SAMARTIN 131

REVISTA DE OBRAS PUBLICAS.
PUBLICAS. Abril 1991.
1931. Pág.
Pág. 11 a 18
Optimización de mallas bidimensionales
en elementos finitos (*)
Por RUBEN MARTINEZ
Ingeniero de Caminos. Dpto. Estructuras ETSICCP. Madrid
AVELINO SAMARTIN
ETSICCP. Madrid
Catedrático Dpto. Estructuras ETSICCP.
La solución al problema de encontrar la malla óptima eenn Elementos Finitos (EF),
(EF), con un
u n determinado número de grados
rudos de
libertad,
libertad, presenta un
u n indudable interés en
e n la aplicación del
de método.
f
Enn la actualidad, el problema se plantea en
E
e n términos de un
un
finitos
proceso que permite obtener una mejor malla de elementos finitos
a partir
partir de una inicial.
inicial. La nueva malla se diseña matemáticamente
(remallado)
forma que el error del método sea lo más uniforme
(remallado) de forma
cálcdo. Sin embargo,
embargo, esta técnica de
posible en
e n todo el dominio de cálculo.
indudable interés y aplicación, al aumentar el número de grados de
permite deducir de un
libertad (gdl)
(gdl) de la aproximación, no permite
u n modo
directo el problema
problema de la malla óptima condicionada a un
u n número
problema se podrán deducir
fijo de gdl. Con
feo
Con la solución de este problema
algunos
criterios
y
recomendaciones
para
algzlnos
para el diseño de una malla de
elementos finitos, que
exigirá,
en
general,
en
proceso de remaqzle exigirá, e n
e n un
u n proceso
remallado,
llado, modificaciones menores.
problemas unidimensionales (barras
pilares simples),
Para problemas
(barras y pilares
simples), se
pueden encontrar soluciones analíticas.
2 - 0 más
pueden
analiticas. Para problemas 2-D
complicados (tensión
(tensión y deformación plana), se han utilizado métodos numéricos para obtener la malla óptima.
óptima.
Existen varios criterios de optimización, aqu~
aqui, se utiliza el del
mínimo
potencial total (EPT).
mtnimo de la energía
energh potencial
(EPT). Algunos ejemplos
ilustrativos del método de optimización se presentan, indicándose
algunas conclusiones.
conclusiones.
INTRODUCCION
El Método de los Elementos Finitos (MEF)
(MEF)
constituyen una muy eficiente técnica para resolver problemas de caracter muy general, existiendo multitud de programas basados en este
método.
método.
Debido al extraordinario desarrollo de este
método, ciertos problemas que presenta, deben
ser analizados
analizados minuciosamente. En general, estos
problemas están relacionados
relacionados con el grado de
exactitud de los resultados.
resultados. De hecho, durante la
pasada década,
década, se han realizado
realizado esfuerzos
esfuerzos consiconsiderables para determinar la bondad de los resul(*)
(*) Se admiten comentarios sobre el presente artículo
que podrán remitirse a la Redacción de esta Revista hasta
el 31 de julio de 1991.
1991.
ABRIL 1991
1991
tados y obtener algunas estimaciones prácticas
del error producido en los resultados de un cálculo por Elementos Finitos (referencias [1],
[l], [2] y
[3
]). La decisión del usuario en la colocación de
[3]).
los nodos influye de manera directa en la magnitud del error.
error.
investigaciones,
Actualmente, existen ciertas investigaciones,
dirigidos
dirigidos a conseguir métodos automáticos de
refinamiento de una malla existente introduciendo
introduciendo
nuevos grados de libertad (más
(más nodos o polinomios de mayor grado en algunos elementos).
elementos). Se
considera una malla mejorada, aquella en la que
la distribución de los errores es más uniforme.
