Notas de clase 4 PCA(parte B)

Análisis por componentes principales: Campos escalares (reales)
Consideremos el PCA de un conjunto de datos reales, por ejemplo p-series de longitud N
 z(i, j); i  1,..., N y j  1,..., p, como ser p puntos fijos en el mar en los cuales se
determina la temperatura superficial del agua a intervalos regulares durante un período de
longitud N . Organizados los datos en forma matricial, tal que las columnas corresponden a
las estaciones ( j  1,..., p ) y las filas a los valores de la temperatura en distintos instantes
( i  1,..., N ). Entonces el elemento de la matriz zij corresponde al valor de la temperatura
superficial del mar en el instante “i” en la estación (posición) “j”.
 z11  z1 p 


Z  
 
 z N 1  z Np 



( N x p)
(6.51)
Centrado de los datasen el tiempo(t-centering)

El primer paso en el PCA de Z es el centrar los valores zij respecto a sus promedios
temporales. Entonces para cada j  1,..., p (cada columna)
____
1
z( j) 
N
N
z
(6.52)
ij
i 1
y a continuación formar las anomalías
zij*
____
 zij  z ( j )
(6.53)

*
Utilizando estas anomalías se forma una nueva matriz Z de dimensiones (Nxp) en la

*
misma forma que la (6.51). Resulta sumamente útil el pensar a cada fila de Z como un
punto en un espacio Euclideo p-dimensional ( E p ), donde cada punto es designado por pvalores reales (coordenadas) ordenados según el orden de las columnas. Entonces para
cada valor de i ( i  1,..., N ) tenemos un vector con p-coordenadas
13

zi*
* T
 ( zi*1 , zi*2 ,, zip
)
(px1)
(6.54)
Entonces
T

*
 * * * 
Z   z1 z 2 ... z N  (Nxp)




(6.55)

*
El conjunto de datos Z se representa en E p como una constelación de N puntos.
La dispersión de la muestra y la matriz de dispersión

*
Consideraremos ahora la dispersión de los datos Z como un conjunto de N puntos en

E p , a lo largo de eje con la dirección un vector unitario e  (e1 ,...., e p )T que pasa por el

*
centro de la nube de puntos z Med
___ ___
___


*
*
* T
 ( z1 , z2 ,..., z p ) . La proyección de z i* sobre e es
T
 *     T *
 zi  e   e  zi 
 
 
 
 
p
z
*
ij e j
j 1
T


donde  e  e  1 .
 
 


 
Definimos la dispersión   e  de Z * a lo largo de e como
 
2
  T 
 zi*  e  
  e  
  i 1   


 
N

T
  T      
*  * 
 e  zi  zi
e



   
i 1 
 


N

14
T  N   T 
 
  
  e    e 
zi*  zi*   e
     i 1   



(6.56)
 
Podemos pensar   e  como una dispersión (o varianza) muestral: para cada elección de
 

*



e tendremos en E p una dispersión de Z a lo largo de e . Por analogía con S dada por la

*
(6.46) definimos la matriz de dispersión de Z de dimensiones (pxp):
S
N    T
z i*  z i* 
 
 
i 1

T
 *  *
 Z  Z
 
 
(6.57)
Si sij es el elemento de S en su i-ésima fila y j-éima columna, entonces de la (6.57)
tendremos que
N
sij 
z
i, j  1,..., p
*
* T
ij ( zij )
(6.58)
i 1

*

 
Podemos ahora escribir la dispersión muestral de Z a lo largo de e , es decir   e  ,
 
dada por (6.56), como
T

   
  e    e  S e  0
   
(6.59)
Observe el lector que de (6.57) o (6.58), se deduce que S es simétrica, es decir
S  ( S )T
(6.60)
A partir de la propiedad de simetría (6.60) se obtiene una relación muy interesante. Si


a y b son dos vectores de dimensiones (px1), entonces
15




( a )T S b  ( b )T S a
(6.61)
Las auto estructuras del PCA

Consideremos ahora el siguiente problema que consiste en encontrar las direcciones e en

