hidraulica karstica

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Mancebo Piqueras, J. A. y Sanz Pérez, E., 2008. La hidráulica kárstica como aplicación de la hidrodinámica general. Estudio del flujo en un terreno yesífero
fisurado. Boletín Geológico y Minero, 119 (1): 63-70
ISSN: 0366-0176
La hidráulica kárstica como aplicación de la
hidrodinámica general. Estudio del flujo en un terreno
yesífero fisurado
J. A. Mancebo Piqueras(1) y E. Sanz Pérez(2)
(1) Dep. Mecánica Industrial, E.U.I.T.I., Universidad Politécnica de Madrid, España.
E-mail: [email protected],
(2) Dep. Ingeniería del Terreno, E.T.S.I.C.C.P., Universidad Politécnica de Madrid, España.
E-mail: [email protected]
RESUMEN
Se pretende plantear y desarrollar algunas de las leyes clásicas de hidrodinámica introduciendo las características que permiten su aplicación al flujo subterráneo en general y a la hidráulica kárstica en particular. Se estudia la consideración de si el movimiento del agua subterránea en el karst se puede definir como flujo a través de conductos individuales o como un medio continuo con huecos saturados en
una matriz sólida. Los trabajos de Hagen (1839) y Poiseuille (1846), junto con los de Darcy (1856) configuran la referencia básica para este
estudio (in Crespo, 2006). A ellos puede añadirse también las aportaciones de Couette y Chezy (Rouse, 1951) para flujo libre sobre superficies rocosas. Se presentan varios casos en los que las leyes del movimiento laminar unidireccional ofrecen soluciones que pueden ser
válidas para la definición de los parámetros fundamentales del flujo del agua en el subsuelo.
Palabras clave: flujo laminar, hidráulica, karst, matriz sólida, unidireccional
Karst hydraulic as a general hydrodinamic application.
Study of the flow in a fissurated gypsum soil
ABSTRACT
The aim of this article is to raise and develop some of the classical laws of hydraulics, introducing features that allow its application to
subsurface flow in general and particularly to karst hydrology. Whether the movement of groundwater in karst can be defined as flow
through individual channels or whether it can be considered as a continuous medium with saturated holes in a solid matrix is pondered
over. The work of Hagen (1839) and Poiseuille (1846), along with Darcy (1856) form the basic reference for this study (in Crespo, 2006).
Contributions from Couette and Chezy (Rouse, 1951) on free flow over rock surfaces have been studied as well. There are several cases
in which the laws of unidirectional laminar motion offer solutions that can be effective for defining the basic parameters of the flow of
water in the subsoil.
Key words: Hydraulic, karst, laminar flow, solid matrix, unidirectional
Introducción
mita analizar casos particulares de flujo subterráneo
más allá de los casos que aquí se presentan. Como
objetivo último se aplica el estudio a un caso real en
el que el agua subterránea sale a la superficie a través
de las fisuras que afloran en algunos escarpes yesíferos karstificados.
Como primera tarea se definen algunos casos de flujo
subterráneo desde un punto de vista teórico. Para ello
se utilizará como base de partida las ecuaciones básicas en forma diferencial o integral y a continuación se
obtendrá la ley de distribución de velocidad. Esta ley
de velocidad permitirá deducir el resto de parámetros. El análisis pretende también complementar la
formulación disponible y ayudar en la definición de
algunas expresiones contenidas en las fuentes que se
mencionan al final de este trabajo. Se intenta así
plantear una vía teórica sencilla de estudio que per-
Hipótesis y ecuaciones básicas
Las rocas compactas fisuradas pueden considerarse
como un medio poroso natural, que será además
homogéneo si en cualquier punto la resistencia al
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r
r
r
v
V = u⋅ i + v ⋅ y + w ⋅ z
movimiento del fluido es la misma. Dada la irregularidad de los medios porosos es preciso introducir el
concepto de escala de homogeneidad. Atendiendo a
este criterio, un aluvión con granos de 1 mm de diámetro, aproximadamente, será homogéneo a las
escala del dm; un macizo rocoso, yesífero por ejemplo, solo podrá ser considerado como homogéneo
para dimensiones de dominio de 100 veces la mayor
dimensión de los bloques.
