Dificultades y concepciones de los alumnos de educación secundaria sobre la representación gráfica de funciones lineales y cuadráticas. Mª Teresa González Astudillo Facultad de Educación. Departamento de Didáctica de las Matemáticas y de las Cinéticas Experimentales. Universidad de Salamanca Ernesto Martín Hernández Departamento de matemáticas. I.E.S. Ramos del Manzano (Salamanca) Resumen A pesar de que tanto desde la administración educativa como desde la didáctica de la matemática se insiste en la utilización de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas, se han hecho pocas investigaciones que faciliten su uso. Los nuevos medios tecnológicos obligan a repensar el currículo, la organización del aula, la formación de los profesores y las dificultades en el aprendizaje de los conceptos matemáticos. En este sentido hemos realizado una investigación acerca de las dificultades que tienen los alumnos en torno a la conversión entre los sistemas gráfico y simbólico de la representación de funciones, puesto que los programas de cálculo simbólico más potentes y efectivos en cuanto a la enseñanza se fundamentan en estas dos formas de representación. Por ello, y antes de diseñar la enseñanza más adecuada, hemos querido diagnosticar las dificultades más características que tienen nuestros alumnos para intentar solventarlas mediante una instrucción apropiada. En esta comunicación hacemos referencia a las dificultades encontradas relativas a la representación e identificación gráfica de las funciones lineales y cuadráticas de alumnos de 4º de Enseñanza Secundaria Obligatoria y 1º de Bachillerato. Dificultades y concepciones de los alumnos de educación secundaria en relación con la conversión entre las expresiones algebraicas y sus representaciones gráficas de las funciones lineales y cuadráticas. Introducción En la enseñanza tradicional, para expresar la relación entre dos variables utilizamos fundamentalmente tablas de valores, expresiones algebraicas y gráficos de sistemas de coordenadas. Durante muchos años se les ha enseñado a los alumnos cómo construir tales representaciones y los subsiguientes métodos para manipular dichas representaciones. Actualmente el impacto de la tecnología en la forma en que se pueden representar y manipular las funciones está obligando a los enseñantes a reconsiderar la forma en que se enseñan las funciones. La tecnología hace posible trabajar con funciones de maneras nuevas y explorar nuevas ideas en el currículo y en la práctica escolar, aunque con lápiz y papel muchas gráficas son difíciles de crear y manipular, con la utilización de los ordenadores no sólo son fáciles de crear, sino también de transformar de diferentes maneras, así que el énfasis en la representación gráfica hará las funciones más fáciles de aprender y usar para la mayoría de los alumnos. La utilización de las nuevas tecnologías debe forzar al educador a repensar el currículo y los procedimientos de instrucción, de forma que algunos de los tópicos necesarios para adquirir una comprensión de las funciones y de su representación gráfica han de ser: Definir la regla de una función en tres modos de representación: representación gráfica en sistemas de coordenadas, con palabras y con símbolos algebraicos. Adquirir conceptos relacionados con los gráficos y los sistemas de coordenadas como: ejes, pares ordenados, tablas de valores Pasar de un conjunto discreto de puntos a las funciones y sus gráficos. Clasificar gráficos y funciones con diferentes criterios. Transformar geométricamente funciones y gráficos y observar cambios paralelos en la representación simbólica. Una de las cuestiones que se ha observado en el trabajo directo con los alumnos, es que éstos no están acostumbrados a relacionar los coeficientes de la expresión algebraica de una función polinómica con las características de su representación gráfica, por eso hemos realizado esta investigación que nos permitirá analizar los errores que cometen los alumnos, las dificultades que tienen y sus concepciones para posteriormente diseñar una enseñanza que permita, mediante la introducción del ordenador en el aula de matemáticas, adquirir un conocimiento más preciso de las funciones y de las formas de representación que se utilizan en el Análisis Matemático. Antecedentes y justificación El concepto de función ha sido objeto de numerosas investigaciones en el campo de la Didáctica de la Matemática y desde enfoques muy diversos. Así podemos considerar tanto estudios basados en la evolución histórica del concepto, como aquellos que inciden en su evolución en los libros de texto (Markovits y otros, 1986), otros centrados en las dificultades