COMPUTACIÓN CIENTÍFICA I 8 de Septiembre de 2000

COMPUTACIÓN CIENTÍFICA I
8 de Septiembre de 2000
1. (2 puntos) Se ha obtenido un valor aproximado de 5  2.236 con los cuatro dígitos
significativos.
a) Calcular el error absoluto y el error relativo de esta estimación.
b) Comprobar analíticamente que la siguiente igualdad es correcta
1
 161 72 5
4
52
1
c) Se quiere calcular el valor de y 
a partir del valor aproximado de
4
52




5 . Comparar el error relativo que se comete cuando y se calcula mediante la
expresión original y cuando la computación se realiza con la expresión
equivalente
161 72 5 . Expresar el resultado de ambas evaluaciones en
forma de valor obtenido y valor absoluto. ¿Cuál de las dos expresiones es
preferible? Explicar brevemente.
SOLUCIÓN:
a)
5  2.236 0.001; x  2.236; x  0.001
Error absoluto: x  0.001
x 0.001

 4.5  10 4 (en tanto por uno)
Error relativo:
x
2.236
b) Mediante una racionalización:

1
52

4



4
52
 161 72 5
5  44
c) Para la primera expresión
1
y1 
 0.003106 3  106 ;
4
2  x 
Errorabsoluto:
y1  
4
x  0.003 x  3  106 ;
5
2  x 
y1
4 x x
x

 2.2
 103
2  x  x
y1
x
Para la segunda expresión
y 2  161 72x  0.01  0.08;
Errorrelativo:
Errorabsoluto:
y 2  72 x  0.08;
y1
x
x
 72x(2  x ) 4
 6  104
 24
y1
x
x
La primera expresión es preferible porque evita calcular un número pequeño
mediante una diferencia entre números grandes de magnitud similar.
Errorrelativo:

2. (2 puntos) La serie S ( x )   x 2  x  x 2  x 4  x 8  x16   está definida en el
n
n 0
intervalo  1  x  1 . Para valores próximos a 1, el término dominante en la expresión

log(1  x) 
  S ( x) 
 es una constante, c . Estimar esta constante, junto con el error
log 2 

aproximado, mediante una extrapolación a partir de los valores tabulados de la serie
x
S(x)
0.98
0.99
0.999
5.316696 6.313900 9.633315
SOLUCIÓN:
Se tabula los valores estimados para la constante a partir de los datos para la serie
x
0.98
0.99
0.999
S(x)
5.316696
6.313900
9.633315
c(x) =-(S(x) + log(1-x)/log 2)
0.327160
0.329956
0.332469
A partir de estos valores la extrapolación se puede hacer mediante el método de
diferencias divididas.
1-x
0.02
0.01
0.001
c(x)
0.327160
0.329956
0.332469
-0.279600
-0.279233
0.019328
c  c(0)  0.332469 0.279233 (0  0.001)  0.019328 (0  0.001)  (0  0.01) 
0.332749
De manera equivalente, se puede suponer un modelo cuadrático
c( x)  c  b(1  x)  a(1  x) 2 ,
del cual se obtendrían 3 ecuaciones con 3 incógnitas, a resolver por (por ejemplo) el
método de Gauss
c  0.02b  0.022 a  0.327160
c  0.01b  0.012 a  0.329956
c  0.001b  0.0012 a  0.332469
3. (3 puntos) Aproximar la función cos(x) en [0,1] mediante la expresión
a  bx utilizando el criterio de Chebyshev. Comparar con la aproximación mediante un
desarrollo de Taylor de primer orden en torno al punto medio del intervalo. Explicar si
son idénticas o no y por qué. ¿Cuál es comportamiento del error de aproximación en
ambos casos? Dibujar las gráficas del error.
SOLUCIÓN: Función a aproximar: g ( y )cos y;
y  0,1
El desarrollo de Chebyshev está definido en [-1,1], por lo que habrá que realizar un
cambio de variable
y ( x ) 0.5( x  1);
x   1,1,
x( y ) 2 x  1;
f ( y ) g  y ( x ) cos0.5( x  1) ;
y  0,1
x   1,1
Las fórmulas para la aproximación de Chebyshev
ck 
 2r  1

2 N
2 N
f (  r ) Tk (  r ) 

 f (r ) cos 2( N  1) k ;
N  1 r 0
N  1 r 0


 2r  1 
 r  cos
 ;
 2( N  1) 
Chebyshev Con el fin de estimar el error junto a los coeficientes de la aproximación,
elegimos N=2, y aplicamos
3
3


 5 
 0  cos  
; 1  cos   0;  2  cos   
;
2
6 2
2
 6 
1 3 / 2 
2  1 3 / 2 
1
  cos   cos
   1.6472
c0   cos

3 
2
2
2



1 3 / 2 
1 3 / 2 
2 3
1
3
  0 cos  
   0.2323
c1  
cos
cos

3 2
2
2
2
2
 




2
2
 1 3 / 2 
 3
 1  3 / 2  
2   3 
3
3
1  
  1 cos
 
  1
  0.0540
c2    2
cos    2 
cos






3
2 
2
2
2
2   2 
 2


 

 
g ( y )  0.5c0  c1 (2 y  1)  (0.5c0  c1 )  2c1 y  1.0559 0.4646y
Cotaerror: c2  0.054
Taylor:
1
g ( y )  cos0.5  sen0.5 ( y  0.5)  cos0.5 ( y  0.5) 2    0.8776 0.4794( y  0.5)
2
Cotaerror: c2  0.11
y  0,1
4. (3 puntos) Calcular con tres dígitos de precisión los máximos y mínimos relativos de la
función para x positivo
0.1
f ( x )  x 2  x  e  x 
x
SOLUCIÓN:
Se trata de encontrar los ceros de la función derivada, por ejemplo mediante
Newton- Raphson
0.1
0.2
g ( x )  f ( x )   x 2  3x  1e  x  2 ;
g ( x )  x 2  5 x  4 e  x  3
x
x
g ( xn )
xn 1  xn 
;
g ( xn )
Podemos utilizar como semillas los ceros de la parte polinomial de g(x),
P( x)   x 2  3x  1
La condición de máximo/mínimo la determina el signo de g ( x)  f x 


g(x)
-0.6854102
-0.20748879
-0.03593391
-0.00166528
-4.0337E-06
g'(x)
5.115011587
2.462667684
1.670673466
1.518456973
1.511107103
dx
0.133999735
0.08425367
0.021508635
0.00109669
2.66939E-06
0.38196601 (3-sqrt(5))/2
0.51596575
0.60021942
0.62172805
0.62282474
0.62282741
Mínimo
g(x)
-0.0145898
0.00077599
1.8029E-06
9.822E-12
6.245E-17
g'(x)
-0.151966898
-0.168160941
-0.16737957
-0.167377746
-0.167377746
dx
-0.096006456
0.004614592
1.07713E-05
5.86815E-11
3.73108E-16
2.61803399 (3+sqrt(5))/2
2.52202753
2.52664212
2.5266529
2.5266529
2.5266529
Máximo