891049 .99 ) (s + 4.22 × 10 )⋅ (s + 28850 .56 + j ⋅ 24514 .16 ) ⋅ (s + 28850 .56 − j ⋅ 24514 .16 ) ⋅ (s + 1356481 .75 ) −6 (113) Los polinomios del numerador y el denominador de la función de transferencia (113) presentan valores numéricos muy altos, lo que aparentemente representaría un grave problema al tratar de implementar dicha función de transferencia en una aplicación real. Por esta razón se debe buscar otro controlador con valores numéricos más pequeños. Para reducir la función de transferencia del controlador, a continuación se plantea un nuevo diseño. W1 ( s ) = 3550 s + 3.55 × 10 −3 (114) W2 ( s ) = s + 7539.638 s + 75396.38 (115) Siguiendo un procedimiento igual al anterior, se obtuvieron los siguientes resultados para un nuevo controlador: 93 Planta aumentada P (s ) : 20006.624 0 0 0 - 104.931 - 493.138 0 1049.23 - 68.612 − 2781.772 0 0 ; (116) Bp = Ap = 59.581 - 2.398 0.778 - 59.562 - 0.00355 0 260.493 0 0 0 − 75396.384 0 0 0 59.581 0 0 0 0 − 260.493 C = − 0.0493 − 0.999 0 0 T p 0 1 1 0.01307 y D p = 0 0 Las características que cumple el nuevo controlador son: FIGURA 51.- Parámetros de diseño que cumple el controlador (a) Tzw ∞ K∞(s) del elevador de voltaje < γ ; (b) σ [S ( jw)] ≤ W1−1 ( jw) FIGURA 52.- Parámetros de diseño que cumple el controlador K∞(s) del elevador de voltaje σ [R( jw)] ≤ W2−1( jw) 94 Controlador K ∞ (s ) resultante: K ∞ (s) = (s + 86 .77 + j ⋅ 719 .08 ) ⋅ (s + 86 .77 − j ⋅ 719 .08 ) ⋅ (s + 75396 .38 ) (s + 3.55 × 10 )⋅ (s + 10534 .26 + j ⋅ 16475 .7 ) ⋅ (s + 10534 .26 − j ⋅ 16475 .7 ) ⋅ (s + 35309 .05 ) −3 (117) La función de transferencia de este nuevo controlador contiene valores numéricos menores en comparación con la función de transferencia (113), bajo dichas condiciones, la implementación real de (117) podría llevarse a cabo mediante configuraciones especiales de filtros. Se debe tomar en cuenta que para mantener la cc con este tipo de controlador ante las perturbaciones de voltaje de entrada y corriente de carga, es necesario hacer que el conversor trabaje a frecuencias mucho mayores a f SW ≈ 2.5 por lo cual se selecciona f SW ≈ 12 [KHz] , [KHz] como frecuencia de conmutación. 4.3 CONTROLADOR DIFUSO TS En base a lo señalado en el tutorial 2.3.3, se diseñan en las siguientes páginas dos variantes de un controlador PI difuso partiendo del siguiente controlador PI convencional. GC ( s) = 0.29091 + 75.864 s (118) La ecuación (118) corresponde a un controlador PI para controlar el elevador de voltaje diseñado en el literal 3.1.2 y sus parámetros son: Kp = 0.29091 y Ki = 75.864 4.3.1 CONTROLADOR PI DIFUSO TS En la figuras 53 y 54 se analiza el funcionamiento del controlador (118) trabajando con el elevador de voltaje de la sección 3.1.2 en cc, para determinar los universos de discurso tanto de la señal de error como de la integral del error. 95 FIGURA 53.- Universo de discurso del error de voltaje de salida del elevador, el cual es controlado con un PI [ convencional, eVo ∈ − 1 . 5 20 ] FIGURA 54.- Universo de discurso de la integral del error de voltaje de salida del elevador, controlado con un PI convencional ∫e Vo ∈ [0 0 .0292 ] Para encontrar el algoritmo de control, se usa la ecuación (73) como una analogía del controlador convencional PI ecuación (76), es decir p = Kp ; q = Ki . Por tanto el controlador PI difuso TS resultante, se presenta en las figuras 55, 56 y 57. 96 FIGURA 55.- Estructura TS con variables de entrada y de salida para un controlador PI difuso TS En la figura 55: e representa las funciones de membrecía del error de voltaje, inte las funciones de membrecía de la integral del error de voltaje, PI la base de reglas o condicionales y finalmente iref las ecuaciones TS del controlador para adquirir los valores de salida del controlador. FIGURA 56.- Funciones de membrecía de un controlador PI difuso TS para el elevador de voltaje De la figura 56 se puede notar que las etiquetas para las funciones de membrecía del error son: PBG positivo demasiado grande, PMMG positivo muy muy grande, PMG positivo muy grande, PG positivo grande, P positivo, Z cero. Las etiquetas 97 para las funciones de membrecía de la integral del error son: Pop poco positivo, Zep cero positivo y Zero cero. FIGURA 57: Controlador PI difuso (a) Ecuaciones TS del controlador PI difuso, (b) Base de reglas En la figura 57(a) iref 1 = iref 2 = iref 3 = iref 4 = iref 5 = iref 6 = 0.2909 ⋅ e + 75.86 ⋅ ∫ e La base de reglas que se presenta en la figura 57(b) es la siguiente: Si el error e es PBG entonces la salida del controlador es iref1 Si el error e es PMMG entonces la salida del controlador es iref2 Si el error e es PMG entonces la salida del controlador es iref3 Si el error e es PG entonces la salida del controlador es iref4 Si el error e es P entonces la salida del controlador es iref5 Si el error e es Z entonces la salida del controlador es iref6 4.3.2 CONTROLADOR PI DIFUSO TS MODIFICADO Para diseñar este sistema se utilizan los mismos universos de discurso de las figuras 53 y 54, pero además la base de reglas es una combinación de las ecuaciones (73) y (75). Por lo tanto, el algoritmo de control requiere del control PI 98 convencional (76) y de dos valores constantes que son analogía de la ecuación (75). Las dos constantes son el valor de máxima corriente I Lmáx calculado en la etapa de diseño y un valor intermedio de corriente de inductor establecido entre I L e I Lmáx , inecuación (119). I L ≤ I L' < I Lmáx (119) Donde: I L = 1.32 [ A] , I Lmáx = 2.33 [ A] Por lo tanto se asume el valor intermedio de corriente de inductor como: I L' = 1.45 [ A] El resultado de este controlador es el que aparece en las figuras 58 y 59. FIGURA 58.