El movimiento del agua a través de los conductos
y espacios intergranulares del terreno está inducido
por una variación de potencial hidráulico
donde v=w=0
definición euleriana de la velocidad en función de la
posición (y,z) y del tiempo (t)
Además para el fluido incompresible, como la velocidad no depende de (x) tendremos
r ∂u
divV =
=0
∂x
μ ⎛ ∂2u ∂2u ⎞
1 ∂u
⋅
= J+ ⎜ 2 + 2 ⎟
g ∂t
γ ⎝ ∂y ∂z ⎠
expresando este potencial en términos de energía por
unidad de peso de fluido, en relación a la longitud en
la que se produce, es decir, existe un gradiente de
potencial (J), ecuación (2), o de cota piezométrica,
que origina el movimiento del agua. Si la presión es
constante, entonces el movimiento está inducido
solamente por la variación de posición (fig. 1).
El planteamiento de los estudios de HagenPoiseuille y Couette precisa de algunas hipótesis:
•
•
(1)
- Conservación de cantidad de movimiento (ec. de
Navier). Solamente es necesario plantear el equilibrio
de fuerzas en dirección (x)
⎛ p⎞
⎜z + ⎟
⎝ γ⎠
•
r
r
V = u ⋅ i = f ( y , z, t )
(2)
- Conservación de la energía (teorema de Bernoulli):
para una línea de corriente:
z+
p v2
+
= Cte
γ 2g
(3)
donde el término de velocidad puede ser despreciable por su irrelevante valor, salvo cuando se trate de
flujo en terrenos fracturados, frecuentes en karst, en
los que la velocidad y los efectos cinéticos derivados
son importantes.
Los efectos de la viscosidad predominan y ordenan el desarrollo del flujo
Las trayectorias son rectas y paralelas a las paredes de los conductos
Un aumento del número de Reynolds (Re) sobre
un determinado límite, desestabiliza el régimen
que pasa a ser turbulento
Flujo bidimensional sobre una superficie fija. Modelo
de corriente de Couette
Las ecuaciones básicas aplicables a un flujo unidireccional son:
El movimiento se produce por arrastre de una placa
en superficie con velocidad (V0) sin variación de potencial. Podría ayudar a definir algunos casos de flujo en
lámina libre sobre superficies rocosas a través de
estratos horizontales con pendiente suave (fig. 2).
En este caso la ecuación de Navier queda reducida
a la siguiente expresión
- Continuidad, con movimiento en dirección x:
∂2u
=0
∂y2
integrando la anterior ecuación con las condiciones
de contorno: para y = 0, u = 0, además para y = h, u =
V0 , queda la velocidad definida por la siguiente ley
lineal para la velocidad
Fig. 1. Variación de energía potencial entre dos puntos de un conducto
Fig. 1. Potential energy variation between two points of a conduit
u(y) =
64
V0
y
h
(4)
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Velocidad
u(y) =
γJ
(yh − y2 )
2μ
(6)
Caudal por unidad de ancho
γJh3
12μ
(7)
2
γJh2 (p1 − p2 )h
V=
=
12μ
12μL
(8)
q=
Fig. 2. Corriente de fluido inducida por el movimiento de una placa
con velocidad V0
Fig. 2. Fluid flow induced by the movement of a slab with speed V0
q=
Q
=
L
∫
0
u(y)dy =
V0h
2
0
u(y) ⋅ dy =
Velocidad media
siendo la velocidad media V = Vo/2 y el caudal por unidad de ancho
h
∫
h
Por último despejando de la ec.(8) el gradiente de
potencial (pérdida de carga por unidad de longitud)
(5)
J=
Flujo bidimensional entre superficies sólidas. Modelo
de corriente de Hagen-Poiseuille
El movimiento se mantiene gracias al gradiente de
potencial. Es el caso que se verifica en fisuras planas
o donde predominan las dimensiones (x,z) sobre (y) y
podría aplicarse en algunas corrientes subterráneas a
través de fisuras de escasa dimensión en las que existe un nivel freático mayor aguas arriba y un gradiente
hidráulico apreciable en el recorrido del fluido (Fig. 3).
Operando de manera similar al caso anterior, por
conservación de cantidad de movimiento:
12μV 24 V 2
=
Re 2gh
γh2
(9)
Modelo de corriente de Hagen-Poiseuille-Couette
Resulta de la combinación de los dos efectos anteriores, existe gradiente de potencial y velocidad inducida en superficie, y se podría asimilar a determinados
casos de sifonamiento del terreno en los que el flujo
es acompañado por el terreno y existe además un
gradiente hidráulico apreciable (Fig.4).
