FUNCIÓN:

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FUNCIÓN:
Aproximación a las funciones a través de gráficos
El concepto más importante de toda la Matemática es, sin dudarlo, el de función: en casi todas las ramas de la Matemática moderna, la investigación se
centra en el estudio de funciones.Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza están orgánicamente relacionados unos con otros; son
interdependientes. El género humano conoce desde hace tiempo las relaciones
más sencillas de esta clase, y este conocimiento se halla expresado en las leyes físicas. Estas leyes indican que las distintas magnitudes que caracterizan
un fenómeno dado están tan íntimamente relacionadas que algunas de ellas
quedan completamente determinadas por los valores de las demás. Si hubiese
una escritura abreviada especial para matemáticos, en donde las palabras más
corrientes estuvieran representadas por siglas apropiadas, ésta tendría que
comenzar hoy con una y solamente una palabra: función. Se la encuentra a
cada paso en todas partes, como el aire para respirar o el pan nuestro de cada
día.
Los comienzos
En la antigüedad existía sumo interés en poder medir exactamente el tiempo y
muchas otras magnitudes físicas, como la masa de un cuerpo, lo que mal conocemos como “cantidad de materia del mismo”. Mientras que Aristóteles (384322 a.C.) afirmaba que la fuerza que se le aplica a un cuerpo le “imprime” cierta velocidad, 2000 años debieron transcurrir para que Galileo (1564-1642) refutara este principio expresando que la fuerza en verdad le provoca una variación
de velocidad al mismo. O sea, que la causa provoca un efecto y dicho efecto no
era la velocidad aristotélica, sino la aceleración. Por lo tanto, la fuerza es función de la aceleración. ¿Las funciones están en todo?. La respuesta concreta
es: sí. ¿Quién afirmaría que: el sexo de las tortugas depende de la temperatura
con la que los huevos fueron incubados?. En general, si la temperatura del nido
se encuentra entre 26° y 27° centígrados, nacen tortugas machos; si la temperatura oscila entre 32° y 33° centígrados, nacen hembras. Los científicos investigan si este fenómeno representa una estrategia importante de supervivencia
para esta especie que se encuentra en el planeta Tierra incluso antes que los
dinosaurios. Al leer atentamente, hallamos en forma casi constante la palabra
“depende”. La fuerza depende de la variación de velocidad; el sexo de las tortugas depende de la temperatura del nido. Así como la pluviosidad de una ciudad depende de su latitud, altitud, cercanía de la costa. Esta manera de considerar la dependencia conduce en forma natural a la expresión tan utilizada: es
función de…En verdad no existe una fecha cierta para determinar el origen de
la palabra función. Pero podemos afirmar que se empleaba en forma intuitiva
en todos los campos, científicos o no.
(Colocar una imagen que se adecue a lo expresado)
Para pensar y resolver
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¿Qué representa esta línea recta y qué nos quiere contar?
(La respuesta se encontrará al final del capítulo)
y
f(x)=2x + 1
4
2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
¿Cómo viene determinada una función?
Una función se nos puede presentar de diversas formas: por su gráfica, mediante una fórmula o una serie de puntos, o bien, simplemente con una descripción detallada del fenómeno o evento al cual responde. Existen infinidad de
funciones:
*La posición de un móvil es función del tiempo
*La presión atmosférica es función de la altura
*El peso de un cuerpo es función de su masa
*La sensación producida por un estímulo es función de la intensidad de éste
Coordenadas cartesianas
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René Descartes, filósofo y matemático francés (1596-1650), construye tomando un punto de partida y dos rectas perpendiculares que se cortan en ese punto; es el denominado sistema de referencia cartesiano.
El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X y el vertical eje de
ordenadas o eje Y. Siendo O el origen de coordenadas. Y
O
X
Interpretación de gráficos cartesianos
Tratemos de interpretar los siguientes gráficos cartesianos:
BOLSAS DE AZÚCAR
El sexo de las tortugas
depende de la
tttttjhbjhbvjhvuvygcvyfcv
hgvjhvbjhbkjnbkjnkjhlmk
mlknlknlknlkjnoknoñnmd
oimbprmbpr
Dondeygctfcfgchgvjhvuhbiubiuh9h9huiojlkmlktperatu
ra con la que los huevos
fueron incubados. El sexo de las tortugas depende de la temperatura con la que los huevos fueron incubados.
