OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE INSTITUCION SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 : ---------------------------------------------------------- Pregunta No. 1 Se dice que existió un rey que tenía la costumbre de dar la libertad a uno de sus prisioneros el día de su cumpleaños. Para ello sometía a varios prisioneros a una prueba, y el primero que la superaba quedaba libre. En cierta ocasión, propuso una prueba de razonamiento lógico a tres condenados, con la promesa de que daría la libertad al primero que diera la respuesta correcta. El rey pasó a los tres condenados, A, B y C, a una habitación oscura en la que había tres sombreros blancos y dos negros. Les puso a cada uno un sombrero y les sacó a la luz, donde cada uno podía ver el sombrero de los demás, pero no el suyo. A continuación preguntó al prisionero A si sabía el color de su sombrero. El prisionero contestó que no podía saberlo. Luego hizo la misma pregunta al condenado B. Después de mirar los sombreros de sus compañeros y reflexionar un poco, contestó que no sabía. Finalmente, formuló la pregunta al prisionero C, que era ciego, el cual contestó: No me hace falta ver, mi sombrero es blanco. Comprobado por todos su acierto, el rey le dejó en libertad. ¿Cómo pudo llegar C a la conclusión? Pregunta No. 2 CITYVILLE utiliza como moneda, únicamente, billetes de 7 y 17 dólares. a) ¿Puedes comprar un libro de 5 dólares y que te devuelvan el cambio exacto? b) ¿Y una revista de 11 dólares? c) ¿Y unos terrenos de 98.769.876 dólares? Pregunta No. 3 El primer dígito de un número de seis cifras es el 1. Si se mueve el 1 al otro extremo, el nuevo número es tres veces mayor que el primero. ¿Cuál es el número original? OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SOLUCION SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 1 NOTA : 8-9 Pregunta No. 1 Se dice que existió un rey que tenía la costumbre de dar la libertad a uno de sus prisioneros el día de su cumpleaños. Para ello sometía a varios prisioneros a una prueba, y el primero que la superaba quedaba libre. En cierta ocasión, propuso una prueba de razonamiento lógico a tres condenados, con la promesa de que daría la libertad al primero que diera la respuesta correcta. El rey pasó a los tres condenados, A, B y C, a una habitación oscura en la que había tres sombreros blancos y dos negros. Les puso a cada uno un sombrero y les sacó a la luz, donde cada uno podía ver el sombrero de los demás, pero no el suyo. A continuación preguntó al prisionero A si sabía el color de su sombrero. El prisionero contestó que no podía saberlo. Luego hizo la misma pregunta al condenado B. Después de mirar los sombreros de sus compañeros y reflexionar un poco, contestó que no sabía. Finalmente, formuló la pregunta al prisionero C, que era ciego, el cual contestó: No me hace falta ver, mi sombrero es blanco. Comprobado por todos su acierto, el rey le dejó en libertad. ¿Cómo pudo llegar C a la conclusión? Solución B y C no pueden llevarlo ambos negro, pues A sabría que el suyo es blanco. Luego B y C llevan ambos sombrero blanco o uno negro y otro blanco. Por la misma razón A y C no pueden llevarlo ambos negros, pues B sabría que el suyo es blanco. El caso (1) no puede darse, pues A no puede saber el color de su sombrero, pero B sí, pues si B lo tuviese negro, A sabría su color (B sabe que que A no puede adivinar su color), luego B sabría que el suyo es blanco. En los cuatro casos restantes C tiene el sombrero blanco, luego C puede acertar siempre. Por tanto, C lo lleva siempre blanco. Pregunta No. 2 Pottsylvania utiliza como moneda, únicamente, billetes de 7 y 17 dólares. a) ¿Puedes comprar un libro de 5 dólares y que te devuelvan el cambio exacto? b) ¿Y una revista de 11 dólares? c) ¿Y unos terrenos de 98.769.876 dólares? Solución a) entrego 4 billetes de 17 $, en total 68 $, pago los 5 que cuesta el libro y me devuelven 63 $ en 9 billetes de 7 $. b) Procediendo de forma análoga, entrego 6 billetes de 17 $, que son 102, me cobran los 11 $ que cuesta la revista y me devuelven 91 $ en 13 billetes de 7 $. c) Pagamos con 5.809.996 billetes de 17 $, que son 98.769.932 $, y nos devuelven 56 $ en 8 billetes de 7 $. Pregunta No. 3 El primer dígito de un número de seis cifras es el 1. Si se mueve el 1 al otro extremo, el nuevo número es tres veces mayor que el primero. ¿Cuál es el número original? Solución 142.857 OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 INSTITUCION : ----------------------------------------. Pregunta No.4 La alcaldesa de un pueblo ha encargado la construcción de un estanque en forma de rombo para colocarlo en el centro de la plaza