E p para las cuales  ( e ) tiene valores extremos (máximos o mínimos). Este problema
nos introducirá en ciertos conceptos centrales del álgebra de las PCA, que denominarmos


las autoestructuras de la matriz de dispersión S . Si e es una dirección donde  ( e )

tiene un valor extremo, entonces para cualquier pequeña perturbación e de la dirección de


e , tendríamos, a primer orden en e :



 ( e  e)  ( e )
(6.62)
Ahora






 ( e  e)  ( e  e) S ( e  e) 


T




 ( e ) S ( e )  2 (e) S ( e )  (e) S (e)
T
T
T

donde hemos hecho uso de la (6.61). A primer orden en

e , tenemos que

(e)T S (e) =0. Entonces






 ( e  e)  ( e )T S ( e )  2 (e)T S ( e )
Para satisfacer la (6.62) se debe cumplir que


(e) S ( e )  0
T
(6.63)

Sin embargo no podemos utilizar cualquier perturbación


tales que e  e satisfagan la condición de ortonormalidad
16

e de e , únicamente aquellas








( e  e)T ( e  e)  ( e  e) ( e  e)T  1
(6.64)

condición que a primer orden en e requiere que:


(e)T e  0

(6.65)

Entonces las perturbaciones e son ortogonales a e , es decir sólo cambian la dirección de


e . Note el lector que por convención, las componentes de e son adimensionales.
Entonces si l es cualquier número real con las dimensiones de los elementos de S ,
podemos combinar la (6.63) y la (6.65) de forma tal que podemos escribir una identidad, a

primer orden en e , de la forma




(e)T S ( e )  l (e)T ( e )  0
(6.66)
tal que


 

(e)  S ( e )  l ( e )  0


T
(6.67)

Si e  0 la (6.70) se cumple si y sólo si


S (e)  l (e)
(6.68)

Esta es la ecuación que gobierna las direcciones de e , de dispersión extrema. Las

soluciones no triviales (es decir e  0 ) de este conjunto de p ecuaciones lineales para las

componentes de e  [e(1),...,e( p)]T ocurren sólo para valores especiales de l. En la teoría
del álgebra lineal se demuestra que para matrices simétricas tales como
Matrices y Álgebra Lineal,
S
(ver Notas de
Sección 2.13) generalmente tiene p autovectores E p

e j  [e j1, e j 2 ,, e jp ]T (soluciones de (6.68) ) y p valores reales no negativos asociados lj que
se denominan autovalores, tal que
17


S ej  l j ej
j  1, , p
(6.69)
En forma matricial, si hacemos



E  [e1,, e p ]
 l1


0
L


 0
(6.70)
( pxp)
0 0 0

l2 0 0 
 diag[l1 ,, l p ]
  

0  l p 
( pxp)
(6.71)
donde por construcción
l1  l2    l p  0
Entonces la generaliz
ación correspondiente a la (6.699 será

 
S E  EL
(6.72)
El ordenamiento de los autovalores lj en forma decreciente es sólo a los efectos de

identificar el correspondiente e j cuando los lj son distintos. El número de autovalores no

*

*
nulos ( l  0 ) es igual al rango de la matriz Z . El rango de Z en (6.55) es el número de
filas o columnas linealmente independientes en dicha matriz, lo que es equivalente a decir
'
j

*
que es el orden de la submatriz cuadrada más grande al Particionar Z , cuyo determinante
no se anula (ver Notas: Matrices y Álgebra Lineal, sección 2.8). En general el rango de la

*
matriz Z
es el menor valor entre la longitud de las series y el número de series

*
( rank( Z )  min[N  1, p]) . En la práctica N-1  p y ya veremos más adelante como
calcular los autovalores, en el caso en que el número de series es muy superior a la longitud


de las mismas. Los autovectores e j y e j pertenecientes a distintos autovalores l j y lk
18


de S en (6.69) son ortogonales. Consideremos la ecuación (6.69) para e j y e j y


multiplicamos las mismas en el primer caso por ( e ) k y en el otro por ( e ) j






(ek )T ( S e j )  (ek )T (l j e j )


(e j ) ( S ek )  (e j ) (lk ek )
T
T
De estas relaciones y teniendo en cuenta (6.61) obtenemos que


(e j )T ek (l j  lk )  0

(6.73)