En este artículo, se tratará de obtener una
malla óptima conservando el mismo número de
grados de libertad, siendo la posición de cada
nodo la incógnita a resolver. De la solución del
11
11
OPTIMIZACION DE MALLAS BIDIMENSIONALES
BIDIMENSIONALES EN ELEMENTOS FINITOS
problema pueden extraerse algunas
algunas recomendarecomendaciones y reglas a la hora de diseñar una malla de
elementos finitos.
finitos.
1
La referencia [4], puede considerarse pionera
en el estudio del análisis del error en EF. Parece
existir alguna relación entre la posición de los
nodos y la densidad de energía de deformación
(referencias [6] y [7]).
[7]).
l
l
---_
l
l
l
3
..~ p,~,
rl
C~_·
y\
-------------- --------------- " Cl;' -~
G~
p1,
D
u1
1
Ly
L
--
PROBLEMAS 1-D.
1-D. SOLUCION ANALITICA
\
-7
y
-
' - - - ~ - - - -L
- - - - - - - -
Un primer grupo de problemas que puede ser
resuelto mediante métodos analíticos,
analíticos, son los
problemas unidimensionales de clase Ca.
CO.La barra
sometida a esfuerzos axiles,
axiles, es un ejemplo muy
conocido
conocido de este tipo de problemas. En el caso de
una barra con sección
sección constante, es obvio, que la
solución óptima corresponde a una distribución
de nudos equidistantes. Cuando
Cuando la barra es de
sección variable la solución
solución no es conocida de
antemano.
Se
estudiará
el caso más simple de
antemano. Se
variación lineal de la sección.
sección.
El problema a resolver, representado en la
figura 1,
1, se formula matemáticamente, de la
siguiente forma:
forma:
~----~------~---
'-----~------
La ecuación en el dominio es:
es:
d EA ~)
du
_d_(
(
EA - ) = p(x)
p(x)
=
dx
[1]
[l]
Las condiciones
condiciones de contorno esenciales son:
son:
U
U
= u1
= u2
°
para x -= O
para x ==
=L
Las condiciones de contorno naturales.
naturales son:
son:
EA
du
~
-
parax=O
para
x =O
=-p¡
=-Pi
dx
Los principales resultados de este problema se
resumen a continuación:
continuación:
Matriz de rigidez:
rigidez:
A_
1 -1
¡U¡
T
-1 1
U2
=E-h
du
parax=L
para
x =L
En este caso particular, la variación de la secsección viene dada por la ecuación:
ecuación:
1iJ
[2]
P
donde las constantes h y p vienen definidas por
las expresiones:
h =
A (x) = A l + A 2 4 3 x
L
12
[1]
solución inicial correspondiente al caso de carga
constante, p(x)=q
p(x)==q (constante),
(constante), distribuída a lo
largo de ella, (O,L),
(O,L), y con desplazamientos nulo~
nulos
en los extremos (u¡==O,
==O)
(ul=O, uu,=O)
2
= q L
EA -- =
= P2
P2
dx
-~-~---
Figura 11
paraxE:(O,L)
para
x € (0,L)
dx
L
211
ln(
f+t)
REVISTA DE OBRAS PUBLICAS
-
-
-
-
-
OPTIMIZACION
OPTIMIZACION DE MALLAS
MALLAS BIDIMENSIONALES
BIDIMENSIONALES EN ELEMENTOS
ELEMENTOS FINITOS
FINITOS
siendo
siendo los
los parámetros:
p=
-
r--
1
h = T (1+ v 1-J.12)
y la variación de
de la sección
sección puede ser descrita por
las
las constantes:
constantes:
-_ 1
P-T
+ 1+JI=jf
4J.1
(4)
(4) Malla de
de N nodos
nodos (N-1
(N-1 elementos
elementos iguales).
iguales).
Los
Los resultados son:
son:
h~
que el
el caso
caso de
de sección
sección constante
Nótese que
p=O y las
las situaciones
situaciones
corresponde aa los
los valores J1==O
corresponde
A1j
A2 .....
