ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales

Colegio Don Bosco –Salesianos.
ALICANTE
Departamento de Matemáticas
Prof : J.A. Hernández
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.
2.
3.
4.
Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número
resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han
ido de excursión? Sol: (8, 7, 5)
Una tienda posee tres tipos de conservas cárnicas: A, B y C. Un cliente compra el primer mes 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, teniendo que abonar 840€. Al
mes siguiente compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 690€.. Sabiendo que el precio medio de los tres productos es 15€., encuentra el precio de cada una
de las unidades. ( Sol: (12, 15, 18)
Un comerciante compra 12 equipos de música, 14 televisores y 10 ordenadores y paga por ello 15.000 €. En otra ocasión compra 5 equipos, devuelve 6
televisores y compra 2 ordenadores, pagando 390 €. Finalmente otro día compra 10 equipos, 5 televisores y devuelve 1 ordenador, pagando 4.980 €. Calcular los
precios de cada artículo. Solución: Equipos: 350 €. Televisores: 400 €. Ordenadores: 520 €.
Tres empresarios aportan a una sociedad 120 millones de euros entre los tres. El doble de lo que aporta el primero más el triple de lo que aporta el segundo es
igual al cuádruplo de lo que aporta el tercero. Hallar todas las posibles cantidades que puede aportar cada uno sabiendo que estas cantidades son enteras (en
millones).
Solución: El 1º aporta (360 – 7t) millones. El 2º aporta (-240 + 6t) millones. El 3º aporta


41
,
42
,
43
,
44
,.....,
51
millones. t
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
16.
Una cierta semana los artículos A, B y C se rebajan el 5%, 6% y 8% el lunes. El 2%, 8% y 6% el martes. El 4%, 2% y el 5% el viernes. Sabiendo que un cliente
adquiriendo dichos artículos se ahorra: 181 €. el lunes, 162 €. el martes y 100 €. el viernes, ¿queda determinado el precio de los artículos A, B, C? Solución:
No quedan determinados los precios.
Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto
C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el
precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto del precio inicial. Si
compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento,
debe abonar 135 euros. Calcúlese el precio de cada producto antes de las ofertas.
El presupuesto de una empresa es de 112 millones, que se emplean en: propaganda, compra de material y sueldos. Se sabe que cinco veces lo que se gasta en
propaganda más el doble de lo que se gasta en material equivale a lo gastado en sueldos y aún le faltan 10 millones. La quinta parte de la suma de lo gastado en
material y sueldo es igual a 11 veces lo gastado en propaganda. Hallar las cantidades gastadas en propaganda, material y sueldos. Sol: Propaganda:2 mill,
material:30 mill, sueldos:80 mill.
Juan, Pedro y Alberto salen de casa reuniendo entre los tres 150 € y llevan solamente billetes de 10€. Juan gasta la mitad de lo que lleva, Pedro la tercera parte
y Alberto la cuarta parte, gastando entre todos 45€. Averiguar cuanto lleva cada uno sabiendo que Alberto lleva menos de 90€. Solución: Juan 10€., Pedro 60€.
y Alberto 80€.
Una persona ha colocado tres capitales A, B, C durante un año de las siguientes maneras:
a) La 1ª vez: A al 2%, B al 4% y C al 6%, dándole una renta de 124€.
b) La 2ª vez: A al 8%, B al 6% y C al 4%, dándole una renta de 176€
¿Es posible que dichos capitales sumen 4000€?
Una empresa concede 27.200€ para ayudas a 100 estudiantes hijos de empleados. Establece tres cuantías diferentes en función de sus niveles educativos, A, B
y C; 400€. para los del nivel A, 160 para los del B y 200 para los del C. Si para el nivel A destina cinco veces más de dinero que para el B, ¿cuántos estudiantes
hay en cada nivel?
Sol: ( 40, 20, 40 )
Encontrar el numero de tres cifras que verifica:
a) La suma de sus cifras es 24
b) la diferencia de las cifras de las centenas y las decenas es 1
c) Si se intercambian las cifras de las unidades y las centenas el numero disminuye en 198
Nuestro proveedor de mesas nos cobra por una pequeña, dos medianas y una grande, 305 €. En otra ocasión, por dos pequeñas, tres medianas y dos grandes,
540€.
a) ¿Cuánto nos cuestan 5 pequeñas, 9 medianas y 5 grandes? b) ¿Cuál es el precio de una mesa mediana? c) ¿Cuánto vale una pequeña mas una grande?
d)¿Podemos calcular el precio d una mesa pequeña? e) Si añadimos la condición que una grande vale el doble de una pequeña ¿cuál es el precio de cada
uno de los tipos de mesa?
a) ¿Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas puede ser indeterminado?
b)
Seis amigos acuden a una heladería del centro de Palma. Un día, por un helado gigante, un granizado y cuatro vasos de agua mineral, pagan 34€. Al día
siguiente pagan por cuatro helados gigantes y dos granizados, 44€. Busca los precios del helado y del granizado en función del precio del agua mineral y
también en el caso de que esta valga 5€
Por 9 entradas de Patio (BP), 6 de Anfiteatro I (AI) y 9 de Anfiteatro II (AII) ha pagado 480 euros. A otra persona le han cobrado 140 euros por 4 de AI y 6 de AII
y una tercera persona paga 160 euros por 3 de BP, 2 de AI y 3 de AII.
b) Determine, sólo con estos datos, el precio de las Butacas de Patio. Sol: 30€