En general, si la temperatura del nido se encuentra entre 26° y 27° centígrados, nacen
tortugas machos; si la temperatura oscila entre 32° y 33° centígrados, nacen hembras.
Científicos de la UNAM investigan si este fenómeno representa una estrategia importante
de supervivencia para esta especie que se encuentra en el planeta Tierra incluso antes
que Cada punto de este gráfico representa una bolsa de azúcar.
A. ¿Qué bolsa es la más pesada?
B. ¿Qué bolsa es la más barata?
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C. ¿Qué bolsas tienen el mismo peso?
D. ¿Qué bolsas tienen el mismo precio?
E. ¿Qué bolsa sale mejor de precio: F ó C? ¿Por qué?
.
LA FAMILIA
En el gráfico de abajo tenemos una fotografía de la familia López: Juan es el abuelo, los
hijos de Bella y José son Pablo que va a la guardería, Pepe está estudiando Bachillerato.
Alicia que estudia medicina y Luis.
¿Quién está representado por cada uno de los puntos del diagrama de la derecha?
¿Es apropiada la escala utilizada? Razona la respuesta.
(Realiza las hipótesis que consideres oportunas)
Realiza una representación de toda la familia donde representes en el eje horizontal la
edad y el eje vertical la altura de cada uno de ellos.
LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
¿Qué nos “cuenta” el siguiente gráfico cartesiano?
(Velocidad)
V
O
T (tiempo)
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Definición de función
Una función es una ley que relaciona dos magnitudes numéricas (llamadas variables) de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la primera magnitud
(llamada variable independiente) le hace corresponder un valor y sólo uno de
la segunda magnitud (llamada variable dependiente). Suele decirse que la segunda magnitud es función de la primera. Toda función puede expresarse de
manera simbólica: y = f(x), lo cual simplemente quiere decir que la variable y
depende de la variable x. Y la leemos: “y es igual a efe de x”. Esta manera de
representar una función es especialmente interesante cuando la relación f entre
la x y la y viene dada por una expresión matemática, pues en ese caso podemos saber con certeza los valores que toma la variable dependiente para cualquier valor que tomemos de la variable independiente. Más aún, si disponemos
de una expresión matemática de la función podremos construir con facilidad
una tabla de valores de la misma y una gráfica, pues cada pareja de valores
(x,y) de la tabla que hagamos representa un punto del plano. Uniendo todos
los puntos de la tabla obtendremos la gráfica de la función.
Por ejemplo:
Y
x
Dominio y Codominio:
Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom (f).
Se llama Codominio, Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto
de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de
valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo
y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f),
Im(f). Hemos dicho que una función es una regla de asociación que relaciona
dos o más conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos
conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto
llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen
respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite
relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.
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Para interpretar este diagrama, llamado diagrama de Venn, es necesario construir una tabla la cual ayudará a nuestro propósito:
X
Y = f(X)
X1
f(x1)
X2
f(x2)
Xn
f(xn)
Observamos claramente que a todo elemento del Dominio le corresponde
una y solamente una Imagen. ¿Qué quiere significar esto?. Pues que un elemento del dominio no puede tener dos imágenes. En este último caso no se
trata entonces de una función.
Algunos ejemplos:
1. Cada ciudadano tiene uno y solamente un número de D.N.I.
2. La longitud de un resorte depende del peso que se cuelga en su extremo
3. La sensación del individuo (lo que la persona percibe) depende de los
estímulos físicos que le llegan por medio de los sentidos.
4. La distancia recorrida por un automóvil desde que el conductor aprecia
el peligro hasta que el vehículo se detiene completamente es función de
la velocidad que lleva el coche en ese momento.
5. El peso medio de los chicos depende de su edad.
6. El peso de una persona depende de su altura.
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7. La luminosidad de una bombilla de luz aumenta en función de la temperatura de su filamento.
8. La repulsión entre dos cargas eléctricas del mismo signo es inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias.
9. La intensidad del sonido que nos llega proveniente de un foco sonoro es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a que se encuentra del emisor.