que conlleva (Ruiz Higueras, 1994), en su comprensión (Tall y Vinner, 1981; Dreyfus y Vinner, 1982, 1989), o en sus formas de representación (Sierra, M. González, M.T. y López, M. 1998) además de los numerosos artículos con propuestas novedosas acerca de su enseñanza. El análisis histórico-epistemológico realizado por Sfard (1991) acerca de las diferentes definiciones y representaciones muestra que la noción de función puede concebirse de dos formas: estructuralmente (como un objeto) u operacionalmente (como un proceso) “hay un salto ontológico entre las concepciones operacional y estructural... Ver una entidad matemática como un objeto significa ser capaz de referirnos a ella como si fuera un objeto real, una estructura estática, con existencia en alguna parte del espacio y del tiempo. También significa ser capaz de reconocer la idea “de un vistazo” y manipularla como un todo, sin reparar en los detalles... Por el contrario, interpretar una noción como un proceso implica manejarlo de una manera potencial más que como una entidad real, que adquiere existencia como elemento de una sucesión de acciones. Así, mientras que la concepción estructural es estática, instantánea e integradora, la operacional es dinámica, secuencial y detallada”. La transición desde la concepción “proceso” a la concepción “objeto” es lenta y difícil. Sfard propone tres fases en la evolución del continuo proceso-objeto: interiorización, condensación y reificación. Otros trabajos que tratan de la enseñanza de las funciones se centran en los diferentes modos de representación de las funciones. Así, Verstappen (1982) distinguió tres categorías para registrar las relaciones entre funciones usando el lenguaje matemático: a) geométrica: esquemas, diagramas, histogramas, gráficos, dibujos; b) aritmética: números, tablas, pares ordenados; y c) algebraica: símbolos literales, fórmulas. Swan (1982) estableció que las representaciones más útiles eran las tablas de datos, los gráficos cartesianos y la expresiones simbólicas y Janvier (1987) indicó las habilidades que necesitaban los alumnos para traducir entre varias representaciones en la siguiente tabla: Hasta Desde Descripciones verbales Tablas de datos Gráficos cartesianos Expresiones algebraicas Descripciones verbales Leer Interpretar Reconocer una fórmula Tablas de datos Gráficos cartesianos Expresiones algebraicas Medir Esbozar Modelizar Dibujar Ajustar Ajustar Leer Calcular Dibujar El trabajo con funciones polinómicas debe realizarse teniendo en cuenta dos dimensiones. Una de ellas se refiere a los medios disponibles de representación de las funciones: algebraica, tabular y gráfica. La segunda se refiere a la perspectiva a partir de la cual se puede ver o manipular una función: como objeto o como proceso. Tendremos por ello la siguiente tabla: Tabular Algebraico Gráfico Proceso Objeto Las actividades o problemas para diseñar pueden estar en una celda de la tabla, pueden relacionar dos representaciones de una misma perspectiva o dos perspectivas de una misma representación; o se pueden mover en relación con las dos dimensiones. Son muchas las investigaciones centradas en el estudio de las dificultades y concepciones de los alumnos en relación con la transformación entre la representación gráfica de una función y su expresión algebraica. Se trata en ellas de estudiar las relaciones que establecen los alumnos entre los coeficientes de las expresiones algebraicas y las características geométricas de las gráficas de las funciones. Hemos de destacar entre ellas, por la importancia que tienen en relación con la investigación que se ha realizado, el trabajo de Moschkovich (1999) y el de Zaslavsky y otros (2002). En el primero se demuestra a través de entrevistas con alumnos cómo identifican los coeficientes de una ecuación lineal con la intersección de la recta con el eje x, indicando que esta identificación no es un error sino una concepción en transición que es productiva en determinadas situaciones, pero que en otras, se puede producir un conflicto. En la segunda investigación se analiza la confusión que existe entre los aspectos algebraicos de pendiente, escala y ángulo, asociándola con la asunción de un isomorfismo entre los sistemas geométrico y algebraico. De esta forma se identifican cuatro aproximaciones en relación con el efecto que el cambio de escala produce en la pendiente de una recta: una aproximación analítica, una aproximación visual y otras dos que son combinación de ambas y que pueden producir un conflicto cognitivo en los alumnos. Planteamiento de la investigación. En esta investigación hemos tratado de manejar conjuntamente los conceptos antes