30
;
AI

(
70

3

)
/2
;
AII


c) ¿Puede determinar el precio de las entradas de Anfiteatro I y II? Sol: No. BP
d) Si le dicen que el precio de las de Anfiteatro I es el doble de las de Anfiteatro II, ¿podría entonces determinar esos
precios?. Si la respuesta es si,
determínelos.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.


BP

30
;AI

10
;AII
20
1
2
Hallar X2 + Y2, siendo X e Y las soluciones del sistema matricial siguiente: 2X + Y = 

4
 ; X-Y=
0

1

1

1
 .
0 

En una confiterita envasan los bombones en cajas de 250g, 500g y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total , habiendo 5 cajas más de tamaño
pequeño ( 250 g) que de tamaño mediano ( 500g). Sabiendo que el precio del kilo de bombones son 40€ y que el importe total de los bombones envasados
asciende a 1250€: a) Plantea un sistema para determinar cuantas cajas se han envasado de cada tipo. b) Resolver el sistema
En una cierta heladería por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos le cobran 34€. un día. Otro día por 4 copas de la casa y 4 horchatas le cobran
44€. Y un tercer día le piden 26€ por una horchata y cuatro batidos. ¿Tiene usted motivos para pensar que alguno de los tres días le han presentado una cuenta
incorrecta?.
En el supermercado, por 2 litros de leche, 2 barras de pan y 1 Kg de azúcar le cobraron un día 490 pts. y otro día, por 1 litro de leche, 1 barra de pan y 1 Kg de
azúcar pagó 320 pesetas.
¿Puede determinar con estos datos los precios de la barra de pan, el litro de leche y el Kg. de azúcar? ¿Y alguno de ellos?
Solución: No; Si, el Kg. de azucar cuesta 150 ptas.
Si un tercer día le piden 540 pesetas por tres litros de leche y tres barras de pan, ¿puede estar seguro de que alguno de los tres días se han equivocado al hacer
la cuenta?
El presupuesto para muebles de un Instituto es cinco veces la suma del de libros más el de material de oficina. El presupuesto para libros es el triple del de
material de oficina. La suma de lo presupuestado para muebles y material de oficina es 7 veces lo destinado a libros.¿Puede saber con estos datos el dinero
destinado a cada una de las tres cosas?. Justifique su respuesta. Determine las tres cantidades, sabiendo que para libros hay 3000€. Sol: (20000, 1000 , 3000 ).
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24.
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Hallar un número de 3 cifras sabiendo que suman 9; que si del número dado se resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198; y que
además, la cifra de las decenas es media aritmética entre las otras dos
Solución: 432
25. Resolver, por el método de Gauss y aplicando la matriz inversa :
26.
27.