10. El dinero que gana un comerciante es proporcional a la cantidad de productos que vende.
11. La dilatación de un cuerpo depende de la temperatura que absorbe.
12. El peso de una persona depende de su masa.
Responde y justifica:
¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones?. Justifica la respuesta.
Y
a)
X
Y
b)
X
Y
c)
X
8
d)
Y
e)
X
 Recuerda: Para un elemento del Dominio (eje X) debe haber una y sólo
una Imagen(eje Y)
Limitaciones de los gráficos:
Llegado este punto nos podemos preguntar:¿siempre es posible representar en
forma clara y precisa una función solamente con una gráfica?. ¿Es sencillo hallar el Dominio de una función a través de su gráfico?. Un simple gráfico, ¿nos
cuenta cómo varía la función que estamos estudiando o que queremos analizar
e interpretar?. ¿Nos limitan los gráficos para estudiar completamente las funciones e interpretar el fenómeno que representan?. ¿Habrá otro mecanismo
más preciso para abordar el tema?. La respuesta es concreta: sí. Los gráficos “acompañan” pero no nos bastan. Describen, nos son muy útiles. Aún así,
debemos acompañarlos de cierta información previa.
Es por ello, que las funciones no únicamente se definen mediante gráficos.
También se utilizan tablas, fórmulas, dibujos, diagramas, etc.
Formas de representar una función:
Resumiendo, una función puede expresarse mediante:





Una gráfica. Existen multitud de formas gráficas de representación de
una función.
Una tabla de valores.
Una frase que exprese la relación entre ambas variables.
Una expresión matemática del tipo y=f(x).
Una fórmula.
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Veamos: Algunas funciones se pueden definir por fórmulas o ecuaciones. Los
valores de la función se pueden obtener efectuando sustituciones de variables.
Ejemplo A: Sea f(x) = 2x2 – 3. Encuentra los siguientes valores:
f(x)
=
2x2 – 3
(a) f (0)
f(0)
=
2.02 – 3 = – 3
(b) f (–3)
f(–3)
=
2. (–3)2 – 3 = 18 – 3 = 15
(c) f (5a)
f(5a)
=
2. (5a)2 – 3 = 50a2 – 3
Intenta lo siguiente: Encuentra los siguientes valores para f(x) = x + 2
a) f(0); b) f(1); c) f(–1);d) f(2 a); e) f(3); f) f(–2); g) f(2)
CARPETA DE EJERCICIOS:
1. Confecciona una tabla de valores para la siguiente función:
Tabla:
X
Y
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2. Dada las siguientes funciones: a. Construye una tabla de valores y b. Grafica
la función en un sistema de ejes cartesianos ortogonales.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
Y=x–5
Y=x
Y = 2x
Y=–x
Y = x/2 + 1
Y = x/3 – 2
Y = x/2 + y/3 = 1
2x + y + 1 = 0
x – 2y +2 = 0
Y = (x + 4):2
Y = (x –2 ): 4
3x +5y – 2 = 0
3. ¿Qué representan las funciones anteriores?.¿Una elipse?.¿Una recta?¿Una
parábola?:¿Una circunferencia?.
Aplicaciones de las funciones reales
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia
con otra, debido a que se están usando subconjuntos de los números reales.
Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida
diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de
medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área
social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona
un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en
pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la
oferta y la demanda) los economistas se basan en la linealidad de esta función
y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales
en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que
los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se
denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx +
b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.
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Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina.
Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados
pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:
A. Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica
es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0, b).
B. Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa
por el origen de coordenadas (0,0).
Y
b=0
m= 0
X
Y
X
Por ello, al resolver el ejercicio 2 de la ejercitación general, se pudo observar
que todas las gráficas se tratan de rectas.
Determinación del Dominio de una función:
Hemos hecho hincapié en que para una función sea tal, debe cumplir que cada
elemento del dominio debe tener una única imagen. Veamos entonces si en las
siguientes tablas todas representan funciones:
a.
x
f(x)
1
2
3
0
4
1
12
–1
4
x
f(x)
1
2
3
1
0
4
1
4
b.
c
Provincia
Capital
Córdoba
Córdoba
Santa Fe
Rosario
Tucumán
San Miguel de Tucumán
Santa Fe
Santa Fe
Soluciones:
a. Sí
b. No.
c. No. ¿ Por qué?.