Al ~oo vienen dadas
A1/A2
+oo00 Y
y A2j
A2/Al
dadas por los
los
p ==
= -1
- 1Y
y J1
p ==
= +11 respectivamente.
respectivamente.
valores J1
+
La solución aproximada a este
este problema
mediante el
el método de
de los
los Elementos Finitos
usando elementos
1-D con dos
dos nodos,
nodos, se
se
elementos lineales 1-D
ha comparado con la exacta, dichos
dichos resultados se
se
han obtenido en
en la referencia [7], habiendose
realizado
realizado un resumen en el
el presente artículo.
artículo.
p= _1_
( _
N-1
S
l +l
~l
2
i=l
N-1
S
N-i
ai
donde
donde
1-p+
2i-1
N-1
J.1
(1)
(1) Malla de
de dos
dos nodos
nodos (un
(un elemento
elemento simple)
simple)
Los
Los resultados
resultados de
de h y pp son
son independientes
independientes de
de
JiP
1-
n-
Casos
Casos particulares.
particulares.
1 .-- 1
,P-2
(2)
nodos (dos
(dos elementos
elementos iguaigua(2) Malla de
de tres
tres nodos
les)
les)
Los
Los resultados son
son en
en este
este caso:
caso:
-
h
= 1- J.12
T
__ 1
p- 2
+
N-l
1: ai
i=l
=
S
N=2 y N==3
N=3 los
los resultados
resultados ya se
se han
Para N==2
visto
visto en
en (1)
(1) y (2)
(2)
Para N=4
N=4 (3
(3 elementos
elementos iguales)
iguales)
-h = 1 - -----""----4 J.12
27-4 J.12
-p_
- -1
IJ
2
S-
+
4J.127-4 J.12
Para N=5 (4
(4 elementos
elementos iguales)
iguales)
Los
estan situados
situados en
en x==O,
x=O, x==Lj2
x=L/2 y
Los nodos estan
x=L.
x=L.
(3)
(3) Malla
Malla de
de tres
tres nodos
nodos (dos
(dos elementos
elementos disdistintos)
tintos)
La
La posición
posición óptima
óptima del
del nodo
nodo central
central viene
viene
dada
dada por
por
x = ~ [1+ l
2
J.1
ABRIL
ABRIL 1991
1991
(J 1
p2-1)]
h = 1 _ J.12 (5-9 JJ/)
16-5 J.12
- = l
P 2
+
J.1 (5-9 J.12)
2 (16-5 p2)
Para N==6
N=6 (5
(5 elementos
elementos iguales)
iguales)
Para
11 = 1 _
8 /12 (125-32 /12)
3125-1500 JJ2+64 JJ4
13
OPTIMIZACION DE MALLAS BIDIMENSIONALES EN ELEMENTOS FINITOS
- ++
__ 11
pp =-
22
44 P.1-1 (125-32
p.2)
(125-32 P2)
3125-1500
3125-1500 J12+64
p2+64J14
p4
-
-1 elementos dis(5)
(5) Malla de
de N nodos (N
(N-1
distintos).
tintos).
La posición de los nodos intermedios para la
malla óptima corresponde a la separación .1
A Ai
hi
entre
entre dos
dos nodos consecutivos
consecutivos i y i+
i+l1 (longitudes
(longitudes
de
de los
los elementos) y viene dada por las siguientes
expresiones:
expresiones:
+
Contrariamente a los problemas
oroblemas 1-D,
1-D. en este
caso no existen soluciones exactas, ni siquiera
para los problemas Ca,
CO, de hecho, se deben resolver por métodos numéricos.
L
Se
Se puede comprobar que si N
N --- ro
a, se obtiene
la solución exacta de h y de p.
6.