Si l j  l k entonces (e j ) ek  0 . Si l j  lk , es posible en la práctica, encontrar valores

T

de e j y e j que satisfacen (6.73) y que sean ortogonales , pero no necesariamente son
únicos (degeneración).. Entonces en general podemos siempre encontrar autovectores que
satisfagan el hecho que sean ortonormales


(e j ) e j   jk
T
j , k 1,..., p


Recordando como definimos los vectores en la forma e j  è j1 e j 2 e jp
versión escalar de la (6.74), para j, k  1,, p , será
(6.74)
T entonces la
p
e
jh ekh
  jk
(propiedad de ortonormalidad)
(6.75)
h 1
Mientras que se versión matricial es



( E) E  I p
T
19
(6.76)

donde I p es la matriz identidad de dimensiones (pxp), similar a la definida en (6.31) para

T
el caso bi-dimensional. A partir de la (6.76) podemos pensar a la matriz ( E) (de

dimensiones pxp) como la matriz inversa de la matriz E , ya que también
 

E ( E )T  I p
(6.77)
Una representación muy útil de S se puede obtener de la (6.72) y la (6.77)
 
S  E L ( E)T
(6.78)
Representaciones básicas de los conjuntos de datos:Fórmulas de Análisis y de Síntesis

*
La representación de la matriz de datos Z en términos de las componentes principales
surge de la siguiente forma. Utilizando la (6.77) podemos plantear la siguiente identidad

*
  
*
T

  *   T
Z  Z  E ( E )   Z E ( E )

 

(6.79)
y definimos la matriz
 
*
AZ E
( Nxp )
(análisis)
(6.80)
Entonces la (6.79) tomará la forma

*

Z  A ( E )T
( Nxp )
(síntesis)
(6.81)
Las ecuaciones (6.80) y (6.81) son una generalización de las ecuaciones (6.29) y (6.30)
vistas para el caso bi-variacional.
de forma tal que (similar a la (6.27), utilizando una notación más convencional para la
matriz (el primer subíndice indica la columna, mientras que el segunda la fila)
20
 a11  a p1 


A 

 
a1 N  a pN 


(6.82)
Otra representación alternativa, consiste en definir vectores de dimensión Nx1, tal que
Como en el caso bi-variacional a la matriz A la denominamos matriz amplitud y (en
forma similar la (6.27)) la podemos pensar como construida por Nx1 vectores


a j  a j1 , a j 2 ,, a jN

T
(6.83)
de forma tal que la (6.82) toma la forma
   
A  a1 a2 a p 


(6.84)
Con esta notación la (6.80) (análisis), la matriz amplitud toma la siguiente forma
 
a j  Z* ej

( j  1,..., p)
(análisis)
(6.85)

La fórmula (6.85) o su equivalente la (6.80) conforman la base del PCA. Los vectores a j

son los vectores componentes prinipales (o amplitudes) en E p , mientras que los e j son
los autovectores.
Las propiedades del PCA
Derivaremos algunas propiedades de las componentes principales de un conjunto de datos

*
Z de dimensiones Nxp. Las series correspondientes a las componentes principales
[ ak (i) : i  1,..., N ], j  1,..., p son no correlacionadas a pares. Esto se deduce de la
definición de A dada en (6.80)
21
T
T
 *   *   T  *  *  
A A   Z E  Z E  ( E )  Z  Z  E 


 






T





 ( E )T ( S E )  ( E )T ( E L)  L
Es decir
A A  L

T
(6.86)
Utilizando la versión vectorial la (6.86) toma la forma


(a j )T ak  l j  jk
1/ 2
Note el lector que l j
(6.87)
tiene las mismas dimensiones que los elementos de la matriz de

*
datos Z .

