Hola chicos. Primero voy a resolver los ejercicios de la clase anterior y después les voy a dar la última combinación que son combinaciones con repetición. Paso a hacer los ejercicios: Ej…. (si alguien me dice cual es, genial) a )C48 8! 8! 8.7.6.5.4 ! ´ 70 4! 8 4 ! 4!4! 4! 4 ! b)C210 10! 10! 10.9.8 ! ´ 45 2!10 2 ! 2!8! 2!8 ! c)C89 9! 9! 9.8 ! ¨ 9 8! 9 8 ! 8!1! 8 !1! d )C1010 10! 10! 1 10!10 10 ! 10!0! e)C110 10! 10! 10.9 ! 10 1!10 1! 1!9! 1! 9 ! Para los problemas En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? Tengo que elegir tres personas pero no se indica un orden en los grupos y como las personas no se pueden repeir es una combinación, donde: n=35 m=3 C335 35! 35! 35.34.33.32! 6545 Comisiones distintas 3! 35 3! 3!32! 3!32! A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? En cada saludo participan 2 personas y no importa el orden en que estén, y como las personas no se pueden repetir, es una combinación donde: n=10 m=2 C210 10! 10! 10.9.8 ! 45 Saludos 2!10 2 ! 2!8! 2!8 ! ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices? Para formar una diagonal, en cualquier figura, participan 2 vértices y como no importa el orden ya que si esta a un lado o el otro del segmento es la misma diagonal, y como no se pueden repetir, es una combinación donde: n=5 m=2 C25 5! 5! 5.4.3! 10 Combinaciones entre vértices de las cuales hay que descontar los 5 lados del 2! 5 2 ! 2!3! 2!3! pentágono que no son diagonales y si son combinaciones de vértices. Entonces hay 5 diagonales en un pentágono (es fácil de probarlo con un dibujito). La segunda parte es similar ya que en cada triángulo participan 3 vértices, donde no importa el orden en que los elija ya que es el mismo triángulo, y no se pueden repetir entonces es una combinatoria donde: n=5 m=3 C35 5! 5! 5.4.3! 10 Triángulos distintos 3! 5 3! 3!2! 2!3! Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer. 2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité. 3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité En este problema en tres partes debemos analizar cada grupo por separado, ya que hay restricciones distintas para cada uno y cada combinación de un grupo se va repetir para cada combinación del otro grupo, por lo que hay que hacer es multiplicar estas combinaciones: Veamos 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer En este caso los hombres entran todos, así que hay una sola combinación; todo depende de las mujeres, es decir: C37 7! 7! 7.6.5.4 ! 35 Comisiones distintas 3! 7 3! 3!4! 3! 4 ! 2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité Igual que antes con los hombres pero las combinaciones de mujeres van a ser sobre una persona menos ya que esta debe estar si o si, y además solo quedan dos lugares para ubicar entonces: C26 6! 6! 6.5.4 ! 15 Comisiones distintas 2! 6 2 ! 2!4! 2! 4 ! 3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité Este no se puede hacer porque no se pueden completar los cinco pedidos. Así que no tiene solución (Vamos a ver ahora las combinaciones con repetición) COMBINACIONES CON REPETICIÓN Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de a m son todas las agrupaciones posibles de los n elementos de manera que: NO entran todos los elementos. NO importa el orden. SI se repiten los elementos Por ejemplo: En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo La formula se hace a partir de las combinaciones y es: CRmn Cmnm1 En el ejemplo sería CR45 C45 41 C48 8! 8! 8.7.6.5.4 ! ´ 70 formas de elegir las botellas 4!8 4 ! 4!4! 4! 4 ! Porque es así? Supongamos, con el mismo ejemplo, que represento a las cinco clases de botellas con barras verticales que separan cada una de las clases vino ron gin licor vodka Y con puntos, entre las barras, coloco cuantas elijo de cada una, pero como hay que elegir 4, van solo 4 puntos, por ejemplo, si de la primera clase de botella elijo 3 y de la cuarta elijo 1, quedaría: vino ron gin licor vodka Y si hubiera sido dos de la segunda, una de la cuarta y una de la quinta: vino ron gin licor vodka Como ven hay 6 barras (n+1). Simplificando el dibujo puedo juntar los espacios vacios y olvidarme de las barras de los extremos que siempre van a estar allí (van a quedar n-1 barras) Vemos que hay 8 elementos (n+m-1) entonces, de cuantas maneras podemos combinar 4 barras y 4 puntos? Serían las permutaciones con repetición de 8 elementos donde: 8 PR4;4 8! 8! C48 C45 41 CR45 4!4! 4!8 4 ! Ej Nº…… Calcular a)CR36 b)CR63 c)CR55 d )CR102 Ej Nº…… Oscar entra a una pastelería en la que hay seis tipos distintos de pasteles. Cierra los ojos y elige tres pasteles. ¿Cuántas elecciones distintas podría hacer? Ej Nº….. De cuantas formas podemos colocar 7 anillos idénticos en 4 dedos de la mano (ojo) Ej Nº…… 4 chicos van a un bar y deciden tomar entre 5 distintos tipos de gaseosas. Cuando el mozo se acerca les pregunta que quieren tomar. Cuantas elecciones posibles hay y de cuantas maneras hace el mozo el pedido en el mostrador? Nos vemos. Marcelo