2xyz 1

x3y 2
4x13yz 17

Jun _ 02 Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 2115 €. Calcular de forma razonada cuantos viajeros han pagado
el importe total del billete, que vale 9€, cuantos han pagado el 20% del billete cuantos el 50% sabiendo que el numero de viajeros que han pagado el 20% es el doble
del numero de viajeros que ha pagado el billete entero.
Sep _ 02 Si tenemos las matrices reales:
2

1



5
8
1
1

1
3
7

 
 


 


 
A

,
B

,
C


3
2
y
D



. Se pide: a)






9
4
2

3
2
1
2

  
 
 
1
4


calcula la matriz M=A-2BC . b) Justifica que existe la matriz D-1 inversa de D y calcularla. c) Calcular las matrices X,Y que cumple DX=M=YD
28.


Sep _ 03 El precio del billete de una línea de autobuses se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un billete
entre las poblaciones A y B se ha pagado 20€ y por un billete entre las poblaciones A y C se ha pagado 32€. Si la distancia de A a C es el doble de la distancia de
A a B, calcula de forma razonada cuanto se tendrá que pagar por un billete a una población que dista de A la mitad que B
2
10
3 

x
 




x
  



2
1

y

6





 obtener de forma razonada los valores de x,y,z.
Dada la siguiente ecuación matricial
y

 0 1
  z  3


 

29.
Jun _ 03
30.
Jun _ 03
Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron de pagar 3€. Al día siguiente tomaron
un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3,25€. El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche,
ascendiendo la cuenta a 2,45€. Calcular de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche.
31.
Juan decide invertir una cantidad de 12.000€ en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C
juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se ha revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como
resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 €. Determinar cuanto invirtió Juan en cada una de las empresas.
32.
Dos hijos deciden hacer un regalo de 100€ a su madre. Como no tiene suficiente dinero, cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo
de la siguiente forma: el padre paga el triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2€ que paga el hermano menor, el mayor paga 3€ ¿cuánto dinero ha de
pagar cada uno?
33.
Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados en la calle. Pedro reparte siempre el 20%
del total de la propaganda, Juan reparte 100 hojas más que Elena y entre Pedro y Elena colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistema de ecuaciones que
permita averiguar cuántas hojas reparten, respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores.
34.
35.
Jun _ 04
Jun _ 04
Jun _ 05
Sep _ 05
Dos hermanos deciden invertir 10000 € cada uno en distintos productos financieros. El mayor invirtió una cantidad A en un producto que ha
proporcionado un beneficio del 6%, una cantidad B en otro que ha dado una rentabilidad del 5% y el resto en un plazo fijo al 2% de interés. El hermano menor invirtió
esas mismas cantidades en otros productos que le han proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3 y 7 %. Determinar las cantidades A, B y C invertidas
si las ganancias del hermano mayor han sido 415 € y las del pequeño 460 €.
Jun _ 06 Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de € en terreno urbano, 250000€ en terreno
industrial y 250000€ en terreno rustico. La segunda invirtió 125000, 250000 y 250000 € en terreno urbano,, industrial y rustico, resp. Y la tercera, 100000, 100000 y
200000€ en estos mismos tipos de terreno resp. Transcurrido un año, vende todos los terrenos. La rentabilidad que obtienen la primera constructora es del 13,75%, la
de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terrenos por separado.
36.
37.
Sep _ 06
En el primer curso de bachillerato de un instituto hay matriculados un total de 65 alumnos divididos en tres grupos: A,B y C. Comen en el centro 42 de
ellos, que corresponde a la mitad de los del grupo A , las cuatro quintas partes de los del B y las dos terceras partes de los del C. A una salida fuera del centro
acudieron las tres cuartas partes de los alumnos del grupo A, todos los del B y las dos terceras partes de los del C, sumando en total 52 estudiantes. ¿Cuántos
alumnos hay en el centro?
Jun _ 06
Resolver aplicando el método de
xyz1