Utilizando (6.86) podemos resolver (6.81) para E . Entonces, multiplicando cada lado de la
T
(6.81) sobre la izquierda por ( A) , y utilizando (6.86), suponiendo que todos los valores de



*
L son positivos, podemos encontrar una representación de E , usando Z y
T
   
E   Z *  A  L 
   

A
1
(6.88)
o en forma vectorial
T
   
e j  l  Z *  a j
 

1
j
j  1,..., p
(6.88 a)
La descomposición por valores singulares(singular value decomposition) SVD de un
conjunto de datos
22
La descomposición por valores singulares de un conjunto de datos, realmente se obtiene a
partir de la fórmula de síntesis (6.81) para el PCA. De (6.87) para cada l j , podemos
definir la componente principal adimensionalizada


 j  a j / l 1j / 2
(6.89)
Por lo tanto definimos una matriz de amplitudes adimensionalizada (matriz de
componentes adimensionalizada) en forma similar a la (6.84):


A  [1  p ]
(Nxp)
(6.90)
donde

 j  [1 j , 2 j ,, Nj ]T j  1,, p
(6.91)
Obviamente


1/ 2
A A L

1/ 2
L
 diag [ l11 / 2 ,, l1p/ 2 ]
(6.92)
y la (6.86) toma la forma
 A  A  I


p


T
(6.93)
Las fórmula equivalente a la (6.81) será

*


 T
1/ 2  
Z A L
 E 
 
( Nxp )
(6.94)
Los datos originales (valores no centrados) se obtendrán reescalando los datos de acuerdo a
la (6.53)
zij*
____
 z ( j )  zij
.
23
La ,ecuación (6.94) constituye una forma que se denomina descomposición por valores

*
singulares (SVD) del conjunto de datos
Z , que veremos más adelante en detalle
Ejemplo I: Supongamos que estamos frente a un proceso de control de calidad, que
consiste en determinar la concentración de un determinado compuesto químico en una
solución; y que la determinación se realiza por dos métodos diferentes sobre 15 muestras.
Los 15 pares de valores (resultados obtenidos por el Método 1 y el 2) son ordenados en una
matriz de datos donde los valores de las concentraciones son los individuos. Los resultados
obtenidos por el Método 1 y los del Método 2 representan las variables. Es decir que

*
nuestra matriz de datos ( Z ) tendrá una dimensión de (15 x 2) (caso bi-variado, E2 ).
Individuos o
Nro. De Muestra
Método 1
Método 2
1
10.0
10.7
2
10.4
9.8
3
9.7
10.0
4
9.7
10.1
5
11.7
11.5
6
11.0
10.8
7
8.7
8.8
8
9.5
9.3
9
10.1
9.4
10
9.6
9.6
11
10.5
10.4
12
9.2
9.0
13
11.3
11.6
14
10.1
9.8
15
8.5
9.2
Tabla I
24
Figura 2
. En primer lugar graficaremos los resultados de acuerdo a la Figura 1. Este esquema simple
(Figura 2) suele dar alguna información sobre la muestra tomada, tanto en la disposición de
los individuos como al comportamiento de las variables En primer lugar, podemos apreciar
sí existe algún valor fuera de rango (outlier) o cualquier otra aberración en la medición
(efecto que aparentemente no ocurre en este caso). También podemos observar si existe
alguna relación entre variables (entre métodos de análisis en este caso) en base a la
disposición de los individuos (concentraciones). Es decir, podríamos obtener alguna
información básica por la simple inspección del gráfico. Sin embargo, hasta este método
tan simple se complica si se han medido más de dos variables, por ejemplo p-variables. El
problema surge en tales casos porque gráficos como el anterior, deben ser realizados
tomando las variables de a pares, no permitiendo ver la relación en forma conjunta para
todas las variables. Teóricamente para p-variables, los individuos tienen una representación
en un espacio
E p (espacio Euclideo de dimensión p), mediante sus
coordenadas ( zi1 , zi 2 , .... , zip ) , pero no es posible representarlas gráficamente en forma
conjunta. El PCA se presenta como una alternativa plausible para el análisis de varias
variables.
15
Entonces calculamos
los valores medios de cada variable
Z (1) 
z
i 1
15
i1
 10.0
y
15
Z (2) 
z
i 1
i2
15
 10.0 . Se determinan las anomalías de los datos respecto de los valores
medios (6.2). Debemos calcular ahora la matriz de dispersión S dada por la (6.46) (o la
25
matriz de covarianzas C dada por la (6.43)). Recuerde el lector que entre ambas hay un
factor constante N-1=14. Para nuestro caso
0.7986
C
0.6793
T
 *  * 11.1804 9.5102 
S  Z  Z  