- Controlador PI difuso modificado (a) Estructura del controlador, (b) Funciones de membrecía La estructura del controlador, los universos de discurso y las funciones de membrecía de la figura 58 son los mismos que los explicados para las figuras 55 y 56. 99 FIGURA 59.- Controlador PI difuso modificado (a) Ecuaciones TS, (b) Base de reglas En la figura 59a las ecuaciones TS para el controlador PI difuso modificado son las siguientes: iref 1 = kte1 = 2.33 iref 2 = iref 3 = iref 4 = 0.2909 ⋅ e + 75.86 ⋅ ∫ e iref 5 = kte1 = 2.33 iref 6 = kte2 = 1.45 La base de reglas que se presenta en la figura 59b es la misma que se detalló para la figura 57b. 100 CAPÍTULO 5 PRUEBAS Y RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES 5.1 SIMULACIONES DEL ELEVADOR SIN PERTURBACIONES En esta parte del trabajo se presentan las simulaciones de los cuatro sistemas de control diseñados, considerando que no existe ninguna clase de perturbación en el sistema del elevador de voltaje. Esto se hace con el objetivo de verificar si los parámetros de funcionamiento mejoraron con los controladores implementados. 5.1.1 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR ESPACIO DE ESTADO Las figuras 60, 61 y 62 indican la correspondiente simulación del elevador con realimentación de estado observado. FIGURA 60.- Elevador de voltaje controlado con realimentación de estado observado En la forma de onda del voltaje de salida (Vload) que aparece en la figura 61, se ve que existe un pequeño transitorio en el intervalo comprendido entre 0 y 0.01 segundos. Esto se debe a que observador de estado tiene condiciones iniciales 101 iguales a cero en el momento en que arranca la simulación, por lo cual una vez que su funcionamiento se estabiliza, desaparece este transitorio y la señal de salida alcanza los 20 voltios. FIGURA 61.- Formas de onda del elevador controlado por espacio de estado FIGURA 62.- Acercamiento a la parte estable de formas de onda de la figura 61 102 La forma de onda de corriente de inductor iL de la figura 62 muestra una señal triangular, cuyo máximo llega a dos amperios, por lo cual este tipo de control además de mantener la conducción continua (cc), permite que la corriente de inductor no supere el valor máximo de diseño. FIGURA 63.- Formas de onda a la salida del observador de estado: Vo estimado e iL estimada FIGURA 64.- Acercamiento en la parte estable de las formas de onda de la figura 53 FIGURA 65.- Formas de onda estimadas y reales de voltaje Vo, corriente iL: (a) verde = Vo estimado, azul = Vo real; (b) verde = iL estimada, azul = iL real 103 En las figuras 63, 64 y 65, se verifica que el observador de estado funciona bien, porque el Vload estimado sigue al Vload real y sólo hay un mínimo error en la estimación de iL (offset de iL). El offset se debe a que en este sistema de control, se consideró otra variable de estado (voltaje de capacitor estimado) para cumplir con la teoría de Ogata donde además de realimentar la variable de salida, se realimentan dos variables de estado estimadas (figura 7). 5.1.2 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR UN SISTEMA H∞ FIGURA 66.- Elevador de voltaje controlado por un sistema H∞ FIGURA 67.- Formas de onda del elevador controlado por un sistema H∞ 104 FIGURA 68.- Acercamiento a la parte estable de las formas de onda de la figura 67 En la figura 67 se observa un transitorio satisfactorio en la señal de voltaje de salida comparado con el comportamiento del sistema que emplea sólo control PWM, en el que existe un sobrepico de 15 voltios (figura 41). En cuanto al tiempo de establecimiento t S , éste se encuentra alrededor de 20 milisegundos siendo menor que el de espacio de estado que es aproximadamente 25 milisegundos, pero mayor al del sistema que tiene sólo PWM. La simulación para el diseño se vuelve más lenta. El sistema de control simulado en las figuras 66 a 68, mejora las características tanto de estado estable como transitoria (excepto el t S ), disminuye el pico máximo de la corriente del inductor haciendo que éste llegue sólo a 1.71 amperios y también conserva la cc. 105 5.1.3 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR PI DIFUSO TS FIGURA 69.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS FIGURA 70.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS En la figura 70, la parte transitoria de la forma de onda del voltaje de salida todavía exhibe un sobrepico, y el tiempo de estabilización es mayor que en el caso en el que el conversor utiliza sólo control PWM. 106 FIGURA 71.- Acercamiento a la parte estable de las formas de onda de la figura 70 De la figura 71, se puede apreciar que en la forma de onda de voltaje de salida, su rizado se incrementó. También en esta figura se puede notar que la corriente del inductor creció y su amplitud está cercana a los 3 amperios, y aunque aún se encuentra en cc, ya está cercana al límite entre la cc y la cd (conducción discontinua). 5.1.4 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR UN PI DIFUSO TS MODIFICADO FIGURA 72.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado 107 FIGURA 73.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado FIGURA 74.