Documento 115803

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE AULA
Año académico: 2006-2007
I.E.S. “La Ería”
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: ESO
2º ciclo
Tema: Potencias de números reales.
Complementos teórico-prácticos.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
Potencias.

Definición: La notación an
determina la potencia de base a y exponente n,
significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.
Base
Exponente
an
El exponente, n, indica las veces que se repite la base
en el producto de ésta por si misma.
La base, a, es el factor que se repite en el producto.
Potencia
Ejemplo: 53  5  5  5  125

Conceptos:
 La potencia no es más que una notación o forma de escritura
abreviada de productos en los que se repiten los factores, base de la
potencia, un número determinado de veces, indicado por el exponente.
 Debemos distinguir siempre cuáles son los tipos de números que intervienen
en ella, ya que las propiedades de la suma y producto que se cumplen,
o no, con cada clase de número, siguen estando vigentes, así:
 9  9  9  3  9  3  3  3  3  3  3  33
 8  8  8  8  4  8  2  2 2  2  2  25
 Las propiedades específicas de las potencias se deducen fácilmente de las de las operaciones con cada tipo de número, natural (ℕ), entero
(ℤ) o racional (ℚ).
 La regla de los signos para el producto y el cociente de números enteros
debe ser tenida en cuenta por separado para la base y para el exponente.
 Recuerda:



—
:
—
 Mirar y ver, mirar




—
—
lo genérico y ver lo
específico, y viendo


—
—
—
—
lo específico generalizar el resultado.
 Todas las propiedades están interrelacionadas entre sí, pero las
desarrollaremos paso a paso.
Adaptaciones nivel 3
Página.- i
Potencias
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
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Potencia de base y exponente Natural.
 Quiere decir que tanto la base como el exponente son números naturales y por lo tanto no tienen signo, o podemos considerar éste positivo
siempre. Son las más elementales.
 Propiedades:
p
q
pq
 Producto de potencias de igual base: a  a  a

Es otra potencia que tiene por base la común y por exponente la
suma de los exponentes, ya que:
 33  32  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  35  332 , hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad asociativa del
producto de números naturales.
 De modo inverso, 35  3  3  3  3  3  3  3  3  3  3  33  32
c.q.d.

IMPORTANTE: todas las propiedades se pueden leer en los dos
sentidos, de derecha a izquierda y de izquierda a derecha.
Así, de este modo:
75  712  7125  717
1111  119  112  116  115  etc. ...

p
p
 Potencia de un producto: a  b  a  b
p

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias
de cada factor, ya que:
2  33  2  3  2  3 2  3  2  2  2 3  3  3  23  33 ,
hemos aplicado la definición de potencia y las propiedades
conmutativa y asociativa del producto.
 De otro modo:
2  33  63  6  6  6  2  3  2  3  2  3  23  33 .
 Al igual que en el apartado anterior, las propiedades son de
ida y vuelta, así:
155  3  55  35  55 .
93  253  9  253  2253
 
p
 Potencia de una potencia: a

q
 a p q
La potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene
por base la que había y por exponente el producto de los exponentes, ya que:
2   2  2  2   2
2 3
 22  22  22  2  2  26  223 ,
hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad
asociativa del producto.
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2
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2
Potencias
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 De otro modo:
2 
 4 3  4  4  4  22  22  22  22  2  2  26
 Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son
de ida y vuelta, así:
2 3
       
3
9
2
6
218  26  22  29  23 , adoptaremos la notación
que más convenga a nuestros propósitos de cálculo.
p
ap
a
 Potencia de un cociente:    p
b
b

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias
del numerador y denominador, ya que:
3
2 2 2 2  2  2 23
 2
 , hemos aplicado la definición
     
3 3 3 3  3  3 33
 3
de potencia y la propiedad del producto de fracciones.
 Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son
de ida y vuelta, así:
3
3
3
3
123  12   4  3   22  3   2 
    , hemos aplicado
  
 
183  18   2  9   2  32   3 
además la propiedad de la simplificación de factores comunes
en la fracción, es un método práctico y muy útil para realizar
cálculos complejos, recuerda la regla de oro del cálculo, antes
de operar, descomponer y simplificar.
ap
p q
 Cociente de potencias: q  a
a

El cociente de potencias de igual base es igual a otra potencia que
tiene por base la común y por exponente la diferencia de los
exponentes del numerador menos el del denominador, ya que:
25 2  2  2  2  2

 2  2  22  253 , hemos aplicado la
3
222
2
definición de potencia y la propiedad de la simplificación de
factores comunes en la fracción.
 De otro modo:
3
25 23  22 23 22  2  4

 3
     13  4  1  22  22 , ya que
3
3
2
2
2 1  2 1
el uno es el elemento neutro del producto, es decir, cualquier
número, expresado éste en cualquier forma (decimal, fraccionaria, potencia, etc. ...), multiplicado por uno es igual a sí mismo, y además 1  1  1  1  1 .
 Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son
de ida y vuelta, así:
Adaptaciones nivel 3
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Potencias
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3
3
512 29  23   2  2  2 
3
3