 
 9.5102 10.2802 
 
0.6793
0.7343 

Utilizando la matriz de covarianzas calculamos L
 

(C  L) E  0 que tendrá solución si det(C  L)  det(C  l I 2 )  0
Entonces
0.6793 
0.7986  l
det 
 0.12496  15329   2  0

0.7343  l 
 0.6793
l1  1.4465
(6.95)
l2  0.086
Los autovectores se obtienen de la misma (6.72) haciendo
0.6793  e11 
0.7986  l1
 0.6793
 e   0
0
.
7343

l

1   21 
0.7986  l2
 0.6793

y
dando como resultado

e 1

0.7236
0.6902
e2 
 0.6902
0.7236
Estos autovectores conforman la matriz:

E
0.7236  0.6902
0.6902
0.7236
la que es ortonormal, esto es:




T
T
( e 1 ) e 1 (e2 ) e 2
1

y
26

(e1 ) e 2  0
T
0.6793  e12 
0
0.7343  l2  e22 
El ACP está destinado a explicar la estructura de varianza-covarianza a través de unas
pocas combinaciones lineales de las variables originales. Sus objetivos generales son: 1)
reducción de datos; 2) interpretación. Algebraicamente, las componentes principales son


*
*
combinaciones lineales particulares de las p variables Z1 ,, Z p .sujetas a una condición
de ortogonalidad.
Figura 3
Utilizando nuevamente nuestro ejemplo de los dos métodos de análisis, podemos ver que:
Geométricamente, estas combinaciones lineales representan la selección de un nuevo
sistema de coordenadas, obtenido por rotación del sistema original de ejes coordenados
27
(Figuras 3). En la Figura 3, e11  0.7236 es el coseno del ángulo entre el antiguo eje y el
nuevo eje-Método 1 ; mientras que e21  0.6902 es el coseno del ángulo entre el nuevo

eje y el correspondiente eje-Método 2 . El nuevo eje relacionado con e 1 , corresponde a la
línea de regresión.

La Figura 3 contiene las mismas relaciones para e 2 . Excepto para valores de p = 2 o 3, la
ecuación (6.95) no es utilizada en la práctica, en su lugar se aplican procesos iterativos que
permiten obtener numéricamente las raíces y vectores característicos.
Las Componentes Principales
La matriz de covarianzas C [en su defecto la matriz de dispersión S o incluso la matriz de
correlación, Corr , tal que C  Corr cuando los datos son estandarizados según la
(6.41)] es el punto de partida del PCA. Según la definición de C (6.43), para p-variables,
S ij es la covarianza de la i-ésima variables
de la variable

Z i*

Z i*

*
y la Z j ; mientras que
Sii es la varianza

*
de la matriz de datos Z . Si la covarianza no es nula, esto está indicando
que existe cierta relación lineal entre ambas variables. La magnitud de dicha relación está
representada por el coeficiente de correlación ij .
Sij
ij 
(6.96)
Sii S jj
La rotación de los ejes principales (ver Figura 3) transforma las p-variables



Z1 , Z 2 ,, Z p correlacionadas entre sí, en un conjunto de p-nuevas variables



(componentes principales) no correlacionadas, a1 , a2 ,, a p .
Los
ejes
coordenados
de
las
nuevas
variables

están
descriptos
por
los

autovectores ei ( I  1,, p) , que forman la matriz E de cosenos directores utilizados en
 

la transformación obtenida de la (6.81) A  Z E . Se puede comprobar (cosa que no
28

haremos aquí) que tal rotación, cuando E es la matriz de autovectores de C , produce los
máximos autovalores l i (i  1, ..., p) .