Quedando las leyes de velocidad y caudal:
∂2u
J
= −γ ⋅
2
μ
∂y
u( y) =
Integrando obtenemos los parámetros principales
del flujo
Fig. 3. Corriente entre dos superficies sólidas inducido por gradiente de cota piezométrica
Fig. 3. Flow between two solid surfaces induced by piezometric
gradient
γJ
V
hy − y2 + 0 y
2μ
h
(
)
(10)
Fig. 4. Combinación flujo inducido por movimiento en superficie y
variación de presión
Fig. 4. Induced flow due to the combination of surface movement
and pressure variation
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q=
γJ 3 V0
h + h
12
2
Variación de potencial por unidad de longitud o pérdida de carga por unidad de longitud:
(11)
J=
Modelo de flujo a través de conductos axilsimétricos
(canales kársticos)
J = f (Re ,ε)
f(Re , ε)
μ ⎛ d2u 1 du ⎞
⋅⎜
+ ⋅ ⎟
γ ⎝ dr2 r dr ⎠
es una función de Re y de la rugosidad relativa de las
paredes del conducto:
γJ 2 2
p1 − p2 2 2
R −r =
R −r
4Lμ
4μ
(
)
V2
2g ⋅ D
La anterior expresión es la fórmula de DarcyWeisbach, donde
La resolución de la anterior ecuación ofrece la distribución de velocidad en función del radio (r)
u(r) =
(15)
Si el régimen deja de ser laminar, según el criterio del
número de Reynolds (Re) que veremos después, la
expresión anterior queda
Es el caso asimilable al desarrollo de un karst con
fisuras en forma de conductos en los que la dimensión (x) es la más importante, y cuyo modelo de sección aproximadamente circular puede ser válido para
definir el flujo laminar en algunos conductos de disolución subterráneos longitudinales (Fig.5).
La ecuación que define este movimiento en forma
local es la siguiente (expresando el laplaciano de la
velocidad (Δu) en coordenadas cilíndricas):
J=
32νV 64 V 2
=
Re 2gD
gD2
(
)
ε=
Ra
D
(donde Ra es la rugosidad absoluta y D el diámetro del
conducto), dada por la fórmula de Colebrook y también por el diagrama de Moody.
(12)
Caudal
Q=
p1 − p2
γJ
πR4 =
πR4
8Lμ
8μ
Modelo de flujo de la Ley de Darcy
En un medio poroso natural, confinado en el interior
de un conducto de longitud L que une dos depósitos
(Fig.6), uno con la superficie libre a mayor altura que
el otro, se establece un flujo entre ambos definido por
la velocidad media, que es, según Darcy (1856):
(13)
Velocidad media
V=
γJR2
8μ
(14)
Fig. 6. Experimento de Darcy. Variación del potencial en el flujo en
un medio poroso
Fig. 6. Darcy´s experiment. Potential variation of the flow through a
porous medium
Fig. 5. Movimiento axilsimétrico en un conducto con gradiente de
presión
Fig. 5. Axial symmetrical movement in a conduit with a pressure
gradient
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V =K
dh
Δh
= Ki = −K
L
dl
Siendo ne la porosidad eficaz.
Así, una porosidad elevada, por ejemplo 20 %,
dará lugar a una velocidad real cinco veces superior a
la de Darcy, pero si la porosidad desciende al 5 %, la
velocidad real es veinte veces superior. En esta proporción aumenta también el número de Reynolds
obtenido con la velocidad real, por lo que si se optase por este parámetro para clasificar el tipo de régimen, los límites varían enormemente aumentando
hasta valores alrededor de 100-200. Además si se
trata de circulación por conductos kársticos de escala
milimétrica o centimétrica, el número de Reynolds
frontera para que un régimen de flujo deje de ser
laminar se sitúa en 2300 y para régimen turbulento
completamente desarrollado en el rango de 600010000.
(16)
siendo
V: velocidad media (velocidad de Darcy)
i : gradiente hidráulico
K: conductividad hidráulica o permeabilidad, que
es función de las características del medio poroso
y del fluido (viscosidad y peso específico)
Por tanto el caudal que atraviesa la superficie
transversal (A) será
Q = V ⋅ A = K ⋅ A ⋅i
La ley de Darcy basa su validez en una consideración macroscópica del medio poroso, considerando,
además, que solo actúan las fuerzas viscosas siendo
las inerciales prácticamente nulas. Esta ley no tiene
en cuenta las características y el comportamiento del
flujo en cada poro, y deja de ser válida cuando las
fuerzas inerciales son importantes, es decir, cuando el
número de Reynolds es elevado, aun cuando el régimen de flujo siga siendo laminar.