82 
 6  2 
  2  2  8
64 2
 2   22 
3

Potencia de base Entera y exponente Natural.
 Ahora la base tiene signo, por lo que lo primero y más importante va ha
ser siempre determinar cuál va ha ser el signo final de la potencia.
 Para ello habrá que tener muy presente la regla de los signos para el producto
y el cociente, fijarse además en si el exponente es par o impar y por último
en si el exponente afecta a toda la base, incluido el signo, o si no afecta al
signo, ya que:
  12   1   1  1, el exponente afecta al signo y es par, resultado
positivo.
  12  1  1  1 , el exponente no afecta al signo y es par, resultado
negativo.
  13   1   1   1  1, el exponente afecta al signo y es impar,
resultado negativo.
  13  1  1  1  1 , el exponente no afecta al signo y es impar, resultado negativo.
  14   1   1   1   1  1 , el exponente afecta al signo y es par,
resultado positivo.
  14  1  1  1  1  1 , el exponente no afecta al signo y es par, resultado
negativo.
 etc. ...
 Tener presente el signo como un factor más de la base, así:
  24   14  24  1 24  24 , ya que:


 24   2  2  2  2   2  2  2  2 
2
 4   4   4 2  2 2   2 4
 23  13  23  1 23  23
 26  16  26  1 26  26
  26  1  26  26
 etc. ...
 Cuidado con las potencias de una potencia, ya que:

 2   2 , ya que:
 2    2  2   2  2  2  2  1  2  2  1  2
De otro modo:  2    1  2   1  2  2
 2   2 , ya que:
 2    2  2  2   2  2  2   1  2  2  2  1  2
De otro modo:  2    1  2   1  2  2
2 3
6
2 3


3
2 3
3 2
3 2

 etc. ...
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3
3
3
3
2 3
3
3
6
3 3
3
 26
6
6
2
3 2
2
2
2
3 2
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2
2
6
2
2
2
2 2 2
 26
6
Potencias
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 Luego hay que fijarse muy bien en cuál es realmente el exponente que
afecta al signo de la base, y en si éste es par o impar.
 Resumiendo:
Exponente
Afecta al signo
Par o impar
Resultado
Base negativa
Si
Par
Positivo
Base negativa
No
Impar
Negativo
Base negativa
Si
Impar
Negativo
Base negativa
No
Par
Negativo
Base positiva
Si
Par
Positivo
Base positiva
No
Impar
Positivo
Base positiva
Si
Impar
Positivo
Base positiva
No
Par
Positivo
 Tenerlo siempre presente.
 Propiedades:
 Las mismas de antes, salvo que ahora hay que tener en cuenta que para
que las bases sean iguales han de coincidir en todo, el número y el signo.

Potencia de base y exponente Entero.
 Son aquellas en las que tanto la base como el exponente son números
enteros, y por lo tanto ambos vienen dotados de signo.
 El significado del signo de la base y los cuidados que con él hay que adoptar ya
han sido tratados, ahora debemos saber qué significado tiene el signo del exponente.
 Veamos qué ocurre con el siguiente cociente de potencias de igual base:
33

 33 4  31 , por otro lado, haciendo la simplificación de los factores
4
3
33
333
1
de la fracción 4 
 , como ambos resultados deben coin3333 3
3
1
cidir, entonces 31  , es decir, el signo del exponente nos indica si la
3
base está donde debe estar o no, así si el exponente es positivo indica que
la base está bien donde está, y si es negativo indica que está cambiada de
sitio.
Adaptaciones nivel 3
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Potencias
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 Ejemplos:


 
3
3
1 1
5  3     51  53
5
5
2
2
2
2
1
52  5 
 2
    2  2  2  2    , es decir, en el caso de una
5
2 5
2
5
 2
fracción o de la potencia de exponente negativo de un cociente, ésta
se transforma en la potencia de exponente positivo del inverso del
cociente o de la inversa de la fracción.
3
4

1
1
4
4

   3  3 , de modo rápido e intuitivo, lo más rápido
4
3
 3
es cambiar de sitio a la base cambiando a su vez el signo del exponente.
2


2
2
32  3 
 2
 3
        2    , ojo, la regla de signos para la base
2
 3
 2
 2
es independiente del signo del exponente, solo depende de si éste es
par o impar.
 2
 