desarrollados: por un lado las diferentes formas de representación de las funciones y por otro la doble noción de función como proceso y como objeto. Se trata de una investigación esencialmente exploratoria y cualitativa en la que, inicialmente, a partir de un precuestionario se han establecido diferentes categorías relativas tanto a los criterios de justificación que han utilizado los alumnos en sus respuestas, como en relación a los errores que han cometido en la solución de las cuestiones. Las justificaciones nos permitirán darnos cuenta de las concepciones y los errores de las dificultades de este concepto. Objetivos 1. Revisar las investigaciones llevadas a cabo en torno a la expresión algebraica de las funciones polinómicas y su representación gráfica. 2. Descubrir las concepciones de los alumnos en relación con la conversión entre la expresión algebraica de una función y su representación gráfica. 3. Analizar los errores que cometen los alumnos cuando trabajan con dichas transformaciones. La investigación se ha llevado a cabo durante el curso académico 2002-2003 en dos fases. Inicialmente se elaboró un precuestionario para analizar las concepciones y errores de los alumnos, que fue contestado por 21 alumnos de 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, seguidamente se realizó el análisis de las respuestas a dicho precuestionario que condujeron a la elaboración del cuestionario definitivo. En la segunda fase el cuestionario fue contestado por alumnos de 4º de Educación Secundaria. A continuación, se realizó un análisis de dicho cuestionario según categorías preestablecidas en el análisis del precuestionario, que han permitido conocer las concepciones de los alumnos sobre la expresiones algebraicas de las funciones y su representación gráfica, así como los errores que cometen. En cuanto al método de recogida de datos, se ha realizado a partir de las respuestas de los alumnos a las preguntas del cuestionario. Los datos fueron recogidos directamente por el investigador. Se indicó al grupo participante el propósito de la investigación, el fin del instrumento y el modo en que debía ser completado respondiendo a cuantas dudas fueron suscitadas. A continuación se distribuyó el cuestionario a los alumnos que lo completaron de acuerdo con las instrucciones recibidas. Criterios de elaboración del cuestionario. Aunque inicialmente se elaboró un precuestinario, en esta comunicación sólo expondremos los resultados y el cuestionario definitivo que surgió tras analizar, revisar y refinar dicho precuestionario. Como ya se ha comentado nos hemos restringido al caso de funciones polinómicas de primer y de segundo grado. El cuestionario constaba de 10 preguntas, de las que en siete se trata la transformación de la representación gráfica de una función sobre ejes cartesianos a su expresión simbólica y en los que quedan se trata de analizar las características de la expresión algebraica de una función bajo ciertas condiciones o de indicar cómo es su representación gráfica. Si agrupamos los diferentes ítems según el tipo de función debemos distinguir 6 sobre funciones lineales, 4 sobre funciones cuadráticas. En los ítems correspondientes a las funciones lineales, se trataba de ver si el alumno realmente distinguía entre pendiente y ordenada en el origen, presentándose diferentes situaciones: pendiente positiva/negativa, ordenada en el origen positiva/negativa/nula. En el sexto ítem, se les plantea a los alumnos una situación para que analicen qué cambia y qué se mantiene en la expresión algebraica de una función lineal al ejercer sobre ella una traslación horizontal. Además en el décimo se incluía una función lineal paralela al eje de abscisas, lo que supone un inconveniente para los alumnos al tener pendiente nula. Para las funciones cuadráticas elegimos siempre la parábola estándar (x2) en diferentes posiciones respecto del origen de coordenadas buscando la interpretación de las raíces y de la ordenada en el origen. Se incluyen por lo tanto parábolas con el vértice en el origen de coordenadas, con el vértice en el eje de ordenadas, o en un punto del plano que no coincide con los ejes cartesianos. Asimismo, en cuanto a las raíces, se consideran las diferentes posibilidades: una raíz doble en el origen de coordenadas, dos raíces distintas, o ninguna. En cuanto al coeficiente de x2 se considera en sus dos posibilidades: positivo o negativo. Se trataba de reconocer gráficamente la orientación de la parábola y la localización del vértice sobre el eje de coordenadas para posteriormente identificar la expresión algebraica de la función. En la novena pregunta había que identificar el vértice