circular. Sabiendo que AB = 9 dam y BC = 3 dam, la arquitecta supo enseguida lo que medía el lado del estanque. ¿Podrías averiguarlo tú? El concejal de jardines quiere saber cuánta superficie queda libre en la plaza, después de construir el estanque, para plantar césped. ¿Podrías ayudarle también? Pregunta No 5 Dos sandías de igual calidad tienen un perímetro máximo de 60 cm y 50 cm, respectivamente. La primera sandía cuesta vez y media más que la segunda. ¿Qué sandía es más conveniente comprar? Pregunta No 6 En una balanza de dos platillos comprobamos que tres cubos de un rompecabezas infantil y una pelota se equilibran con doce canicas. En una segunda pesada vemos que la pelota sola se equilibra con un cubo y ocho canicas. ¿Cuántas canicas habrá que poner en un platillo para equilibrar la balanza, con la pelota colocada en el otro platillo? OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SOLUCION SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 Pregunta No.4 La alcaldesa de un pueblo ha encargado la construcción de un estanque en forma de rombo para colocarlo en el centro de la plaza circular. Sabiendo que AB = 9 dam y BC = 3 dam, la arquitecta supo enseguida lo que medía el lado del estanque. ¿Podrías averiguarlo tú? El concejal de jardines quiere saber cuánta superficie queda libre en la plaza, después de construir el estanque, para plantar césped. ¿Podrías ayudarle también? Solución 15 dam 144 - 216 Pregunta No. 5 Dos sandías de igual calidad tienen un perímetro máximo de 60 cm y 50 cm, respectivamente. La primera sandía cuesta vez y media más que la segunda. ¿Qué sandía es más conveniente comprar? Solución La sandía pequeña Pregunta No. 6 En una balanza de dos platillos comprobamos que tres cubos de un rompecabezas infantil y una pelota se equilibran con doce canicas. En una segunda pesada vemos que la pelota sola se equilibra con un cubo y ocho canicas. ¿Cuántas canicas habrá que poner en un platillo para equilibrar la balanza, con la pelota colocada en el otro platillo? Solución 9 canicas OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 INSTITUCION : --------------------------------- . Pregunta No. 7 Disponemos de un recinto en forma de hexágono regular de 30 m de lado, en cuyos vértices existen piscinas con forma de sector circular de 10 m de radio. Si unos paracaidistas caen aleatoriamente dentro del recinto, ¿cuál es la probabilidad de que: a) no caigan en el agua? b) se mojen al caer en alguna de dichas piscinas? c) caigan con un pie en cada piscina? Pregunta No.8 Un matrimonio tiene hijos de tres edades diferentes. El mayor es todavía menor de edad y sus años son múltiplos de seis. El más pequeño será el primero en celebrar su cumpleaños y cumplirá la mitad de los que tiene el mayor. La suma de las edades de los tres hijos es 28. ¿Cuántos hijos tienen y de qué edades? Pregunta No.9 Este es un castillo de cartas de tres pisos. Se aprecia que se necesitan 15 cartas. a) ¿Cuántas cartas necesitaríamos para tener un castillo similar, pero de 10 pisos de altura? b) El record mundial está en 61 pisos. ¿Cuántas cartas necesitaríamos para batir este record mediante un castillo de 62 pisos? OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SOLUCION SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 Pregunta No. 7 Disponemos de un recinto en forma de hexágono regular de 30 m de lado, en cuyos vértices existen piscinas con forma de sector circular de 10 m de radio. Si unos paracaidistas caen aleatoriamente dentro del recinto, ¿cuál es la probabilidad de que: a) no caigan en el agua? b) se mojen al caer en alguna de dichas piscinas? c) caigan con un pie en cada piscina? Solución a) b) Probabilidad de caer en alguna de las piscinas: 1 - 0,73 = 0,27 c) Probabilidad de caer con un pie en cada piscina: es 0, es un caso imposible, ya que la mínima distancia entre dos piscinas es 10 m. Pregunta No.8 Un matrimonio tiene hijos de tres edades diferentes. El mayor es todavía menor de edad y sus años son múltiplos de seis. El más pequeño será el primero en celebrar su cumpleaños y cumplirá la mitad de los que tiene el mayor. La suma de las edades de los tres hijos es 28. ¿Cuántos hijos tienen y de qué edades? Solución a) Tres hijos, el mayor tiene 12 años, el menor 5 y el mediano 11. Pregunta No.9 Este es un castillo de cartas de tres pisos. Se aprecia que se necesitan 15 cartas. a) ¿Cuántas cartas necesitaríamos para tener un castillo similar, pero de 10 pisos de altura? b) El record mundial está en 61 pisos. ¿Cuántas cartas necesitaríamos para batir este record mediante un castillo de 62 pisos? Solución a) 155 cartas b) 5.797 cartas OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 