El trabajar con las variables Z i (6.51) o con las variables centradas Z j


____
 Z j  Z ( j)
(6.55), es totalmente equivalente desde el punto de vista del PCA, ya que
 
 


Cov ( Z k , Z j )  Cov ( Z k , Z j )
(6.97)
 

Entonces, de acuerdo con la (6.81) A  Z E .las nuevas variables rotadas se obtendrán de
acuerdo a la relación :
 

AZ E
Es decir:
A
a11 a12 ...... a1 p

z11

z12
...... z1p
e11 e12 ...... e1 p
a21 a22 ...... a2 p

z 21

z 22
...... z 2 p
e21 e22 ...... e2 p

.......... .......... ..
.......... .......... .....
.......... .......... ..
a N1 a N 2 .......a Np
z N 1 z N 2 ...... z Np
e p1 e p 2 ....... e pp
(6.98)
En forma vectorial, para cada nueva componente
 

a1  Z  e1  a p

 
 Z  ep .
(6.98 a)

Definición 1: Llamamos Primera Componente Principal a la variable a1 , que es la


combinación lineal de las filas (individuos) de Z
varianza máxima (l1 ) .

Propiedad : Var ( a1 ) = (l1 )
29
y que por la (6.86) y (6.87) tiene


En segundo lugar, queremos hallar otra dirección ( e2 ), ortogonal a e1 , de forma tal que los


individuos (filas) de Z
proyectados sobre ella tengan varianza residual máxima. ( l2 ). La

condición de ortogonalidad se impone para asegurar que las proyecciones sobre e1 y sobre

e2 no estén correlacionadas.

Definición 2: Llamamos Segunda Componente Principal a la variable a 2 , que es la



combinación lineal de las filas de Z , no correlacionada con a1 , y que posee varianza
residual máxima.



Propiedad: a) Var( a1 ) = l2 como l 1 l 2 entonces Var( a1 )  Var( a 2 ).
 
b) Cov( a1 ,a2 ) = 0
Si repetimos el procedimiento buscando una tercera, cuarta, quinta,...., dirección ortogonal
a las anteriormente definidas, y que tenga una varianza residual máxima, se puede
  
comprobar que las direcciones que cumplen estas condiciones son las de e3 , e4 , e5 ,.......

Definición 3: Lamamos j-ésima Componente Principal a la variable a j , que es la



combinación lineal de las filas de Z , no correlacionada con las ak (k  j ) , que tiene
varianza residual máxima.


Propiedad: a) Var( a j )= l j con



Var( a1 )  Var( a 2 ) ...... Var( a j )

b) Cov( a j , a k ) = 0 si
jk ,
Reconstrucción de la varianza total
30
j,k = 1, 2, ... , p


Llamaremos Varianza Total a la suma de las varianzas de las Z j :
Varianza Total


= Var( Z 1
)


+ Var( Z 2


) + .... + Var( Z p ) =
= S11  S 22  .....  S pp  traza( C )
(6.99)
De acuerdo a la (6.86) se tiene que:


= traza( C )=traza( L )=Var( Z 1

Varianza Total
)


+ Var( Z 2


) + .... + Var( Z p )
(6.100)
Por lo tanto, las Componentes Principales han redistribuido la Varianza Total haciendo que
las primeras acumulen la máxima cantidad de varianza posible.
Cada Componente Principal acumula una proporción de la Varianza Total igual a:
lp
l1
l2
:
: ....... :
Var .Total
Var .Total
Var .Total
Entonces, para las primeras k Componentes Principales se verifica que:
Porcentaje de la varianza total acumulada por las primeras
l  l  ....  l k
k-ésimas Componentes Principales = 1 2
x100
p
l
(6.101)
j
j 1
Obviamente, sí k = p se reconstruye el 100% de la varianza.
Si, en lugar de la matriz C , utilizamos la de correlación ( Corr), entonces Sii  1 para
todo i. En consecuencia, la traza de Corr contiene la Varianza Total, que es igual al
número de variables p.

c
Varianza Total = traza ( Corr ) = traza ( L )= p
En consecuencia, para las primeras k Componentes Principales:
31
Porcentaje de la varianza total estandarizada que acumulan
l1c  l2c  ....  lkc
x100
las primeras k-ésimas Componentes Principales =
p
(6.101a)
Si para un determinado valor de k ( k  p) se reconstruye un porcentaje elevado de la
Varianza Total, se puede reemplazar las p variables originales por las k primeras
Componentes Principales, con poca pérdida de información.
Por ejemplo en el caso de nuestro control de calidad (caso bivariado) la primera