A A.A ¡,== a-1p
a-lp(1
(1 +p)i-I
p)l-1
PROBLEMAS
2-D. SOLUCION
SOLUCION NUMERICA
NUMERICA
PROBLEMAS 2-D.
con i =
= 1,2,...,
1, 2 ,...,N-l
N-1
donde
donde
Matemáticamente el problema se plantea de la
siguiente forma:
forma: la energía potencial total viene
dada por la expresión:
V=
= U==+VU+e Ve
V
== U
V --W W
donde
energia de deformación = S, <Jij8ij
o~,E;,
uU = energía
~1 Sv
dV
2
U, ==
= energía potencial ==
=
Ue
S$,
f.f, u.
u dV
dV +
t
VII
SA p.piu.ui dA
dA
$A
I
I
aij-,
componentes de las tensiones y
a;;, e¡ji son las componentes
deformaciones lineales.
I
ffi,
pi son
son las
las fuerzas
fuerzas másicas y fuerzas externas.
i , Pi
(~)~ -1
P - 1 - Jl
-
Ui
ui son
son las
las componentes
componentes de
de los
los desplazamientos.
Los
Los valores
valores de
de los
los parámetros
parámetros h yy p son,
son, para
el
el caso
caso general:
general:
de la expresión anteante. La discretización en EF de
rIor
rior es:
es:
V = -1 dT K d - dT P
[3]
2
1
p=
(~)N=t
1-+ _1 (1 __1_-_Jl
2
21l
+ 1
K es
es la matriz de
de rigidez de
de la estructura,
donde K
donde
el vector de
de fuerfuerel vector desplazamiento y p el
dd el
El mínimo de
de [3]
131
zas aplicadas
aplicadas en los
los nodos. El
zas
viene dado
dado por las
las ecuaciones:
ecuaciones:
viene
_
(~) --..f¡ _ 1
1 - Jl
Para
N=3, los
los resultados
resultados
Para el
el caso
caso particular
particular N==3,
vienen
vienen dados
dados por
por (3).
(3).
Los
se obtienen,
obtienen, en
en
Los valores
valores exactos
exactos de
de hh yy Pp se
este
caso,
cuando
el
número
N
de
nodos
tiende alal
este caso, cuando el número N de nodos tiende
infinito.
infinito.
Los
Los resultados
resultados anteriores
anteriores han
han sido
sido calculados
calculados
usando
usando lala Energía
Energía Potencial
Potencial Total
Total de
de lala barra,
barra,
como
como criterio
criterio de
de optimización,
optimización, para
para encontrar
encontrar la
la
posición
nodos.
posición óptima
óptima de
de los
los nodos.
¡N - 0, i.e. K d = P
ad
[4]
siendo el
el valor
valor
siendo
V . =
mm
_L
2 dT P
nodos no
no viene
viene dada
dada
Cuando la
la posición
posición de
de los
los nodos
Cuando
anteman,o, tanto
tanto la
la matriz
matriz de
de rigidez
rigidez de
de lala
de antemano,
de
estructura como
como el
el vector
vector de
de cargas
cargas dependen
dependen de
de
estructura
dichas coordenadas,
coordenadas, pudiendose
pudiendose obtener
obtener el
el mímídichas
V mediante
mediante el
el conjunto
conjunto de
de ecuaciones
ecuaciones
nimo de
de V
nimo
aV- O·
,1.e. K d- p
ad
14
REVISTA DE
DE OBRAS
OBRAS PUBLICAS
PUBLICAS
REVISTA
OPTIMIZACION DE MALLAS BIDIMENSIONALES EN ELEMENTOS FINITOS
av
= O;
Sr
i.e. dT aK d - dT~
Sr
=O
[5]
Sr
donde r es el vector de coordenadas.
coordenadas.
Para resolver, de una forma adecuada, el conjunto de ecuaciones no lineales [5],
junto
151, se ha utilizado un método numérico paso a paso.
mente, se ha escrito un programa en FüRTRAN,
FORTRAN,
introduciendose algunas simplificaciones para
acortar el tiempo de computación.