INSTITUCION : ----------------------------- Pregunta No. 10 En un billar de 160 cm de ancho, está colocada una bola en la parte inferior derecha, a 60 cm de cada uno de los bordes. Esta bola es lanzada sin efecto hacia la parte superior izquierda con el taco en un ángulo de 45° con el lado mayor del billar. Después de haber tocado cinco bandas, la bola vuelve a su punto de partida. ¿Cuánto puede medir el largo del billar? Pregunta No. 11 En una carrera, exactamente el 20 % de los corredores que llegaron a la meta tardaron menos de 45 minutos; y exactamente el 25 % tardaron más de una hora. 49 corredores se declararon satisfechos con el tiempo que habían hecho y el total de los corredores que inició la carrera era 73. ¿Cuántos se retiraron sin concluir la carrera? PREGUNTA 12 En una reunión hay 9 personas. La primera da la mano a una persona; la segunda da la mano a 2 personas; la tercera da la mano a 3 personas,..., la octava da la mano a 8 personas. ¿Cuántas veces da la mano la novena persona? Si en la reunión hubiera 100 personas y la primera da la mano a una persona, la segunda da la mano a 2 personas, la tercera da la mano a 3 personas,..., la 99ª da la mano a 99 personas, ¿a cuántas personas da la mano la persona número 100? ¿Puedes generalizar el problema a cualquier número de personas? OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SOLUCION SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 Pregunta No 10 En un billar de 160 cm de ancho, está colocada una bola en la parte inferior derecha, a 60 cm de cada uno de los bordes. Esta bola es lanzada sin efecto hacia la parte superior izquierda con el taco en un ángulo de 45° con el lado mayor del billar. Después de haber tocado cinco bandas, la bola vuelve a su punto de partida. ¿Cuánto puede medir el largo del billar? Solución 260 cm. Pregunta No. 11 En una carrera, exactamente el 20 % de los corredores que llegaron a la meta tardaron menos de 45 minutos; y exactamente el 25 % tardaron más de una hora. 49 corredores se declararon satisfechos con el tiempo que habían hecho y el total de los corredores que inició la carrera era 73. ¿Cuántos se retiraron sin concluir la carrera? Solución 13 corredores Pregunta No. 12 Cinco atletas participan en la fase final del pentatlón moderno. En cada una de las cinco pruebas, el ganador consigue 5 puntos, el segundo 4, el tercero 3, etc. Nunca hay igualdad, ni en las pruebas individuales ni en la clasificación final. El atleta alemán gana rotundamente con 24 puntos, seguido del belga, el canadiense (muy regular, al haber quedado en la misma posición en 4 de las 5 pruebas), el danés y el español, este último pese a haber ganado en natación y haber sido tercero en tiro. ¿Qué lugar ocupó el atleta danés en natación? Solución 4° lugar OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 INSTITUCION : --------------------------------. Pregunta No 13 El señor McGregor, un comerciante londinense, telefoneó a Scotland Yard para decir que su tienda había sido robada. Se capturaron tres sospechosos, A, B, C, para su interrogatorio. El inspector Sherlock Holmes estableció sin ninguna duda los siguientes hechos: a) Cada uno de los tres hombres A, B, C, había estado en la tienda el día del robo, y nadie más había estado en ella ese día. b) Si A es culpable, entonces tenía un cómplice y sólo uno. c) Si B es inocente, también lo es C. d) Si dos, y sólo dos, son culpables, entonces A es uno de ellos. e) Si C es inocente, también lo es B. ¿A quién inculpó el inspector Sherlock Holmes? PREGUNTA 14 He vendido manzanas en cuatro casas. En cada una vendí la mitad de las que llevaba más media, y conste que jamás partí manzanas. Ya no me queda ninguna. ¿Cuántas manzanas había en la cesta? Pregunta No. 15 Al numerar las páginas de un libro usamos las cifras del 0 al 9. a) ¿Cuántas cifras se utilizan en total para paginar un libro de 358 páginas? b) ¿Cuántas páginas tendrá un libro, si al paginarlo se han empleado 678 cifras? OLIMPIADAS DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS EULER INSANJOSE SOLUCION SEPTIEMBRE 23 GRADO: ETAPA 3 NOTA : 8-9 PREGUNTA 13. Solución A los tres. PREGUNTA 14. He vendido manzanas en cuatro casas. En cada una vendí la mitad de las que llevaba más media, y conste que jamás partí manzanas. Ya no me queda ninguna. ¿Cuántas manzanas había en la cesta? Solución 15 manzanas. Pregunta No. 15 Al numerar las páginas de un libro usamos las cifras del 0 al 9. a) ¿Cuántas cifras se utilizan en total para paginar un libro de 358 páginas? b) ¿Cuántas páginas tendrá un libro, si al paginarlo se han empleado 678 cifras? Solución 966 cifras. 262 páginas.