DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS APUNTES DE AULA Año académico: 2006-2007 I.E.S. “La Ería” Departamento Didáctico de Matemáticas Nivel: ESO 2º ciclo Tema: Potencias de números reales. Complementos teórico-prácticos. Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S. Potencias. Definición: La notación an determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces. Base Exponente an El exponente, n, indica las veces que se repite la base en el producto de ésta por si misma. La base, a, es el factor que se repite en el producto. Potencia Ejemplo: 53 5 5 5 125 Conceptos: La potencia no es más que una notación o forma de escritura abreviada de productos en los que se repiten los factores, base de la potencia, un número determinado de veces, indicado por el exponente. Debemos distinguir siempre cuáles son los tipos de números que intervienen en ella, ya que las propiedades de la suma y producto que se cumplen, o no, con cada clase de número, siguen estando vigentes, así: 9 9 9 3 9 3 3 3 3 3 3 33 8 8 8 8 4 8 2 2 2 2 2 25 Las propiedades específicas de las potencias se deducen fácilmente de las de las operaciones con cada tipo de número, natural (ℕ), entero (ℤ) o racional (ℚ). La regla de los signos para el producto y el cociente de números enteros debe ser tenida en cuenta por separado para la base y para el exponente. Recuerda: — : — Mirar y ver, mirar — — lo genérico y ver lo específico, y viendo — — — — lo específico generalizar el resultado. Todas las propiedades están interrelacionadas entre sí, pero las desarrollaremos paso a paso. Adaptaciones nivel 3 Página.- i Potencias DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS APUNTES DE AULA Potencia de base y exponente Natural. Quiere decir que tanto la base como el exponente son números naturales y por lo tanto no tienen signo, o podemos considerar éste positivo siempre. Son las más elementales. Propiedades: p q pq Producto de potencias de igual base: a a a Es otra potencia que tiene por base la común y por exponente la suma de los exponentes, ya que: 33 32 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35 332 , hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad asociativa del producto de números naturales. De modo inverso, 35 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 32 c.q.d. IMPORTANTE: todas las propiedades se pueden leer en los dos sentidos, de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Así, de este modo: 75 712 7125 717 1111 119 112 116 115 etc. ... p p Potencia de un producto: a b a b p La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor, ya que: 2 33 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 23 33 , hemos aplicado la definición de potencia y las propiedades conmutativa y asociativa del producto. De otro modo: 2 33 63 6 6 6 2 3 2 3 2 3 23 33 . Al igual que en el apartado anterior, las propiedades son de ida y vuelta, así: 155 3 55 35 55 . 93 253 9 253 2253 p Potencia de una potencia: a q a p q La potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene por base la que había y por exponente el producto de los exponentes, ya que: 2 2 2 2 2 2 3 22 22 22 2 2 26 223 , hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad asociativa del producto. Adaptaciones nivel 3 2 2 2 Página.- ii 2 Potencias DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS APUNTES DE AULA De otro modo: 2 4 3 4 4 4 22 22 22 22 2 2 26 Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así: 2 3 3 9 2 6 218 26 22 29 23 , adoptaremos la notación que más convenga a nuestros propósitos de cálculo. p ap a Potencia de un cociente: p b b La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del numerador y denominador, ya que: 3 2 2 2 2 2 2 23 2 , hemos aplicado la definición 3 3 3 3 3 3 33 3 de potencia y la propiedad del producto de fracciones. Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así: 3 3 3 3 123 12 4 3 22 3 2 , hemos aplicado 183 18 2 9 2 32 3 además la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción, es un método práctico y muy útil para realizar cálculos complejos, recuerda la regla de oro del cálculo, antes de operar, descomponer y simplificar. ap p q Cociente de potencias: q a a El cociente de potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene por base la común y por exponente la diferencia de los exponentes del numerador menos el del denominador, ya que: 25 2 2 2 2 2 2 2 22 253 , hemos aplicado la 3 222 2 definición de potencia y la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción. De otro modo: 3 25 23 22 23 22 2 4 3 13 4 1 22 22 , ya que 3 3 2 2 2 1 2 1 el uno es el elemento neutro del producto, es decir, cualquier número, expresado éste en cualquier forma (decimal, fraccionaria, potencia, etc. ...), multiplicado por uno es igual a sí mismo, y además 1 1 1 1 1 . Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así: Adaptaciones nivel 3 Página.- iii Potencias DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS APUNTES DE AULA 3 3 512 29 23 2 2 2 3 3 82 6 2 2 2 8 64 2 2 22 3 Potencia de base Entera y exponente Natural. Ahora la base tiene signo, por lo que lo primero y más importante va ha ser siempre determinar cuál va ha ser el signo final de la potencia. Para ello habrá que tener muy presente la regla de los signos para el producto y el cociente, fijarse además en si el exponente es par o impar y por último en si el exponente afecta a toda la base, incluido el signo, o si no afecta al signo, ya que: 12 1 1 1, el exponente afecta al signo y es par, resultado positivo. 12 1 1 1 , el exponente no afecta al signo y es par, resultado negativo. 13 1 1 1 1, el exponente afecta al signo y es impar, resultado negativo. 13 1 1 1 1 , el exponente no afecta al signo y es impar, resultado negativo. 14 1 1 1 1 1 , el exponente afecta al signo y es par, resultado positivo. 14 1 1 1 1 1 , el exponente no afecta al signo y es par, resultado negativo. etc. ... Tener presente el signo como un factor más de la base, así: 24 14 24 1 24 24 , ya que: 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 4 23 13 23 1 23 23 26 16 26 1 26 26 26 1 26 26 etc. ... Cuidado con las potencias de una potencia, ya que: 2 2 , ya que: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 De otro modo: 2 1 2 1 2 2 2 2 , ya que: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 De otro modo: 2 1 2 1 2 2 2 3 6 2 3 3 2 3 3 2 3 2 etc. ... Adaptaciones nivel 3 3 3 3 3 2 3 3 3 6 3 3 3 26 6 6 2 3 2 2 2 2 3 2 Página.- iv 2 2 6 2 2 2 2 2 2 26 6 Potencias DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS APUNTES DE AULA Luego hay que fijarse muy bien en cuál es realmente el exponente que afecta al signo de la base, y en si éste es par o impar. Resumiendo: Exponente Afecta al signo Par o impar Resultado Base negativa Si Par Positivo Base negativa No Impar Negativo Base negativa Si Impar Negativo Base negativa No Par Negativo Base positiva Si Par Positivo Base positiva No Impar Positivo Base positiva Si Impar Positivo Base positiva No Par Positivo Tenerlo siempre presente. Propiedades: Las mismas de antes, salvo que ahora hay que tener en cuenta que para que las bases sean iguales han de coincidir en todo, el número y el signo. Potencia de base y exponente Entero. Son aquellas en las que tanto la base como el exponente son números enteros, y por lo tanto ambos vienen dotados de signo. El significado del signo de la base y los cuidados que con él hay que adoptar ya han sido tratados, ahora debemos saber qué significado tiene el signo del exponente. Veamos qué ocurre con el siguiente cociente de potencias de igual base: 33 33 4 31 , por otro lado, haciendo la simplificación de los factores 4 3 33 333 1 de la fracción 4 , como ambos resultados deben coin3333 3 3 1 cidir, entonces 31 , es decir, el signo del exponente nos indica si la 3 base está donde debe estar o no, así si el exponente es positivo indica que la base está bien donde está, y si es negativo indica que está cambiada de sitio. Adaptaciones nivel 3 Página.