7] la primera
En primer lugar al evaluar L
171
derivada parcial de la energía potencial total V
respecto a las componentes del vector r.,
ri, el valor
de V (r¡+Ar¡j)
(ri+Arij) se obtiene de la expresióA
expresión
En el paso i, la posición actual de los nodos se
di se obtiene
supone conocida, la solución elástica di
del conjunto de ecuaciones
K. d. = p, i.e. d. = K.- ' P
1
1
1
V(r.+~r
.)
1
l'
donde dij
dij se calcula como una solución aproximada a la ecuación
1
donde
K . d.. == P
[8]
l' l'
y
Vi se calcula meLa energía potencial total Vi
diante la expresión
v. == - _1
2 d. p == V
1
1
( r. )
1
la nueva posición de los nodos ri+l
r i + ~se obtiene de
[6]
donde ~
V/ ~r es una aproximación a la primera
AV/Ar
derivada parcial de la energía potencial total en
la configuración
configuración r¡,
ri, con respecto a las diferentes
coordenadas de los nodos.
Los valores de (~V
/ ~r) . en la configuración
(AV/Ar)
r¡
ri se obtienen numéricamente para cada compocomponente j de r¡j
rij del vector r¡
ri mediante
componente jj de
AV
-
(h;),
-
V(rtAr - V r
[7]
I71
donde rij
rij es el incremento de la componente j del
ri.
sector ri.
El valor del parámetro AA positivo, se consigue
mediante consideraciones sobre el nivel de precisión requerido en el análisis. Este método de
optimización no lineal es conocido como ««el
"el
método del gradiente descendente".
APLICACION
Basado en la metodología expuesta anterioranteriorABRIL 1991
1991
K 1).. == K
(r.+~r .. )
1
1)
el vector desplazamiento dd..
.. se calcula mediante
el método de Gauss-Seidel
iplicado a la ecuación
Gauss-Seidel lplicado
L8],
181, partiendo de un estado inicial conocido, se
calculan los desplazamientos d¡
di correspondientes
al estado r¡+r
.
ri+rij.
ij
Una segunda simplificación consistió en usar
el programa de optimización junto con un programa de mallado automático,
automático, preprocesador de
EF, que con un pequeño número de parámetros
(mI,
( m l , m2,...,mn),
m2 ,...,m,), permite obtener toda la malla.
De esta forma el número de ri desconocidos se
reduce drásticamente al número de parámetros
generadores de la malla.
RESULTADOS
RESULTADOS
Para comprobar la eficiencia y posibilidades
del programa, se ha analizado un ejemplo muy
simple correspondiente a una placa rectangular
de dimensiones:
Longitud:
Longitud:
Altura:
Espesor:
10 m
5m
0.1 m
Las propiedades del material son:
son:
Módulo de Young:
Coeficiente de Poisson:
Densidad relativa:
29.43 Eü9
E 0 9 NW/m
NW/m22
0.2
2.5
Las acciones corresponden al peso propio y
15
BIDIMENSIONALES EN ELEMENTOS FINITOS
OPTIMIZACION DE MALLAS BIDIMENSIONALES
una carga uniformemente repartida en la cara
Nw/ m.
superior de 49050 Nw/m.
Se ha realizado una malla de 84 nodos, con un
estado inicial tal como se representa en la figura
2. La energía potencial total correspondiente a
= -40.22 j.j. Utilizando como
este estado es V =
incógnitas los parámetros generadores de la
malla, la óptima es la mostrada en la figura 3,
potencia} total es de V =
= -48.22 j.
cuya energía potencial
Utilizando como incógnitas todas las coordenadas de los nodos, se ha realizado un procedimiento de optimización, para poder evaluar la
bondad del método anterior. La malla óptima
calculada en este segundo paso corresponde a la
mostrada en la figura 4, ·cuya
cuya energía potencial
= -54.93
-54.93 j.j.
total es V =
En dicha figura se observa que la malla adopta
una configuración similar a las lineas isostáticas
(tensiones principales).
