COMPUTACIÓN CIENTÍFICA I 8 de Septiembre de 2000 1. (2 puntos) Se ha obtenido un valor aproximado de 5 2.236 con los cuatro dígitos significativos. a) Calcular el error absoluto y el error relativo de esta estimación. b) Comprobar analíticamente que la siguiente igualdad es correcta 1 161 72 5 4 52 1 c) Se quiere calcular el valor de y a partir del valor aproximado de 4 52 5 . Comparar el error relativo que se comete cuando y se calcula mediante la expresión original y cuando la computación se realiza con la expresión equivalente 161 72 5 . Expresar el resultado de ambas evaluaciones en forma de valor obtenido y valor absoluto. ¿Cuál de las dos expresiones es preferible? Explicar brevemente. SOLUCIÓN: a) 5 2.236 0.001; x 2.236; x 0.001 Error absoluto: x 0.001 x 0.001 4.5 10 4 (en tanto por uno) Error relativo: x 2.236 b) Mediante una racionalización: 1 52 4 4 52 161 72 5 5 44 c) Para la primera expresión 1 y1 0.003106 3 106 ; 4 2 x Errorabsoluto: y1 4 x 0.003 x 3 106 ; 5 2 x y1 4 x x x 2.2 103 2 x x y1 x Para la segunda expresión y 2 161 72x 0.01 0.08; Errorrelativo: Errorabsoluto: y 2 72 x 0.08; y1 x x 72x(2 x ) 4 6 104 24 y1 x x La primera expresión es preferible porque evita calcular un número pequeño mediante una diferencia entre números grandes de magnitud similar. Errorrelativo: 2. (2 puntos) La serie S ( x ) x 2 x x 2 x 4 x 8 x16 está definida en el n n 0 intervalo 1 x 1 . Para valores próximos a 1, el término dominante en la expresión log(1 x) S ( x) es una constante, c . Estimar esta constante, junto con el error log 2 aproximado, mediante una extrapolación a partir de los valores tabulados de la serie x S(x) 0.98 0.99 0.999 5.316696 6.313900 9.633315 SOLUCIÓN: Se tabula los valores estimados para la constante a partir de los datos para la serie x 0.98 0.99 0.999 S(x) 5.316696 6.313900 9.633315 c(x) =-(S(x) + log(1-x)/log 2) 0.327160 0.329956 0.332469 A partir de estos valores la extrapolación se puede hacer mediante el método de diferencias divididas. 1-x 0.02 0.01 0.001 c(x) 0.327160 0.329956 0.332469 -0.279600 -0.279233 0.019328 c c(0) 0.332469 0.279233 (0 0.001) 0.019328 (0 0.001) (0 0.01) 0.332749 De manera equivalente, se puede suponer un modelo cuadrático c( x) c b(1 x) a(1 x) 2 , del cual se obtendrían 3 ecuaciones con 3 incógnitas, a resolver por (por ejemplo) el método de Gauss c 0.02b 0.022 a 0.327160 c 0.01b 0.012 a 0.329956 c 0.001b 0.0012 a 0.332469 3. (3 puntos) Aproximar la función cos(x) en [0,1] mediante la expresión a bx utilizando el criterio de Chebyshev. Comparar con la aproximación mediante un desarrollo de Taylor de primer orden en torno al punto medio del intervalo. Explicar si son idénticas o no y por qué. ¿Cuál es comportamiento del error de aproximación en ambos casos? Dibujar las gráficas del error. SOLUCIÓN: Función a aproximar: g ( y )cos y; y 0,1 El desarrollo de Chebyshev está definido en [-1,1], por lo que habrá que realizar un cambio de variable y ( x ) 0.5( x 1); x 1,1, x( y ) 2 x 1; f ( y ) g y ( x ) cos0.5( x 1) ; y 0,1 x 1,1 Las fórmulas para la aproximación de Chebyshev ck 2r 1 2 N 2 N f ( r ) Tk ( r ) f (r ) cos 2( N 1) k ; N 1 r 0 N 1 r 0 2r 1 r cos ; 2( N 1) Chebyshev Con el fin de estimar el error junto a los coeficientes de la aproximación, elegimos N=2, y aplicamos 3 3 5 0 cos ; 1 cos 0; 2 cos ; 2 6 2 2 6 1 3 / 2 2 1 3 / 2 1 cos cos 1.6472 c0 cos 3 2 2 2 1 3 / 2 1 3 / 2 2 3 1 3 0 cos 0.2323 c1 cos cos 3 2 2 2 2 2 2 2 1 3 / 2 3 1 3 / 2 2 3 3 3 1 1 cos 1 0.0540 c2 2 cos 2 cos 3 2 2 2 2 2 2 2 g ( y ) 0.5c0 c1 (2 y 1) (0.5c0 c1 ) 2c1 y 1.0559 0.4646y Cotaerror: c2 0.054 Taylor: 1 g ( y ) cos0.5 sen0.5 ( y 0.5) cos0.5 ( y 0.5) 2 0.8776 0.4794( y 0.5) 2 Cotaerror: c2 0.11 y 0,1 4. (3 puntos) Calcular con tres dígitos de precisión los máximos y mínimos relativos de la función para x positivo 0.1 f ( x ) x 2 x e x x SOLUCIÓN: Se trata de encontrar los ceros de la función derivada, por ejemplo mediante Newton- Raphson 0.1 0.2 g ( x ) f ( x ) x 2 3x 1e x 2 ; g ( x ) x 2 5 x 4 e x 3 x x g ( xn ) xn 1 xn ; g ( xn ) Podemos utilizar como semillas los ceros de la parte polinomial de g(x), P( x) x 2 3x 1 La condición de máximo/mínimo la determina el signo de g ( x) f x g(x) -0.6854102 -0.20748879 -0.03593391 -0.00166528 -4.0337E-06 g'(x) 5.115011587 2.462667684 1.670673466 1.518456973 1.511107103 dx 0.133999735 0.08425367 0.021508635 0.00109669 2.66939E-06 0.38196601 (3-sqrt(5))/2 0.51596575 0.60021942 0.62172805 0.62282474 0.62282741 Mínimo g(x) -0.0145898 0.00077599 1.8029E-06 9.822E-12 6.245E-17 g'(x) -0.151966898 -0.168160941 -0.16737957 -0.167377746 -0.167377746 dx -0.096006456 0.004614592 1.07713E-05 5.86815E-11 3.73108E-16 2.61803399 (3+sqrt(5))/2 2.52202753 2.52664212 2.5266529 2.5266529 2.5266529 Máximo