- Acercamiento a la parte estable de las formas de onda de la figura 73 108 La forma de onda de voltaje de salida de la figura 73 presenta su parte transistoria mejorada completamente, ya que no existe ningún sobrepico y el tiempo de establecimiento t S se redujo aproximándose a 16 milisegundos. La figura 74 en cambio indica una forma de onda de voltaje con rizado menor al caso del controlador PI difuso TS (figura 71). La corriente de inductor sigue manteniendo su amplitud cercana a los 3 amperios, pero sube hacia la cc. 5.1.5 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON LAS SIMULACIONES DE LOS CUATRO CONTROLADORES La Tabla №1 presenta un cuadro comparativo del desempeño de los controladores diseñados para el elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20 [V]. En esta tabla, un visto en el casillero correspondiente a cc representa que el conversor se encuentra operando en conducción continua para ese tipo de controlador, por consiguiente los tres guiones en el casillero de cd significan que no está trabajando en conducción discontinua. Tabla №1 Sistema de control implementado en el elevador de voltaje Características del controlador implementado Mp ts cc cd ∆VO / VO [%] [ms] 78.491 13 2.023 --- --- 25 0.86 --- H∞ + PWM --- 20 0.395 --- PI Difuso TS + PWM 7.516 20 2.45 --- PI Difuso TS Modificado + PWM 0 16 2.35 --- Sólo PWM Espacio de Estado + PWM [%] En la columna correspondiente a Mp, tanto para espacio de estado y H∞ los tres guiones significan que no existe Mp pero existe un pequeño transitorio. Los valores de la tabla anterior, identifican al controlador PI difuso TS modificado como el más indicado a la hora de satisfacer condiciones de estado transitorio. 109 5.2 SIMULACIONES DEL ELEVADOR CON PERTURBACIÓN EN EL VOLTAJE DE ENTRADA La perturbación en el voltaje de entrada consiste en reducir o incrementar el voltaje de la fuente de alimentación en un determinado porcentaje, de acuerdo a la capacidad para estabilizar el sistema, que tenga el controlador asignado. Los porcentajes de voltaje de entrada Vin que se añaden o restan de la fuente, se colocan a los 31 milisegundos y a los 75 milisegundos de iniciada la simulación para los cuatro sistemas de control que son motivo de análisis de éste trabajo. 5.2.1 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR ESPACIO DE ESTADO De las pruebas efectuadas, se comprobó que este controlador soporta ±20% de variaciones en el Vin. Si este porcentaje se incrementa, dejan de funcionar simultáneamente el controlador y el sistema elevador. FIGURA 75.- Elevador controlado con realimentación de estado observado, sometido a perturbaciones de ±20% en el Vin 110 FIGURA 76.- Formas de onda del elevador controlado por espacio de estado sometido a perturbaciones de ±20% en el Vin FIGURA 77.- Formas de onda estimadas y reales de voltaje Vo, corriente iL cuando el elevador es sometido a perturbaciones en el voltaje Vin: (a) verde = Vo estimado, azul = Vo real (b) verde = iL estimada, azul = iL real; El controlador de espacio de estado soporta perfectamente las variaciones de voltaje de entrada, esto se indica en la señal de voltaje de salida V load de la figura 76. La corriente iL alcanza como máximo 3 amperios en estas condiciones, como se puede ver en la figura 76. 111 5.2.2 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON UN SISTEMA H∞ Este controlador soporta ±15% de variaciones en el Vin. Si este porcentaje se incrementa, dejan de funcionar simultáneamente el control y el sistema elevador. FIGURA 78.- Elevador de voltaje controlado por un sistema H ∞ sometido a perturbaciones de ±15% en el Vin FIGURA 79.- Formas de onda del elevador controlado por un sistema H ∞ sometido a perturbaciones de ±15% en el Vin La forma de onda de V load en la figura 79 indica que el controlador responde bien a las perturbaciones sometidas. La corriente iL sube aproximadamente a 3.5 amperios. 112 5.2.3 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON PI DIFUSO TS En este controlador se utilizó perturbaciones de -15% del Vin y +10% del Vin en la fuente de alimentación. A continuación se analizan sus resultados. FIGURA 80.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS sometido a perturbaciones de -15% y +10% en el Vin FIGURA 81.- Formas de onda del elevador con control PI difuso TS sometido a perturbaciones de -15% y +10% en el Vin El control PI difuso TS, no soportó perturbaciones de porcentaje positivo en Vin, sólo las de tipo negativo hasta un -15%. En la forma de onda de voltaje de salida V load de la figura 81, se puede notar que el control PI difuso aparentemente logra estabilizar al sistema elevador, ante las perturbaciones de -15% y +10%, 113 pero no es del todo cierta esta afirmación, ya que si se hace un acercamiento en la forma de onda de corriente iL (figura 82), se verifica que iL toma valores negativos porque pasa de la cc a la cd en el intervalo de tiempo en el cual el controlador se encuentra estabilizando el sistema en presencia de la perturbación de +10%. FIGURA 82.- Forma de onda de iL cuando el control PI difuso se encuentra estabilizando el sistema, en presencia de la perturbación de +10% en el voltaje de entrada Vin 5.2.4 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON PI DIFUSO TS MODIFICADO En este controlador se trabajó con las mismas perturbaciones del literal 5.2.3. FIGURA 83.