 3

 2 

 2 

etc. ...
3
2 3
3 2
3
3
33
 3
 3
      3   
2
 2
 2
1
 2  6  6
2
2
12
1
1
 1 
2
6
 1
 2  6 , ya que  1    
2
2
 1 1
 1
 Propiedades:
 Las mismas de antes, pero además:
0
 Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad: a  1
72 49
 Ya que 70  72 2  72  7 2  2 
 1 , o bien, de otro modo,
49
7
8 23
tenemos que 1   3  233  20 , y como en lugar de 2 podemos
8 2
emplear cualquier número, la generalización queda probada.
1
 Toda potencia de exponente uno es igual a la base: a  a
n
 Cualquier potencia de la unidad es igual a sí misma: 1  1
 Para transformar potencias de exponente negativo en otras de
exponente positivo, basta con calcular la potencia de exponente
positivo del inverso de la base: a
1
1
tenemos que  n   
a
a
Adaptaciones nivel 3
n
n
n
1
1
    n , y de igual modo
a
a
 a n  a n
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Potencias
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 MUY IMPORTANTE: La potencia de sumas y restas NO ES
IGUAL a la suma o resta de las potencias, así:
a  bn  a n  bn
 Ejemplo: 1  13  23  8  13  13  1  1  2
n
n
n
 a  b  a  b , salvo que a = b.
 Ejemplo: 2  13  13  1  23  13  8  1  7
2
2
2
2
2
Recuerda los productos notables, a  b  a  b  2ab  a  b


 OBSERVACIÓN: solo se pueden sumar potencias que tengan igual
base, salvo que realicemos previamente la potencia, así:
 23  23  23  23  4  23  22  23  223  25
 35  33  33  33  32  1  1  33 11



2  3  8  9  17  16 1  24 1

3
2
Potencia de base racional y exponente entero.
 Son aquellas en las que la base es una fracción, y el exponente un
número entero.
 Para operar con ellas procederíamos como si se tratara del cociente
de dos potencias de distinta base, para ello lo primero es siempre simplificar.
 Propiedades:
 Las mismas de los apartados anteriores.
Actividades de aplicación.
P1.- Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de
producto o cociente de potencias de base un número primo y exponente positivo:




d) 7
a) 32  23  52  25  33  53 
c) 73  43  53  63 
e)
34  73  213

3  215
 
f) 34
32  25  7

h)
3  23


 5   2  5  
b) 23  3  52  22  3  5 
5
2
 23


3
2

3
g) 3  a 2 

3

2 3 4
j)     
3 4 5
i) a  3  3  a 
3
2
2
2
P2.- Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de
potencia de base y exponentes los que creas más adecuados en cada caso:


d) 4,2  4,2 
3
a) 43  42 
4
Adaptaciones nivel 3
 3 1

e) 7
b) 53  5 2

3

2
 75
Página.- vii


2

  
f) 9  
c) 7  4
2
3 3
Potencias
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
3

3 2
g) 9  9
2


2 3
2
5 3
3
5 2
2
5 2
l) 27 2
6
3
3 4
3



r) 5,15  5,17 
3

 3 1
4
 7 2
3
2

  
o) 16  8 
4
k) 9 2
3
i) 92
  
n) 9  3  
q) 3  3  
t) 3,2  3,2  
w) 9  10   3  10  
2
3 2
2
 
1
h)   
 3

m) 8  4  
p) 27  9  
s) 5  5  
v) 9  9  
j) 272  94
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u) 73  7 4

2

4
P3.- Efectúa las siguientes operaciones dando el resultado como una sola potencia:
 

d)  211   23

j) 9

 27 
4
g) 23  43
2

2


e) 42  83
2


2
4


i) 5

3
f) 8 2  43 


2

k)  212   85 


c) 32  34  35 

   
h) 163  83

4 4
3
b) 45  4 6  44
a) 23  25  27 
3

l) 6
3
 252 
3
 36 2

1

P4.- Calcula en cada caso el valor del exponente a, para que se cumplan las igualdades:

a) 3a  35


2

 314
d)  5   5
b) 25  2a

5 2
a
2
 
c) 65 
a 2
 26
2
3
a
 1  1  1  1
e)               
 2  2  2  2
  5
20
a
  1 2   1 4
f)         
 5    5 


i) 83  a 6  821

 610
2
2
1
g)    49
a
 
j) a 4
2
 118
h) 23  a 2  27
k)  3  a 5   3
11
4
P5.- Realiza las siguientes operaciones simplificando al máximo los resultados y dando
este en forma de potencia:
 24  63
3
7
6
 
2
 
3
 3  9   3
b)         
 4  4 8
c)  1   23   2 
a 3  c 3  b
d)  2 2  4 
b a c
 23  32 22  3  52
e)  1   2  

5  23
 5
f)  2  14   2 
23  c 3  4
g)  2 4  4 
2 4 c
 33  52 32  5  2 2

h)  1   2  
2
2
3

5


33  52  32  5 2 2 

   2 
i)
2 1
3  5 
 2
a)
123

25  32  28  36  26

j)
34  3 2  216  25
Adaptaciones nivel 3
4
3

32  
3 


k) 2    4 

5  



Página.- viii
3
2

l) 36  3 2

3
 3 2 
Potencias