- v Potencias DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS APUNTES DE AULA Ejemplos: 3 3 1 1 5 3 51 53 5 5 2 2 2 2 1 52 5 2 2 2 2 2 , es decir, en el caso de una 5 2 5 2 5 2 fracción o de la potencia de exponente negativo de un cociente, ésta se transforma en la potencia de exponente positivo del inverso del cociente o de la inversa de la fracción. 3 4 1 1 4 4 3 3 , de modo rápido e intuitivo, lo más rápido 4 3 3 es cambiar de sitio a la base cambiando a su vez el signo del exponente. 2 2 2 32 3 2 3 2 , ojo, la regla de signos para la base 2 3 2 2 es independiente del signo del exponente, solo depende de si éste es par o impar. 2 3 2 2 etc. ... 3 2 3 3 2 3 3 33 3 3 3 2 2 2 1 2 6 6 2 2 12 1 1 1 2 6 1 2 6 , ya que 1 2 2 1 1 1 Propiedades: Las mismas de antes, pero además: 0 Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad: a 1 72 49 Ya que 70 72 2 72 7 2 2 1 , o bien, de otro modo, 49 7 8 23 tenemos que 1 3 233 20 , y como en lugar de 2 podemos 8 2 emplear cualquier número, la generalización queda probada. 1 Toda potencia de exponente uno es igual a la base: a a n Cualquier potencia de la unidad es igual a sí misma: 1 1 Para transformar potencias de exponente negativo en otras de exponente positivo, basta con calcular la potencia de exponente positivo del inverso de la base: a 1 1 tenemos que n a a Adaptaciones nivel 3 n n n 1 1 n , y de igual modo a a a n a n Página.- vi Potencias DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS APUNTES DE AULA MUY IMPORTANTE: La potencia de sumas y restas NO ES IGUAL a la suma o resta de las potencias, así: a bn a n bn Ejemplo: 1 13 23 8 13 13 1 1 2 n n n a b a b , salvo que a = b. Ejemplo: 2 13 13 1 23 13 8 1 7 2 2 2 2 2 Recuerda los productos notables, a b a b 2ab a b OBSERVACIÓN: solo se pueden sumar potencias que tengan igual base, salvo que realicemos previamente la potencia, así: 23 23 23 23 4 23 22 23 223 25 35 33 33 33 32 1 1 33 11 2 3 8 9 17 16 1 24 1 3 2 Potencia de base racional y exponente entero. Son aquellas en las que la base es una fracción, y el exponente un número entero. Para operar con ellas procederíamos como si se tratara del cociente de dos potencias de distinta base, para ello lo primero es siempre simplificar. Propiedades: Las mismas de los apartados anteriores. Actividades de aplicación. P1.- Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de producto o cociente de potencias de base un número primo y exponente positivo: d) 7 a) 32 23 52 25 33 53 c) 73 43 53 63 e) 34 73 213 3 215 f) 34 32 25 7 h) 3 23 5 2 5 b) 23 3 52 22 3 5 5 2 23 3 2 3 g) 3 a 2 3 2 3 4 j) 3 4 5 i) a 3 3 a 3 2 2 2 P2.- Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de potencia de base y exponentes los que creas más adecuados en cada caso: d) 4,2 4,2 3 a) 43 42 4 Adaptaciones nivel 3 3 1 e) 7 b) 53 5 2 3 2 75 Página.- vii 2 f) 9 c) 7 4 2 3 3 Potencias DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS 3 3 2 g) 9 9 2 2 3 2 5 3 3 5 2 2 5 2 l) 27 2 6 3 3 4 3 r) 5,15 5,17 3 3 1 4 7 2 3 2 o) 16 8 4 k) 9 2 3 i) 92 n) 9 3 q) 3 3 t) 3,2 3,2 w) 9 10 3 10 2 3 2 2 1 h) 3 m) 8 4 p) 27 9 s) 5 5 v) 9 9 j) 272 94 APUNTES DE AULA u) 73 7 4 2 4 P3.- Efectúa las siguientes operaciones dando el resultado como una sola potencia: d) 211 23 j) 9 27 4 g) 23 43 2 2 e) 42 83 2 2 4 i) 5 3 f) 8 2 43 2 k) 212 85 c) 32 34 35 h) 163 83 4 4 3 b) 45 4 6 44 a) 23 25 27 3 l) 6 3 252 3 36 2 1 P4.- Calcula en cada caso el valor del exponente a, para que se cumplan las igualdades: a) 3a 35 2 314 d) 5 5 b) 25 2a 5 2 a 2 c) 65 a 2 26 2 3 a 1 1 1 1 e) 2 2 2 2 5 20 a 1 2 1 4 f) 5 5 i) 83 a 6 821 610 2 2 1 g) 49 a j) a 4 2 118 h) 23 a 2 27 k) 3 a 5 3 11 4 P5.- Realiza las siguientes operaciones simplificando al máximo los resultados y dando este en forma de potencia: 24 63 3 7 6 2 3 3 9 3 b) 4 4 8 c) 1 23 2 a 3 c 3 b d) 2 2 4 b a c 23 32 22 3 52 e) 1 2 5 23 5 f) 2 14 2 23 c 3 4 g) 2 4 4 2 4 c 33 52 32 5 2 2 h) 1 2 2 2 3 5 33 52 32 5 2 2 2 i) 2 1 3 5 2 a) 123 25 32 28 36 26 j) 34 3 2 216 25 Adaptaciones nivel 3 4 3 32 3 k) 2 4 5 Página.- viii 3 2 l) 36 3 2 3 3 2 Potencias