Hasta ahora, hemos hecho tablas, gráficas y trabajado con fórmulas tales como
y = 2x. Todas ellas nos dan la idea precisa de una función. Siempre debemos
recordar, y esto es fundamental que todo elemento del dominio debe ser
“utilizado” una y sólo una vez. Una tabla es simplemente una lista completa
de todos los elementos en el dominio y codominio; se arregla o confecciona de
manera tal que el elemento en el codominio y su correspondiente elemento en
el dominio estén escritos uno junto al otro como ya hemos visto. Una gráfica
puede ser utilizada para describir la función, como en el caso ya abordado de
“la familia”. Es para destacar que, mientras simplemente la tabla contiene valo-
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res, la gráfica nos brinda la oportunidad de entender la “historia” de la función,
o sea su comportamiento. Veamos:
Cuando examinamos la gráfica de la recta f(x) = 5x – 10, observamos de D =
todos los números reales(R)
Ya que todo número real es la coordenada de “x” de algún punto en la recta, y
R = todos los números reales , ya que todo número real es también la coordenada “y” de algún punto en la recta.. En el lenguaje de funciones, f (3) = 5, f
(4) = 10, f (–1) = – 15 y en general f(x) = 5x – 10 Por ello es que al graficar obtuvimos:
(En lugar de copiar la figura nuevamente, se puede escribir: VER FIG. A,
por ejemplo)
Por ello, las gráficas son medios potentes para tratar gran número de problemas. Se utilizan en todas las disciplinas: física, biología, economía, sociología,
psicología, etc.
A. Ejercitación propuesta referente a gráficas de funciones para resolver en clase y con la ayuda de tu profesor:
1. Abajo tienes varias gráficas que relacionan distintas magnitudes:
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Escribe, para cada gráfica, una frase comparando A y B. Por ejemplo, en
la 1ª, B tiene más temperatura y mayor longitud que A.
2. Actividad resuelta:
"...quien a buen árbol se arrima......."
Desde las 9 de la mañana hemos ido anotando la longitud de sombra de
un poste vertical. Éstos son los resultados:
La hora del día y la longitud de la sombra son magnitudes que están relacionadas. Además, a cada hora del día le corresponde una única longitud de sombra. Podemos resumir escribiendo que la longitud de la sombra depende o es función de la hora del día.
Si representas los pares de valores (hora del día, longitud de sombra):
(9,21), (10,15'5), ........., etc. recogidos en la tabla, en unos ejes de
coordenadas obtienes la gráfica:
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Como observas en ella, la longitud de la sombra disminuye o decrece
hasta las 13 horas y comienza a aumentar o crecer a partir de dicha hora. Diremos que la función es decreciente desde t = 9 hasta t = 13, y
creciente a partir de t = 13.
Además, la mínima longitud de sombra (6 m.) se alcanza a las 13 horas.
En ese punto, (13,6), la función presenta un mínimo.
3. ¡Cuidado con los medicamentos!
En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un
diabético, se establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está
en función del peso del paciente según la gráfica:
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Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20
mg. Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y
escribiremos 50 Kg → 20 mg.
a. ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay que suministrar
a una persona de 75Kg?
b. ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?.
c. ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg?
d. ¿Para qué peso la dosis es máxima?
(Diremos que la variable dosis depende (o es función) de la variable
peso: Peso → Dosis)
4. Después de bañarse en su casa, Ana dibuja un esbozo de gráfica que
muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su baño en función del
tiempo transcurrido.
a. Si ambos grifos (caliente y frío) se abrieron al principio, ¿qué puede
haber ocurrido en A? (Hay más de una respuesta).
b. Cuando el baño se está vaciando, Ana pone el pie en el agujero del
desagüe. ¿Qué parte de la gráfica muestra esto?
c. ¿Cuándo aumenta el volumen del agua? ¿Cuándo disminuye?
d. ¿Cuándo se alcanza el volumen máximo de agua? ¿Y el mínimo?