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado sometido a perturbaciones de -15% y +10% en el voltaje de entrada Vin 114 FIGURA 84.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado sometido a perturbaciones de -15% y +10% en el voltaje de entrada Vin Como se nota en la figura 84, la forma de onda de voltaje de salida V load cae a un valor menor a 20 voltios, y nunca vuelve a subir una vez que ha ingresado la perturbación de -15% de Vin, esto ocurre a partir de los 31 milisegundos. De la misma manera cuando ingresa la perturbación de +10% de Vin la señal no regresa a su estado estable, pero esta vez sube a un valor mayor a 20 voltios, esto sucede a partir de los 75 milisegundos. Aunque el controlador PI difuso modificado, no estabiliza al sistema en presencia de perturbaciones del Vin, al analizar la corriente iL se puede notar que la misma se mantuvo todo el tiempo en cc. Esto se verifica fácilmente cuando se hace un acercamiento a la forma de onda de iL, en el intervalo de tiempo donde mayor caída de corriente existe es decir, cuando está presente la perturbación de +10% de Vin (figura 85). 115 FIGURA 85 .- Forma de onda de iL durante la presencia de la perturbación de +10% en el voltaje de entrada Vin 5.2.5 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON LAS SIMULACIONES DE LOS CUATRO CONTROLADORES En la tabla №2, se tiene un análisis que compara las respuestas de los controladores diseñados ante la presencia de perturbaciones en el voltaje de entrada. Un visto indica que el controlador responde bien y tres guiones quieren decir que no hace nada ante las perturbaciones. Esta tabla no contiene el análisis para el caso en el que sólo se usa control PWM con realimentaciones de Vo e iL porque este tipo de control no responde a ningún tipo de perturbación. Tabla № 2 Comportamiento con incremento de fuente Sistema de Máximo % de Respuesta Control Vin sumado a del Implementado la fuente Comportamiento con reducción de fuente Máximo % de c.c. c.d. controlador Respuesta Vin restado del de la fuente controlador c.c. c.d. Espacio de Estado + +20 Si No -20 Si No +15 Si No -15 Si No +10 No Si -15 Si No +10 --- Si No -15 --- No Si PWM H∞ + PWM PI Difuso TS + PWM PI Difuso TS Modificado + PWM 116 De la tabla №2 se puede concluir que para perturbaciones en el voltaje de la fuente, tanto el control por espacio de estado como el de H∞ presentan buenos resultados ya que además de estabilizar el sistema a su respectivo voltaje de salida, mantienen la cc. Pero se debe señalar que la simulación del H∞ es la más lenta de todos casos estudiados. 5.3 SIMULACIONES DEL ELEVADOR CON PERTURBACIÓN EN LA CORRIENTE DE CARGA Para perturbar la corriente de carga (iLoad), se baja o se sube el valor de la resistencia de carga, de acuerdo al porcentaje que se quiera aumentar o disminuir a la corriente de carga. Para los cuatro sistemas de control, el incremento y disminución de la resistencia de carga se colocan a los 31 milisegundos y a los 75 milisegundos respectivamente, contados a partir del inicio de la simulación. 5.3.1 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO POR ESPACIO DE ESTADO Para este caso de estudio primero se va a restar de la corriente de carga (iLoad) -30%, lo que equivale a incrementar la resistencia de carga hasta el valor de 44.285 ohmios siguiendo la ley de Ohm, desde el tiempo t = 31 mseg . Después se sumará a dicha corriente +30%, lo que significa bajar la resistencia de carga hasta 23.846 ohmios, desde t = 75 mseg . FIGURA 86.- Elevador de voltaje controlado con espacio de estado sometido a perturbaciones de ±30% en la iLoad 117 FIGURA 87.- Formas de onda del elevador controlado por espacio de estado y sometido a perturbaciones de ±30% en la corriente de carga. En la forma de onda de voltaje de salida V load los círculos rojos indican el efecto de las perturbaciones: -30% de iLoad y +30% de iLoad FIGURA 88.- Formas de onda estimadas y reales de voltaje Vo, corriente iL cuando el elevador es sometido a perturbaciones de -30% de iLoad y +30% de iLoad: (a) verde = Vo estimado, azul = Vo real; (b) verde = iL estimada, azul = iL real. Los círculos rojos indican donde se producen las perturbaciones para la señal del voltaje de salida. Este controlador máximo soporta ±30% de variación en la corriente de carga. Los círculos rojos de la señal de voltaje de salida V load (figura 87), muestran como las variaciones de carga afectan de forma casi imperceptible al voltaje de salida y lo mismo ocurre en la señal de voltaje estimado de salida (figura 88). La señal iL no pasa de los 3 amperios pero su rizado es cercano a 1 amperio. 118 5.3.2 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON UN SISTEMA H∞ Para este controlador se utilizaron las mismas condiciones de perturbación de corriente de carga del caso con realimentación de estado observado literal 5.3.1. FIGURA 89.- Elevador de voltaje controlado por un sistema H ∞ sometido a perturbaciones de ±30% en la corriente de la carga FIGURA 90.