Componente Principal ( a1 ) acumula el 94.39% de la Varianza Total, lo que implica que el

caso bivariado puede transformarse en un caso univariado, utilizando a a1 como única


variable (en lugar de Z1 y Z 2 ), con muy poca pérdida de información.
Interpretación de las Componentes Principales

Cuando medimos las variables Z j , sabemos qué, los individuos representan los valores
obtenidos de los pesos, longitudes, números de representantes de una dada especie,

caudales, etc. Hemos definido nuevas variables ( a j ) que tienen ciertas propiedades
estadísticas, pero si no podemos interpretarlas en términos de la disciplina donde estamos
trabajando, no servirán de mucho. Para eso utilizaremos un criterio estadístico coherente
con el usado hasta ahora:


Como a j son una combinación lineal de las Z j , sería razonable pensar que entre las

a j , aquellas que estén más fuertemente correlacionadas con las variables originales

( Z j ) serán las que más aporten a su interpretación.


Calculemos, entonces, la correlación entre a j y cada una de las Z j . Para ello
debemos describirlas en función de las variables centradas (6.53) de la forma
 
aj  Z ej

y
32

Z j
 
Z j
(6.102)


donde e j es el j-ésimo autovector de C y  i es el vector unitario con todos sus
elementos iguales a cero, salvo el i-ésimo, que vale 1.
Podemos definir la matriz de covarianzas en notación matricial (a menos del factor
constante N-1) de la forma:



 T 

C  (Z ) Z
T
C  (Z ) Z
o
Entonces, utilizando (6.102):
 

Cov ( Z i , a j ) =
T
   
Z j  aj =
 
 
T
   
 Z i 




T
T
T  T 
            
Z
Z ej =
 Z e j  =   i 








  
T
 

 

=   i  C e j =   i  l j e j = l j   i  e j = l j eij
 
 
 
(6.103)

donde eij es el i-ésimo elemento del autovector e j .
Luego, en forma similar
 
 
Cov ( Z i , a j )
 ij  Corr ( Z i , a j ) 



Var ( Z i ) Var (a j )

l j eij
sii l

j
lj
sii
eij
(6.104)
(i, j  1,, p )
donde hemos utilizado la propiedad a) de la Definición 3

 
Si partimos de la matriz E  eij
de los autovectores, las correlaciones se calculan

multiplicando cada columna ( j ) de la matriz E por la raíz cuadrada del autovalor
correspondiente ( l j ) y dividiendo cada fila ( i ) por la raíz cuadrada de la varianza
respectiva ( sii ).
33
Obtenemos, de esta forma una matriz
  [ij ] de Correlaciones entre Variables y
Componentes Principales, mediante el siguiente procedimiento
Multiplicar por

l1
l2
......
l


.....

e11
e12
.....
e1 p
e21
e22
.....
e2 p
.....
.....
.....
......
e p1
e p2
......
e pp
p
Dividir por

S11
S 22


........
S pp


Matriz de Autovectores E
Es decir:
l1
s11

e11
l1
=
s22
e21
l2
s11
e12 ......
l2
s22
e22 .......
l
p
e1 p
s11
l
p
s22
e2 p
(6.105)
.......... .......... .......... .......... ..........
l1
s pp
e p1
l2
s pp
e p 2 .........
l
p
s pp
e pp
Si se trabaja con la matriz de correlación ( Corr en lugar de C ), la expresión de
  [ij ] se simplifica porque las varianzas Sii =1.
34
Una ventaja adicional de trabajar con la matriz Corr es que sí los Sii =1 para todo
i=1,…,p, entonces, de acuerdo a la (6.104)
ij  l j eij
Donde hemos utilizado la condición de
consecuencia:
Proporción de la varianza de

Z i
(  ij ) 2  l j
y
“ortonormalidad” de los autovectores. En
reconstruida por las
k primeras Componentes Principales =
 i21   i22  ....   ik2
Para interpretar las Componentes, debemos observar las columnas de
(6.106)

por separado. En

cada una de ellas se tiene las correlaciones de la respectiva a j con cada una de
Las variables

Z i


las Z i
.

que posean mayor correlación con a j serán las que más aporten a la
explicación de esta Componente Principal. Para completar la interpretación debemos

considerar el signo de estas correlaciones. Si todas tienen el mismo signo, a j podría