Como observarás, es la forma de la gráfica la que nos muestra si el volumen de agua aumenta más o menos rápidamente (la mayor o menor
inclinación de la gráfica).
5. Alicia va al colegio en colectivo. El médico le ha prohibido ir en bici. Siempre
toma el colectivo de las 8 menos 25 y para en el colegio a las 8. Aquí ves la
gráfica de Antonio y la de Alicia en el colectivo:
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a. ¿Iba hoy colectivo puntual?
b. El colectivo ha parado varias veces por el camino. ¿Cómo lo puedes
ver en la gráfica?
c. ¿A qué hora y a qué distancia de adelantó el colectivo a Antonio?.¿Cómo sería si el colectivo fuese puntual?
d. ¿Cómo puedes ver en las gráficas que Alicia estaba antes en la mitad del camino?.¿Cuántos minutos antes?
e. ¿Cuántos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegó al cole?
f. ¿A qué hora aproximadamente llevaba más ventaja Alicia?
g. Explica por qué ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era exactamente de un kilómetro.
6. Dos monos subieron por un poste. El 1º subió lentamente al principio y
después aumentó la velocidad gradualmente. ¿Cuál es la gráfica de este
mono?
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a. Describe con palabras el ascenso del otro mono.
b. ¿Qué separación había entre los monos después de 1 minuto, 2 minutos,....?
c. ¿Qué tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste?
d. Completa la gráfica sabiendo que el mono B se quedó arriba y el mono A
bajó a velocidad constante.
7. El “Biorritmo”
Según ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las
personas: el ciclo corporal (fuerza, vitalidad, resistencia a las enfermedades) de
periodo 24 días; el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 días (creatividad, tristeza, alegría); y por último el ciclo intelectual con un periodo de 33
días. El día del nacimiento comienza los tres ciclos en el punto cero y desde allí
suben.
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a. ¿Después de cuántos años llega el ciclo a un punto como el del nacimiento?
b. ¿Cuántas veces en la vida alcanzamos el día total, es decir los tres ciclos
en su máximo?
c. Los días críticos son aquéllos en que una de las tres curvas alcanza su
punto cero. Determina tus días críticos.
B. Ejercitación propuesta referente a tablas y fórmulas de funciones para resolver en clase y con la ayuda de tu profesor:
I. Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales:
y = 2x; y = 3x, y = 0,4x, y = -x e y = -3x
a. Estudia cómo varía la inclinación de la gráfica según la pendiente.
b. ¿Qué cuadrantes del plano ocupa la gráfica si la pendiente es positiva?¿Y si es negativa?
II. Completa para cada gráfica la siguiente tabla:
20
Halla en cada caso la fórmula que las define.
III. De una función lineal se conoce que, la imagen de 3 vale 12.¿Cuál es
su fórmula?¿Cuál es la imagen del 5?
IV. La siguiente gráfica indica cómo varía la altura del líquido en el vaso
X a medida que se va llenando de forma continua.
¿Qué sucede con la altura respecto al volumen?.
V. Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro: Desde A hasta B
con V = 30 Km/h y el de B hasta A a 20 Km/h. (d(A,B) =100 Km).Estima
gráficamente cuándo se encontrarán. ¿A qué distancia de A? ¿Y de B?.
Para ello establece una tabla de valores.
VI. Un elefante en un zoo está enfermo y un veterinario toma su temperatura cada hora. Éstas son:
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Interpreta la tabla
¿Cuándo tiene la temperatura más baja?
¿Y más alta?
Dibuja una gráfica que muestre cómo cambia su temperatura. Elige un
punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas.
VII. Un tornero de tenis dura 10 días.
Aquí tienes el número de asistentes cada día:
Dibuja una gráfica que ilustre los resultados.
VIII. Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte.
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artículos de la
sección "Zapatos" un 6%.
Designamos por x el precio de un artículo antes del aumento y por y el
precio del mismo artículo después de la subida.
Completar la tabla:
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En unos ejes, dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y están indicadas en la tabla anterior. Obtener y en función de x.
IX. ! Brontosaurio baja precios!
Después de este aumento, su rival Supermercado Brontosaurio decide
una bajada del 20 % sobre el precio de los zapatos. Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de después. Obtener la función que los relaciona.