2xyz0
2x7yz4

Cramer:
xy2z 6

xz 5
2xy 11

.
Sep _ 07
Obtener todas las soluciones del sistema
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Jun _ 07
Los tres modelos existentes de una marca de automóviles cuestan 12000,15000 y 22000 € resp. Un concesionario ha ingresado 1265000 € por la venta
de automóviles de esta marca. ¿Cuántos coches ha vendido de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como de los otros dos juntos y del más caro la
tercera parte de los coches que cuestan 15000€?
Sep _ 07 Se están preparando dosis de dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo del complemento A contiene 2 uni. de
riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B contiene 2 uni. de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuantos gramos de cada
complemento son necesarios para producir exactamente una dosis con 12 uni. de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos?






40.
Sep _ 08 Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo íntegramente comprando un ordenador portátil, una
cámara digital y haciendo un viaje. El precio del ordenado portátil excede en 140 euros a la suma de los precios de la cámara y del viaje. Teniendo en cuenta que el
precio de un segundo acompañante para el viaje es la mitad que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en el caso de que no se comprara la
cámara digital y todavía le quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje.
41.
Jun _ 08 Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias obtenidas por la venta de una plaza de
garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y 6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50%
más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido
por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B.
42.
Sep _ 09 En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma de los que están en contra y los que no
opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número
de individuos a favor y el número de los que están en contra de la citada normativa. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en
contra y cuántos no opinaron.
43.
Sep _ 10 En un cine se han vendido en una semana un total de 1405 entradas y la recaudación ha sido de 7920 euros. El precio de la entrada normal es de 6 euros
y la del día del espectador 4 euros. El precio de la entrada para los jubilados es siempre de 3 euros. Se sabe, además, que la recaudación de las entradas de precio
reducido es igual al 10% de la recaudación de las entradas normales. ¿Cuántas entradas de cada tipo se han vendido?
44.
Jun _ 11 Un comerciante vende tres tipos de relojes, A, B y C. Los del tipo A los vende a 200 euros, los del tipo B a 500 euros y los del tipo C a 250 euros. En un
mes determinado vendió 200 relojes en total. Si la cantidad de los que vendió ese mes del tipo B fue igual a los que vendió de tipo A y de tipo C conjuntamente, calcula
cuántos vendió de cada tipo si la recaudación de ese mes fue de 73500 euros.






45.
Jun _ 13 Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades de memoria externa, de lectores de libros electrónicos y de tabletas gráficas a un precio
de 100, 120 y 150 euros la unidad, respectivamente. El importe total de la compra fue de 1160 euros y el número total de unidades adquiridas 9. Además, compró una
unidad más de tabletas gráficas que de lectores de libros electrónicos. ¿Cuántas unidades adquirió de cada producto?
46.
Jun _ 14 Después de aplicar un descuento del 10% a cada uno de los precios originales, se ha pagado por un rotulador, un cuaderno y una carpeta 3,96 euros. Se
sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador.
Calcula el precio original de cada objeto.
47.
Jul _ 14 Cierta persona invierte un total de 7000 € en acciones de las empresas A y B y en un depósito a 12 meses al 1 %. Pasado un año, vende sus acciones,
obteniendo una rentabilidad del 5 % en las acciones de la empresa A y del 3 % en las de B. El beneficio total de sus tres inversiones es 202 €. Determina qué cantidad
destinó a cada inversión si sabemos que el dinero total destinado a comprar acciones superó en 2600 € al dinero del depósito.