Z i
interpretarse como la “abundancia” o “escasez” de las variables
involucradas. Si
tienen signos opuestos, esto indicaría que hay una oposición entre las variables de uno y
otro signo: hay individuos que tienen mucho de las variables positivas y poco de las
negativas y viceversa.
Para el ejemplo bivariado (Ejemplo I) utilizado hasta ahora, tenemos que:

=
0.974
0.969
 0.227
0.248

Esto significaría que la Primera Componente Principal ( a1 ) tiene alta correlación
(positiva) con ambas variables,

Z 1
(Método 1) y

Z 2
(Método 2), lo que implica que la
nueva variable tiene “abundancia” de las antiguas variables. Entonces el problema
35
bivariado puede ser reducido a un problema univariado, sustituyendo las variables

Z 2

Z 1
y

por a1 sin una pérdida significativa de información.
Para fijar conceptos, antes de hacer aplicaciones específicas en geofísica (que tienen sus
particularidades), plantearemos un nuevo ejemplo.
Ejemplo II: Supongamos que se quiere realizar un estudio morfométrico de 5 cráneos de
una misma especie, midiendo en cada individuo el Largo Total (LT), el Ancho Máximo
(AM) y Altura Media (Hm).
Entonces:
Individuos = 5 cráneos de una misma especie

Variables = Z1 = (LT)

Z 2 = (AM)

Z 3 = (Hm)
Los datos ordenados en forma de una matriz de n filas (5 individuos) y p columnas (3
variables)



Z1 Z 2 Z 3
8 4 1
9
7

Matriz de datos = Z =
6 2
4 1
8 5 2
10 6 3
Tabla II
____
Entonces,
Z (1)  8.40
____
Z (2)  5.00
Y la matriz de datos centrados tendrá la forma
36
____
Z (3)  1.80
 0.4  1.0  0.8
0.6 1.0 0.2
Z   1.4  1.0  0.8


 0.4
0
1.6 1.0
1 .3
La matriz de Covarianzas = C =
0.85
1 .0 1 .0
0.85 0.75
l 1 2.77915
Los autovalores de C :
1 .0
0.2
1.2
0.75
0.70
l 2 0.14128
l 3 0.07962
Mientras que la matriz de autovectores de C , tiene la forma
0.66368

E =
0.71312
0.22581
0.57481  0.67938 0.45611
0.47867  0.17291  0.86080
Las Componentes Principales se pueden calcular según (6.98) lo que nos dará:



a1
a2
a3
0.532
0.142
 1.223
A=
1.069  0.286 0.419
 1.887  0.181  0.084
 0.170  0.320  0.262
2.211 0.254  0.216
La Varianza Total = (traza de C ) =1.3 + 1.0 + 0.7 = ( l1  l2  l3 ) = 2.7792 + 0.1412
+0.0796 = 3.

El porcentaje de la Varianza Total reconstruido por a1 = 92.64%

El porcentaje de la Varianza Total reconstruido por a 2 = 4.71%
37

El porcentaje de la Varianza Total reconstruido por a3 = 2.65%
La matriz de correlación entre las Componentes Principales y las Variables, de acuerdo a
(6.105) será
0.97038

=
0.23504
0.05588
0.95826  0.25530
0.12870
0.95377  0.07766  0.29.32

La primera Componente, a1 , tiene correlaciones altas y de igual signo con las tres
variables LT, AM y Hm , por lo que puede ser interpretada como el “tamaño” del cráneo.
Los cráneos que tengan altos valores de las tres variables ( por ejemplo el quinto craneo)

tomarán valores altos de a1 .

La segunda Componente, a 2 , tiene las correlaciones más altas con LT y AM pero con
signos opuestos: contrasta el largo y el ancho de los cráneos. Los cráneos “estirados” (más

largos y menos anchos que el promedio) tendrán valores altos de a 2 (por ejemplo el
primero); los más "aplastados" (menos largos y más anchos que el promedio) tomarán

valores bajos de a 2 (segundo, tercero y cuarto).

La tercera Componente, a3 , tiene su mayor correlación (-0.29032) con AM, con la que esta
última Componente es fundamentalmente la "altura media" del cráneo.
38