El tipo de régimen puede definirse por el parámetro adimensional de Reynolds:
Re =
Rer =
La velocidad real (Vr) anterior es en realidad una
velocidad lineal media, puesto que se ha considerado
que el agua sigue trayectorias rectilíneas, cuando no
es así. Las partículas fluidas se mueven casi siempre
siguiendo trayectorias tridimensionales variables con
el tiempo, pero sobre todo con el espacio, bordeando
el contorno de las partículas sólidas, atravesando las
angosturas que conectan los poros, variando también
su módulo, lo que daría lugar a un coeficiente que
tuviese en cuenta las singularidades de paso tanto en
el terreno poroso, como en las fisuras de un terreno
fracturado karstificado.
La conductividad hidráulica, cuyas unidades son
las de una velocidad, representa la velocidad de flujo
a través de un terreno de área unidad, provocada por
un gradiente hidráulico unidad. Sin embargo, K
depende también de las características del fluido,
según la relación
ρVL V ⋅ L
=
μ
ϑ
Siendo
V: velocidad del flujo (velocidad de Darcy)
L: longitud característica. Diámetro medio de las
partículas sólidas (d50) o (2e) en caso de terrenos
fisurados, siendo (e) el ancho de la fisura
µ: viscosidad dinámica del fluido. Para el agua es
aproximadamente:
µ=0,0012 kg/m.s=1,2 cP (centipoise)
K=
ϑ : viscosidad cinemática. Para el agua es
υ=1,2•10-6 m2 /s =1,2 cSt (centistoke)
K0γ
μ
donde
K: conductividad hidráulica o permeabilidad de
Darcy
K0: permeabilidad intrínseca. Depende solo del material del medio poroso
γ: peso específico del fluido
µ: viscosidad dinámica del fluido
La ley de Darcy es válida si Re está comprendido
entre 1 y 10, y en general debe tomarse Re < 4 -5. Sin
embargo, si consideramos la velocidad real (Vr), es
siempre superior a la velocidad de Darcy, dada la
heterogeneidad del medio. Como la relación entre
ambas velocidades es la porosidad eficaz (me), tendremos
Vr
ρVrL Vr ⋅ L
=
μ
ϑ
El orden de magnitud de K resulta extremadamente amplio y oscila, entre 103 m/día en gravas limpias,
hasta 10-5 m/día en arcillas no meteorizadas, según
V
ne
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datos de Casagrande. Alejados de estos extremos, es
significativo que la conductividad hidráulica de una
arena limpia (K = 1 m/día) es 10.000 veces mayor que
la de una mezcla de arena, limo y arcilla (K = 0,0001
m/día).
La permeabilidad intrínseca, K0, tiene unidades de
L2, expresándose en cm2 o en m2, y también en darcys
(1 darcy ≈ 10-8 cm2 ).
im= pendiente motriz: gradiente hidráulico
Por tanto en estos flujos habría que estudiar la viabilidad de aplicación de los modelos anteriores
(Couette, Hagen-Poiseuille, etc) aun cuando el régimen abandone las condiciones de flujo laminar.
Movimiento del agua en medios fisurados
Aunque las rocas son localmente impermeables, al
igual que los terrenos muy cementados, en ellas existen fracturas, planos de contacto entre estratos, etc,
que dan lugar a fisuras y diaclasas, que en algunas
zonas progresan a velocidad notable debido a procesos de karstificación. Cuando las fisuras forman una
red suficientemente densa, el conjunto rocoso, aun
siendo anisótropo, puede comportarse a escala
macroscópica como un medio poroso homogéneo.
En este contexto, el régimen es laminar, en general, si
las fisuras tienen una anchura pequeña (inferior a 1
mm).