Se han estudiado otros muchos casos, para
analizar las propiedades de la malla óptima.
Algunos de estos casos se muestran en la figura
5, yy los resultados obtenidos se han resumido en
la tabla que figura a continuación. Por otra parte
se ha calculado la energía potencial total para el
caso exacto como la correspondiente a la solución
de un modelo de más de 500 nodos.
Energía Potencial Total (fig. 5)
Caso
Caso
1
2
3
4
5
6
7
8
-
Malla
Uniforme
-210.71 jj
-210.71
-225.33 j
-225.33
-20.79 j
-20.79
-94.07 j
-40.22 j
-40.22
-52.05 j
-52.05
-99.86 j
-99.86
-100.78 j
-100.78
Malla
Optima
-230.14 jj
-255.14 j
-255.14
-27.66 j
-110.05
-110.05 jj
-54.93
-54.93 j
-58.97
-58.97 jj
-115.88 j
-115.88
-120.78
-120.78 j
Dif. con la
Dif. ($6)
(%)
exacta (%)
9.2
9.211
15.56
13.23
16.54
13.23
18.05
33.04
18.05
16.98
17.09
16.98
36.57
15.79
13.29
17.35
13.29
17.35
16.04
16.04
13.50
13.50
19.84
19.84
17.99
17.99
49050 Nw/m
6, se muestra un
Por último, en la figura 6,
ejemplo más complicado pudiendose observar el
estado inicial y la malla óptima, así como sus
energías correspondientes.
RECOMENDACIONES
~
~\O I
la. n
(v:
-~O.
I
e I
Despues de haber analizado un número elevado de casos se pueden tentativamente indicar
algunas sugerencias y recomendaciones en relación con el diseño de la malla para el cálculo por
Finitos.
Elementos Finitos.
Errpot.,.-o.mTent.o
ti I
:22)
En primer lugar, la malla debería ser más
Figura 2
\ \
\
\
/
/
II I I
\ \ \ \
h e 1l le
l a OOt.
cot 1me
i m n usando
usando ée I1 oen~"edor
Oeneraaor de
Qe me
ms Il les
las
~
C
cV
v = -48.
- s o :22)
22)
Figura
Figura 3
16
/ /
Mel la Got i~
(Y: - ~4
53)
Figura 4
REVISTA DE OBRAS PUBLICAS
PUBLICAS
BIDIMENSIONALES EN ELEMENTOS FINITOS
OPTIMIZACION DE MALLAS BIDIMENSIONALES
490500 Nw
49050
111
J
I
J
J
J
I
N~/m
J
I
J
J
1
1
1/2
490500 Nw
~
=r:=[
I
49050 Nw/m
I
I
I
I
I
I
1 1 1 1
I
1
~
114
#'3
~
~
490500 Nw
I
49050 Nw/m
[
1
1
1
1 1 1 1 I
J
J
1
J
1
490:500 hJw
49050 Nw/m
117
lc--2
Figura 5
ABRIL 1991
1991
17
OPTIMIZACION
OPTIMIZACION DE MALLAS
MALLAS BIDIMENSIONALES
BIDIMENSIONALES EN ELEMENTOS FINITOS
~9aso
densa en las zonas donde se produzcan discontinuidades (geometricas, cargas concentradas, fuerte
gradiente de tensiones, etc).
Nw/m
Por·
Por otra parte, puede ser interesante adaptarse, en la configuración de la malla, a las lineas
isostáticas, de tal forma que los nodos se situen
próximos a las lineas isostáticas o envolventes de
las tensiones principales. Este punto está siendo
ahora investigado para comprobar su validez
general.
1
1 1 J
También se'
se está estudiando el uso de otros
funcionales alternativos al de la energía potencial
obtenidos.
total y comprobar los resultados obtenidos.
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REVISTA DE OBRAS PUBLICAS