- Formas de onda del elevador controlado por un sistema de ±30% en la corriente de carga iLoad. H ∞ sometido a perturbaciones 119 Al probar este controlador con las mismas perturbaciones de corriente de carga del caso anterior, se observa en la figura 90, que los efectos en la señal de voltaje de salida son ligeramente más notables que los del controlador por realimentación de estado observado, pero el controlador H ∞ también consigue que el voltaje de salida se estabilice y siga la referencia de 20 voltios. Se debe resaltar el hecho de que la corriente iL tampoco pasa de los 3 amperios pero su rizado es mucho más bajo que el de realimentación de estado observado, pero tanto en el un caso como en el otro, se mantiene la conducción continua cc. 5.3.3 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON PI DIFUSO TS Para el controlador PI difuso TS se utilizaron las siguientes cargas resistivas: una de 34.831 ohmios, que representa disminuir la corriente de carga iLoad en -11% y una de 23.846 ohmios que significa subir iLoad en +30% de su valor nominal. FIGURA 91.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS sometido a perturbaciones de -11% y +30% en la iLoad El control PI difuso TS, no pudo estabilizar el sistema completamente porque aunque el voltaje de salida regresa al valor de referencia (forma de onda de voltaje de salida V load figura 92), la señal de corriente pasó de la cc a la cd cuando se aplicó la perturbación de -11% de la corriente de carga iLoad. Por tanto el controlador sólo puede estabilizar completamente el sistema elevador para perturbaciones de máximo +30% de iLoad, pero no funciona para porcentajes negativos. 120 FIGURA 92.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS sometido a perturbaciones de -11% y +30% en la corriente de la carga FIGURA 93.- Forma de onda de iL cuando el control PI difuso se encuentra estabilizando el sistema, en presencia de la perturbación de -11% en la corriente de la carga iLoad En la figura 93 se puede ver como la iL toma valores negativos en el intervalo de tiempo donde se está aplicando -11% de iLoad. 121 5.3.4 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO CON PI DIFUSO TS MODIFICADO Esta simulación se efectuó con las mismas condiciones de perturbación del caso anterior literal 5.3.3. FIGURA 94.- Elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado con perturbaciones de -11% y +30% en la iLoad FIGURA 95.- Formas de onda del elevador de voltaje con control PI difuso TS modificado sometido a perturbaciones de –11% y +30% de iLoad 122 La forma de onda de voltaje de salida V load sube a un valor mayor a 20 voltios, y nunca vuelve al valor de referencia de 20 voltios mientras dura la perturbación de -11% de iLoad, esto ocurre a partir de los 31 milisegundos. Cuando se produce la perturbación de +30% de iLoad, la señal de voltaje se mantiene por debajo de los 20 voltios, esto sucede a partir de los 75 milisegundos. FIGURA 96 .- Forma de onda de la corriente del inductor iL durante la presencia de la perturbación de la perturbación de -11% en la corriente de la carga iLoad Por las razones antes expuestas, el PI difuso modificado no es apto para estabilizar al sistema en presencia de perturbaciones de corriente de carga. Pero en comparación con el controlador PI difuso TS, éste sí mantiene la cc para las perturbaciones antes mencionadas ya que durante la caída de iLoad de -11%, la corriente de inductor iL nunca tomó valores negativos (figura 96). 5.3.5 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON LAS SIMULACIONES DE LOS CUATRO CONTROLADORES La tabla №3 contiene en resumen los comportamientos de los cuatro controladores ante la presencia de perturbaciones en la corriente de carga iLoad, pero no se analiza el caso en el que sólo se utiliza control PWM con realimentaciones de Vo e iL porque este sistema de control trabaja pero no responde en absoluto a perturbaciones en la carga. 123 Tabla № 3 Comportamiento con incremento de iLoad Sistema de Máximo % de Respuesta Control iLoad sumado del Implementado a la carga c.c. c.d. controlador Comportamiento con reducción de iLoad Máximo % de Respuesta iLoad restado del de la carga c.c. c.d. controlador Espacio de Estado + +30 Si No -30 Si No +30 Si No -30 Si No +30 Si No -11 No Si +30 --- Si No -11 --- No Si PWM H∞ + PWM PI Difuso TS + PWM PI Difuso TS Modificado + PWM Se puede concluir de la tabla №3 que los mejores sistemas de control para perturbaciones de corriente de carga, son el de espacio de estado y el H ∞ ya que al mismo tiempo que mantienen la operación en cc, recuperan el seguimiento de la señal de consigna por parte del voltaje de salida. Pero se debe tomar en cuenta que también en este caso la simulación H ∞ es la más lenta. 124 CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 6.1 CONCLUSIONES Los procedimientos para la sintonización de controladores diseñados por espacio de estado y control difuso, fueron los que mayor tiempo y paciencia demandaron. En cuanto a la complejidad del diseño de los controladores con estas tres técnicas, contrariamente a lo que se pueda pensar por la matemática que utiliza la técnica de control robusto H infinito H ∞ , ésta fue la más versátil para el desarrollo del respectivo controlador. La lentitud en la simulación del controlador H ∞ se debe a que con este sistema, el control PWM se encuentra trabajando a alta frecuencia de aproximadamente f SW ≈ 12 [KHz] . La frecuencia mencionada hace que el funcionamiento de Simulink se vuelva más lento en el momento en que realiza las operaciones matemáticas para la función de transferencia de control. Controlar el sistema elevador de voltaje de este trabajo de titulación en presencia de perturbaciones, tuvo mejores resultados cuando se empleó la técnica de espacio de estado, en comparación con las otras dos técnicas ya que además de proporcionar una simulación