Si asumimos las fisuras como espacios entre planos sólidos paralelos, en ellas se desarrolla un flujo
unidireccional bidimensional inducido por la existencia de un gradiente hidráulico (variación de cota piezométrica por unidad de longitud). Si este régimen es
laminar y como las fuerzas de inercia son despreciables, partiendo de las ecuaciones de conservación de
Navier-Stokes, según se expuso anteriormente, la
velocidad se distribuye de forma parabólica siendo
nula en el contacto con las paredes sólidas y máxima
en el plano equidistante central, y puede definirse su
ley de distribución según la expresión de HagenPoiseuille expuesta anteriormente, etc. (10)
Flujos subterráneos a los que no es aplicable la Ley
de Darcy
Como hemos observado antes si Re > 4-5 la ley de
Darcy deja de cumplirse, aunque el régimen siga
siendo laminar. En estos casos podrían, sin embargo,
aplicarse los modelos estudiados. Si el régimen es
turbulento completamente desarrollado, el gradiente
hidráulico es:
i = bV 2
Por tanto la velocidad es
V=
1
i
b
Esta forma de expresar el gradiente hidráulico permite definir una permeabilidad turbulenta
K′ =
1
b
que solo depende de las propiedades del medio poroso, de manera similar a la fórmula de Chezy utilizada
en corrientes libres, según la cual:
v(y) =
V = X ⋅ Rh ⋅ im
γi
(yd − y2 )
12μ
siendo d el ancho de la fisura, y por tanto la velocidad
media (V) y el caudal por unidad de longitud de fisura (q) quedan:
donde χ = f (material, radio hidráulico) es el coeficiente de Chezy. Bazin ofrece la siguiente expresión
para el cálculo de χ:
V=
87
X=
m
1+
Rh
γd2
i
12μ
;
q=
γd3
i
12μ
En este caso, la permeabilidad (K) en el plano de la
fisura y la permeabilidad intrínseca pueden definirse
como:
m= coeficiente que depende del material que limita la
corriente. Para rocas m= 1,8
Rh= radio hidráulico (L),
área transversal del flujo
Rh =
perímetro sólido bañado por la corriente
K=
68
γd2
12μ
;
K0 =
d2
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Aplicación del modelo de corriente de HagenPoiseuille a un caso de flujo intersticial por una fisura
Un ejemplo de este tipo de flujo es el que se produce
en los afloramientos del frente rocoso de algunos
escarpes yesíferos a lo largo de amplios tramos del
valle medio del río Jarama (Madrid).
En el ejemplo que nos ocupa (Fig. 7), se tiene una
pared rocosa de yesos tableados (Fotos 1 y 2) entre
los que se han formado algunas fisuras, entre ellas
una fisura de 0,45 mm de espesor medio y 60 m de
longitud por la que se establece un flujo inducido por
una diferencia de potencial hidráulico de 5 m.
El caudal descargado unitario, con hipótesis de
viscosidad dominante será:
Fig. 7. Flujo a través de una fisura en un estrato rocoso
Fig. 7. Flow through a fissure in a stratified rock
9810 ⋅ 0, 000453 5
γd3
⋅i =
⋅
=
12μ
12 ⋅ 0, 0012
60
l
l
= 5,17 ⋅ 10−6 m3 / sm = 0, 0052
= 0, 31
min⋅ m
s ⋅m
q=
y el caudal total que pasa a través de la fisura:
Q = qL = 0, 00517 ⋅ 9 = 0, 047 l / s = 2, 8 l / min
La velocidad media es
V=
q 1, 04 ⋅ 10−5
=
= 0, 015 m / s = 1,15 cm / s
h 0, 00045
Comprobamos la hipótesis de viscosidad dominante
Foto 1. Flujo a través de fisuras en roca yesífera. Frente de una cantera abandonada junto al río Jarama
Foto 1. Flow through fissures in gypsum rock. Abandoned quarry
next to Jarama river
ρVd 103 ⋅ 0, 015 ⋅ 2 ⋅ 0, 00045
=
= 8, 6
μ
0, 0012
d
0, 00045
Re = 8, 6 ⋅
= 6, 5 ⋅ 10−5 < 1
l
60
Re =
Puede observarse que la turbulencia no permite la
aplicación de la ley de Darcy, por lo que se ha elegido
un modelo de flujo lo más fiel posible a la realidad. La
influencia de la longitud de la fisura es trascendental,
ya que su incremento reduce la velocidad del agua y
por tanto el caudal de drenaje al exterior.