y de los cortes con los ejes de la parábola. El séptimo ítem consistía en casar cada representación gráfica con su correspondiente expresión algebraica. No se trataba de averiguar la expresión de la función, sino de reconocerla por pendiente y su ordenada en el origen. En el octavo se trataba de construir expresiones algebraicas de funciones a partir de gráficas que previamente debían elaborar. Había que observar la relación que se establece entre una propiedad geométrica (pasar por un determinado punto del plano), con los coeficientes de la expresión algebraica (el mismo término independiente). Esto está relacionado con la investigación anteriormente mencionada de Moschkovich. En el noveno, como ampliación del ejercicio anterior y aplicación a las funciones cuadráticas, se trataba de identificar algunos de sus elementos: cortes con los ejes y mínimo. Análisis del cuestionario y conclusiones Para obtener los resultados se han realizado tres tipos de análisis: Análisis de respuestas correctas/incorrectas: Tras la revisión de las respuestas de los alumnos se elabora una tabla de doble entrada (alumno/ítem) donde se recoge si la respuesta ha sido correcta o incorrecta y si el alumno aporta justificación alguna o no. El análisis ha sido cuantitativo, considerando los porcentajes de aciertos, pero nos da información acerca del tipo de ítems más fáciles para los alumnos y cuáles les resultan más difíciles. Estudio de las justificaciones de los alumnos a sus respuestas que se han agrupado en tres categorías según que se haya utilizado la tabla de valores, los coeficientes de la expresión algebraica o el gráfico. Identificación de los errores cometidos: si se refieren a los coeficientes de la fórmula, sólo a la ordenada en el origen, relacionados con el tipo de función o errores de cálculo. Estos resultados nos permiten concluir que: 1.- Los alumnos tienen dificultades para relacionar los coeficientes de las ecuaciones algebraicas de las funciones con las características geométricas de su representación gráfica. Suelen recurrir más a menudo a los cálculos fundamentalmente de la tabla de valores de la función con lo que son más propensos a cometer errores que con una concepción más ajustada de la función no cometerían 2.- Además cometen numerosos errores al asociar la expresión algebraica de una función a partir de su gráfica no sólo no identificando correctamente sus coeficientes sino incluso confundiendo el tipo de función que están analizando. 3.- Algunos alumnos tienden a utilizar el mismo tipo de justificación en todas las respuestas, bien sean tablas de valores, gráficas o coeficientes de la fórmula. 4.- Sorprendentemente, los alumnos tienen más dificultades con las funciones lineales que con las cuadráticas. 5.- Excluyendo los errores operacionales, los restantes son cometidos por los alumnos que no utilizan ninguna justificación. Como conclusión final podemos establecer a la vista de los resultados anteriores que los alumnos manejan el concepto de función desde un punto de vista operativo (Sfard, 1991), es decir, como un proceso, por lo que necesitarían que se diseñaran actividades de instrucción específicas para que manejaran las funciones como un objeto, buscando con ello tres objetivos fundamentales: Tener una idea más completa de lo que es una función. Evitar los errores debidos a los cálculos, si su imagen del concepto es exacta los errores serán revisados para que se ajuste a dicha imagen. Preparar el camino para el trabajo con funciones desde un punto de vista más estructural. Referencias Dreyfus, T. y Vinner, S. (1982) On the deep structure of functions. Actas del PME, 6, vol 1, pp 190-196. Dreyfus, T. y Vinner, S. (1989) Images and definition for the concept of function. Journal of Research in Mathematics Education, 20, pp 356-366. Janvier, C. (1987) Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. Hillsdale: Lawrence Erlbaum Associates. Markovits, Z.; Eylon, B.S. y Bruckheimer (1986). Functions today and yesterday. For the learning of mathematics, 6,2 pp. 18-24,28 Moschkovich, J. (1999) Students’ use of the x-intercept as an instante of a transitional conception. Educational Studies in Mathematics. 37, pp. 169-197. Ruiz Higueras, L. (1984) Concepciones de los alumnos de Secundaria sobre la noción de función. Análisis epistemológico y didáctico. Tesis doctoral. Granada: Universidad de Granada. Sfard, A. (1991) On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, pp. 1-36 Sierra, M. González, M.T. y López, C. (1998) Funciones: traducción entre representaciones. Aula, 10, 89-104. Tall, D. y Vinner, S (1981). 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