rápida, se consiguió características de robustez excelentes. En el controlador proporcional integral PI difuso Takagi Sugeno TS, las características de robustez ya no serían válidas ya que como se pudo ver en las 125 tablas 2 y 3, hay ciertas perturbaciones para las cuales consigue estabilizar el voltaje de salida pero a costa de pasar de la conducción continua cc a la conducción discontinua cd. Sin embargo no se puede generalizar la falta de robustez para todos los controladores PI difusos TS, ya que éste es sólo un caso específico debido a que el algoritmo de control utilizado demostró no ser el más indicado para este tipo de planta, por las no linealidades existentes en la misma. Cuando no existían perturbaciones en el sistema, el controlador PI difuso TS modificado, generó características de funcionamiento muy buenas en el elevador de voltaje ya que se obtuvieron parámetros de estado transitorio muy satisfactorios y también se logró reducir a un nivel aceptable los de estado estable. Las acciones de mejoramiento que realizó el PI difuso TS modificado cuando no existieron perturbaciones son: eliminación del máximo sobreimpulso Mp (lo cual no se consiguió con ninguna de las otras dos técnicas), disminuyó el tiempo de establecimiento t S significativamente. En cuanto a la relación rizado a voltaje de salida se puede decir que no la redujo en niveles considerables pero si aceptables. El controlador con mejor relación rizado a voltaje de salida, indudablemente fue el H ∞ , y además tuvo una respuesta muy satisfactoria a las perturbaciones ya que mantuvo la cc mientras estabilizaba el voltaje de salida. Su único problema es que la simulación se vuelve más lenta comparada a la de los otros dos sistemas de control. Las perturbaciones empleadas en el capítulo 5, fueron los límites máximos a los que se podía someter a esos controladores, ya que los mismos fueron diseñados en base al modelo a variables de estado del elevador de voltaje, y para encontrar éste, se hicieron algunas aproximaciones como eliminación de no linealidades y elementos de segundo orden, por lo cual las perturbaciones no se pueden alejar 126 demasiado de las condiciones normales de funcionamiento, ya que todo el sistema (controlador más planta) pueden dejar de funcionar. Se revaloriza el diseño de espacio de estado, ya que además de presentar características de robustez ante las perturbaciones, utiliza estimación de la corriente de inductor en lugar del sensado de la corriente real. 6.2 RECOMENDACIONES Para mejorar la robustez del controlador PI difuso TS se sugiere cambiar completamente el algoritmo PI difuso TS, recurriendo al algoritmo discreto de un controlador PI difuso con su equivalente ecuación de diferencias, lo cual podría constituir un proyecto diferente. Para futuros proyectos se podría estudiar las mismas tres técnicas de control avanzado pero aplicadas en condiciones de cd y con cargas resistiva inductiva RL, resistiva inductiva con fuente de voltaje R-L-E. Para hacer más rápida la simulación con control H ∞ , se puede bajar la frecuencia de conmutación pero esto implica que suba el tiempo de establecimiento y que además se pierda la cc en presencia de perturbaciones cuando se baja a valores cercanos a f SW ≈ 2.5 [KHz] . 127 BIBLIOGRAFÍA [1] OGATA KATSUHIKO, “Ingeniería de Control Moderna”, Prentice-Hall 3a. ed. Universidad de Minessota, U.S.A. 1998, páginas 823-891 [2] DORF RICHARD C., BISHOP H., “Sistemas de Control Moderno”, Person Educación 10a. ed. 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U.S.A. 2006 [8] RUBIO FRANCISCO., “Control Engineering Applications”, Universidad de Sevilla, España 1997 [9] CÁMARA J., CASTAÑO F., ORTEGA M., RUBIO F., “Controlador Mediante Sensibilidad Mixta S/KS/T aplicado a una Planta Piloto”, Universidad de Sevilla, España, páginas 1-7 [10] VIDAL ENRIC, “Aportación de la Lógica Borrosa y del Control H∞ a la Regulación de Sistemas Conmutados Continua Continua”, Universidad Politécnica de Cataluña, España 2001, páginas 62-88 128 [11] SHAHIAN B., HASSUL M., “Control System Design Using Matlab”, Prentice Hall 1993 U.S.A., páginas 395-409, 421-433 [12] ORTEGA M., RUBIO F., “Síntesis de Controladores H∞ Lineales”, Universidad de Sevilla, España. [13] CLAVIJO ROBINSON., “Controlador Difuso Aplicado a Conversores DCDC”, 2001 E.P.N., Quito Ecuador 2001. [14] THE MATHWORKS INC., “Fuzzy Logic Toolbox For Use with Matlab”, The Mathworks Inc. U.S.A. 1995 [15] MIDDLEBROCK R., CUK S., “A General Unifed Approach to Modelling Switching Converters Stages”, IEEE PESC Record 1976, páginas 73-86. ANEXOS I ANEXO A MANUAL DE USUARIO A.1 MANUAL DE USO DE PROGRAMAS Y SIMULACIONES Este manual indica cómo utilizar los programas que fueron diseñados para los sistemas de control del elevador de voltaje. Además se explica como simular el elevador con estos controladores. Se requiere Matlab 7.4 o versiones superiores. A.1.1 ELEVADOR DE VOLTAJE CONTROLADO ÚNICAMENTE POR PWM Elevador de voltaje controlado únicamente por PWM, se refiere al que se diseñó y simuló en el capítulo tres, que sólo tiene control PWM y realimentaciones de voltaje de salida V load y de corriente de inductor iL. Para simular este caso, se debe abrir con el Matlab desde el disco Mi Tesis el archivo llamado “Elevador10a20.mdl”, que se encuentra en la carpeta Elevador sólo Control PWM como se muestra en las figuras A1 y A2. FIGURA A1.