Otras consideraciones en el estudio del flujo
turbulento
En régimen de transición a turbulento, la velocidad
puede expresarse como sigue (Custodio y Llamas,
1996; Sanz, 2004):
Foto 2. Drenaje a través de fisuras en escarpes yesíferos de la cubeta del Jarama
Foto 2. Drainage through fissures in gypsum clifts in the Jarama
basin
V = Ki + c i
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donde
c=
Su aplicación requiere un planteamiento de partida
general que se particulariza con las condiciones de
contorno convenientes para cada situación. El ámbito
teórico de aplicación se ha completado con el estudio
de un caso real en el que se ha trabajado últimamente, los afloramientos salinos por el drenaje del acuífero terciario de la plataforma situada entre los valles
de los ríos Manzanares y Jarama (Formación
Vallecas). En estos casos, el flujo intergranular y la
disolución en la zona de contacto de estratos, de diferente material incluso, ha dado paso a corrientes cuya
turbulencia excede del alcance de la ley de Darcy. Se
supone que con el tiempo la red kárstica se desarrollará dando lugar a nuevos conductos que serán principalmente axilsimétricos y corrientes entre superficies sólidas a través de fisuras. Los modelos
expuestos constituyen por tanto una vía de estudio
de determinados casos reales, si se admiten las diferencias existentes entre modelo y caso real. Estas
divergencias son por tanto una dificultad a abordar
de manera individual y su resolución definirá la bondad del modelo de flujo planteado.
1
b
Cuando el régimen es totalmente turbulento, se
tiene
V=c i
Al estar animado el flujo de una considerable agitación hidráulica, la distribución de la velocidad deja
de ser parabólica, y prácticamente se convierte en
uniforme, excepto en la película anexa a las paredes,
capa límite, en la que es laminar, y ahí es donde se
desarrolla casi todo el gradiente de velocidad y por
tanto la disipación de energía.
En determinadas ocasiones, las fisuras se desarrollan rápidamente por disolución en terrenos karstificados, formándose conductos con circulación en
régimen turbulento, tanto en régimen libre como forzado, pero siempre caracterizados por la turbulencia
del movimiento. En estos casos el término de energía
cinética, V2/2.g, no puede despreciarse. Cuando se
trata de corrientes forzadas, la fórmula de DarcyWeisbach puede ser apropiada para definir el gradiente hidráulico, mientras que en flujo libre es utilizable la fórmula de Chezy, pudiendo estudiarse los
casos en que el régimen libre es crítico, subcrítico,
etc. mediante el número de Froude (Fº), que relaciona
las fuerzas inerciales con las gravitatorias:
Fo =
Unidades y nomenclatura
A
Fº
D,d
h
Re
u
V
V
gh
Un flujo libre crítico es aquel en el que Fº = 1, necesitando una energía específica mínima para el transporte de un determinado caudal. Si Fº > 1, el régimen
es supercrítico y en él la velocidad es elevada, disminuyendo la altura de lámina, es el caso de flujo sobre
superficies poco rugosas con elevada pendiente. Si Fº
< 1, el régimen se denomina subcrítico, y la altura de
la lámina de la corriente fluida es considerablemente
mayor, para ello es necesario que la pendiente del
fondo sea escasa y la rugosidad acusada. En general
los regímenes hidráulicos subterráneos son subcríticos, salvo cuando se desarrollan canales kársticos y
el flujo se acelera pasando a supercrítico.
γ
μ
ν
ρ
i
K
me
p
g
superficie transversal a la corriente (m2)
número de Froude (adimensional)
diámetro de conductos (m)
altura de lámina de fluido (mca)
número de Reynolds (adimensional)
velocidad del flujo libre o forzado en dirección x (m/s)
velocidad media en una sección transversal al flujo
(m/s)
peso específico (N/m3)
viscosidad dinámica (kg/m s)
viscosidad cinemática (m2/s)
densidad (kg/m3)
gradiente hidráulico (adimensional)
permeabilidad (m/s)
porosidad eficaz (adimensional)
presión (N/m2)
aceleración de la gravedad (m/s2)
Referencias
Custodio, E. y Llamas, M.R. 1996. Hidrología Subterránea.
Omega, Barcelona, 445-463 y 576-591.
Crespo, A. 2006. Mecánica de Fluidos. Thomson. Madrid.
263-280.
Rouse, H. 1951. Hidráulica. Dossat, Madrid, 138-200.
Sanz, E. 2004. Hidráulica Subterránea Aplicada. Colegio
Oficial de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos,
Madrid, 45-66.
Conclusiones
El desarrollo de las ecuaciones básicas de mecánica
de fluidos supone un recurso interesante y útil para la
definición de numerosos casos de flujo subterráneo.
Recibido: diciembre 2007
Aceptado: abril 2008
70