- Ubicación de la carpeta Elevador sólo Control PWM en el disco Mi tesis II FIGURA A2.- Ubicación del archivo Elevador10a20.mdl en la carpeta Elevador sólo Control PWM El archivo abierto aparecerá como en la figura A3, donde se procede a presionar el botón de play de la parte superior del menú para comenzar la simulación. FIGURA A3.- Simulación del elevador de voltaje dc/dc de 10 a 20 [V] trabajando sólo con control PWM y con realimentaciones de voltaje de salida V load y de corriente de inductor iL A.1.2 ELEVADOR DE VOLTAJE CON ESPACIO DE ESTADO A.1.2.1 Manejo del Programa para Calcular las Matrices de Ganancias de Estado Las siguientes indicaciones sirven para el cálculo de las matrices de ganancias tanto de realimentación de estado como de observador de estado del literal 4.1. III Abrir con Matlab desde el disco Mi Tesis el programa que se llama “ElevadorEEProgram.m”, que se encuentra en la carpeta Elevador Espacio de Estado y abrir el programa TutoEspacioProgram.m como se indica en la figura A4. FIGURA A4.- Ubicación del programa de diseño de matrices de ganancias para el controlador de espacio de estado Una vez que esté abierto el programa (figura A5), presionar la tecla F5 para hacerlo correr. Cuando se corre por primera vez cualquier programa “.m” en Matlab, aparece el mensaje que se indica en la figura A6, al que se le debe dar click en la opción change directory. FIGURA A5.- Listado del programa ElevadorEEProgram.m para cálculo de las matrices de ganancias de estado IV FIGURA A6.- Mensaje que aparece en la pantalla cuando se corre por primera vez cualquier programa “.m” en Matlab A continuación en el workspace del Matlab se pide el ingreso de los polos deseados para el cálculo de la matriz de ganancias de realimentación de estado (figura A7). FIGURA A7.- Ingreso de polos deseados programa ElevadorEEProgram.m Siendo los polos deseados: µ 1 = −291.176 , µ 2 = −1175.917 y µ 3 = −52612.985 Siguiendo la explicación de la figura A7 en donde se encuentra el cursor, los polos deseados deben digitarse respetando los ceros y signos de punto y coma. Re = [µ1 0 0;0 µ2 0;0 0 µ3] : [-291.176 0 0;0 -1175.917 0;0 0 -52612.985] V Al dar un enter al final de la línea anterior, el programa entrega las constantes de realimentación de estado (figura A8). Pero también se pide nuevamente el ingreso de polos deseados para que esta parte del programa calcule las constantes de realimentación pero ahora usando el método alternativo mediante el toolbox de control system. FIGURA A8.- Parte superior: Constantes k1, k2 y kI de realimentación de estado, calculadas con subrutinas de Matlab. Parte inferior: Ingreso de polos deseados para cálculo de constantes de realimentación de estado con método alternativo con el Toolbox de Control System Los polos deseados se ingresan como indica la figura A8, respetando los espacios entre polos, pero sin añadir ceros: R = [µ1 µ2 µ3]: [-291.176 -1175.917 -52612.985] Las constantes de realimentación de estado se obtienen al dar un enter al final de esta línea (figura A9). En la parte inferior de esta figura, hay un mensaje que pide presionar cualquier tecla para continuar ya que ahora el programa tendrá que calcular la matriz de ganancias del observador de estado (figura A10) utilizando subrutinas de Matlab en base a uno de los métodos teóricos. VI FIGURA A9.- Constantes k1, k2 y kI, calculadas mediante método alternativo usando el Toolbox de Control System FIGURA A10.- Ingreso de polos deseados para calcular la matriz de ganancias de observador de estado mediante subrutinas de Matlab, aplicando uno de los métodos teóricos VII Los polos deseados deben ser ingresados siguiendo la instrucción que se encuentra antes del cursor en la figura A10. Polos deseados para observador de estado: µ 4 = −9800 ; µ 5 = −9800 Oe = [µ4 0;0 µ5] : [-9800 0;0 -9800] Con el enter al final de la línea de Oe, se calcula la matriz de ganancias de observador de estado indicada en la parte superior de la figura A8, y en la parte inferior de esta figura, el programa pide nuevamente los polos deseados para calcular la anterior matriz de ganancias pero por el método alternativo. FIGURA A11.- Parte superior: Matriz de ganancias de observador de estado Ke, calculadas con subrutinas de Matlab. Parte inferior: Ingreso de polos deseados para cálculo de Ke con el método alternativo usando el Toolbox de Control System Los polos deseados se ingresan como indica la última línea de programa de la figura A11: Obs = [µ4 µ5]: [-9800 -9800] VIII Al presionar enter, la matriz de ganancias de observador de estado queda definida como en la figura A12. FIGURA A12.- Matriz Ke calculada por método alternativo utilizando Toolbox de Control System A.1.2.2 Simulación del Elevador controlado por Espacio de Estado Para efectuar la simulación del elevador controlado por espacio de estado, se debe abrir nuevamente desde el Matlab la carpeta Elevador Espacio de Estado, pero esta vez se selecciona el archivo ElevadorEE.mdl que se indica en la figura A4. En la nueva ventana de trabajo que contiene el elevador de voltaje controlado por espacio de estado (figura A13), se procede a presionar el botón de play y la simulación habrá comenzado. IX FIGURA A13.- Indicaciones para simular el elevador de voltaje controlado por espacio de estado Para las simulaciones de las perturbaciones, se debe abrir el archivo ElevadorEEVje.mdl para perturbaciones de voltaje de entrada ó el archivo ElevadorEEIte.mdl para perturbaciones en la corriente de carga, que se encuentran en la misma carpeta antes mencionada. A.1.3 ELEVADOR DE VOLTAJE CON CONTROL ROBUSTO H∞ A.1.3.1 Manejo del Programa de Diseño del Controlador H∞ Para el diseño del controlador del literal 4.2, en primer lugar se debe abrir el programa ElevadorHinfProgram.m de la carpeta Elevador Control Hinf, como se indica en la figura A14. El programa abierto se presenta en la figura A15. X FIGURA A14.- Ubicación del programa de diseño del controlador H∞ Figura A15.- Listado del programa ElevadorHinfProgram.m para diseño del controlador H∞ Para que corra el programa se presiona la tecla F5, si es la primera vez, dar click en change directory como en el caso de espacio de estado. Al hacer correr el programa, van a aparecer tres figuras; primero Tzw , en segundo lugar las curvas σ [S ( jw)] , W1−1( jw) y en tercer lugar σ [T ( jw)] , W2−1 ( jw) (figuras A16, A17, A18, respectivamente). XI Figura A16.- Primera curva de diseño Tzw Figura A17.- Segundas curvas de diseño Figura A18.- Segundas curvas de diseño σ[S( jw)] , W1−1( jw) σ[T( jw)] , W2−1( jw) Para pasar tanto de la figura A16 a la A17 como de la A17 a la A18 se puede presionar enter. Cuando se pasa de la A16 a la A17, en el Workspace ya se tiene el numerador y el denominador del controlador H∞ que satisface las características de todas las curvas figura A19. Figura A19.- Numerador y denominador del controlador H∞ que satisface a las curvas de las figuras A16, A17 y A18 XII A.1.3.2 Simulación del Elevador controlado por H∞ Para efectuar la simulación del elevador con sistema de control H∞, se debe abrir con el Matlab el archivo ElevadorHinf.mdl que se encuentra en segundo lugar en la carpeta Elevador Control Hinf que aparece en la figura A14. Se debe asegurar que en el menú simulation se encuentre seleccionada la configuración de parámetros ode45. Para arrancar la simulación presionar el botón de play que se muestra en la figura A20. Cuando aparece un mensaje solicitando cambiar la configuración de parámetros a ode23t, sólo se debe dar click en OK y no se realiza ningún cambio. Figura A20.- Indicaciones para arrancar la simulación del elevador de voltaje con control H∞ Para simular las perturbaciones, se debe abrir el archivo ElevadorHinfVje.mdl para perturbaciones de voltaje de entrada ó el archivo ElevadorHinfIte.mdl para perturbaciones en la corriente de carga. Ambos archivos están en la carpeta Elevador Control Hinf. XIII A.1.4 ELEVADOR DE VOLTAJE CON CONTROL PI FUZZY TS A.1.4.1 Manejo del Programa de Diseño del controlador PI fuzzy TS Para simular este controlador se requiere copiar el programa PI.fis desde el disco Mi Tesis hacia la carpeta Matlab, la cual se encuentra en Mis documentos en el computador en el que se vaya a efectuar la simulación. El programa PI.fis es el programa de control PI fuzzy TS y se encuentra en la carpeta Elevador PI Fuzzy del disco Mi Tesis (figura A21). FIGURA A21.- Ubicación del programa de control PI Fuzzy TS A continuación, se ejecuta el Matlab y en el Workspace se digita el comando fuzzy PI para abrir el programa del controlador (figura A22). Figura A22.- Indicaciones para manejar el programa del controlador PI Fuzzy TS XIV Para dejar listo el programa del controlador PI Fuzzy TS para la simulación, se debe abrir en la ventana que indica la figura A22, la opción Export To Workspace… y en el mensaje siguiente hacer un click en OK (figura A23). Figura A23.- Mensaje para exportar el programa del controlador hacia el Workspace A.1.4.2 Simulación del Elevador controlado por PI fuzzy TS Abrir con el Matlab el archivo ElevadorPIF.mdl que también se encuentra en la carpeta Elevador PI fuzzy que se muestra en la figura A21. Verificar que en el diagrama circuital (archivo ElevadorPIF.mdl), se haga el llamado al programa de control PI.fis. Para esto se da doble click en el bloque correspondiente al controlador PI fuzzy TS, como se presenta en la figura A24 hasta que se abra el mensaje de la figura A25, en esta nueva ventana debe aparecer el nombre PI, o en caso contrario debe ser digitado Figura A24.- Indicaciones para hacer el llamado al programa de control desde el diagrama circuital XV Figura A25.- Indicaciones para hacer el llamado al programa de control desde el diagrama circuital Para dar inicio a la simulación presionar el botón de play (figura A24). Si aparece un mensaje solicitando cambiar la configuración de parámetros a ode23t o cualquier otro ode, sólo se debe dar click en OK y no se realiza ningún cambio. Para simular las perturbaciones, se abre el archivo ElevadorPIFVje.mdl para perturbaciones de voltaje de entrada ó el archivo ElevadorPIFIte.mdl para perturbaciones en la corriente de carga y se llevan a cabo los mismos pasos anteriores. Los archivos para simular las perturbaciones se encuentran en la misma carpeta señalada en la figura A21. A.1.5 ELEVADOR DE VOLTAJE CON CONTROL PI FUZZY TS MODIFICADO Tanto para el manejo del programa como la simulación de este controlador, se utilizan los mismos pasos del literal A.1.4, con la única diferencia que en lugar de copiar el programa PI.fis, se copia el programa PI2.fis que se encuentra en la carpeta Elevador PI Fuzzy (figura A21). Los archivos para simulaciones (diagramas circuitales) son los mismos que los del literal A.1.4, lo único que cambia es el llamado al programa de control ya que ahora se debe llamar a PI2 en lugar de PI.