METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA SISMICA Enrique Alarcón Alvarez Dr. Ingeniero de Caminos METDDDS NUMERICDS INGENXERIA EN SISMICA Los m~todos numéricos aplicados al estudio de estructuras sometidas a esfuezos de origen sÍsmico han sido utilizados habitualmente en ingenierÍa • La limitación tradicional con que se encontraba el analista radicaba en el enorme esfuerzo de cálculo mecanice necesario para obtener respuestas significativas tan pronto como el modelo matemático a analizar presentaba una cierta complejidad • Esta situacidn se vió sustancialmente modificada por la aparición del ordenador que , justamente , libera al proyectista del trabajo repetitivo irracional y permite dedicar tiempo a la reflexiÓn , a la par que aumenta espectacularmente la capacidad de modelado • No es extraño pues , que en los ultimes 30 anos se haya asistido a un renacimiento de una rama de la Matematica ~ue parecfa agostada y que ,fecundada por la nueva herramienta ha ilorecido en un sinf{n de técnicas y procedimientos que ponen al alcance del ingeniero el an~lisis de virtualmente , cualquier problema estructural. En este capÍtulo se pretende exponer algunas de las ideas subyacentes en estos m6todos nuevos as! como su posible aplicacidn al campo que nos interesa Evidentemente , la limitacion de espacio impedirá profundizar adecuadamente en los temas , pero la finalidad dltima ser~ dotar al estudioso de un marco general en el que situar posteriores aventuras intelectuales El contenido se articula en tres grupos principales que se al modelado de la solicitaci¿n refieren , respectivamente sísmica , de la estructura y cimiento , y al análisis de la respuesta • Tras lo dicho anteriormente , una exposición que no incluyese alguna manifestaci6n palpable de la influencia de la m'quina estaría indefectiblemente e5viada • Por ello se incluyen como apéndices cuatro bloques de subrutinas ;dos de ellas , en lenguaje Basic de microorden•dor , sa refieren a la transformada rápida de Fourier de la que se hablará mas abajo , y al cálculo de autovalores de estructuras formadas por barras ; la tercera es un pequeño programa , en Fortran IV , que permite obtener la respuesta de un sistema de un grado de libertad por un método de integracidn paso a paso • En el primer apartado se inserta tambien un programa de determinaciÓn de hipocentros. Todas las subrutinas son elemEntales y ampliamente mejorables • Creemos sin embargo quP. ello las hace especialmente legibles lo que puede impeler su uso y m~Jora par el estudiante ; intervenciÓn , en definitiva ,deseada y que es el más important~ objetiva al que aspiramos. !.MODELADO DE LA SOLICITACION Los m~todos numéricos intervienen en pricticamente todas las facetas que presenta la necesidad de cuantificar los sismos o sus efectos Desde las refinadas tecnicas de análisis de datos ~borrosos puestas a punta por Jeffreys a los sofisticadas metodos de modelización de los parametros focales , que puede personalizarse en Aki. Uno de los temas en que los métodos numéricos y el ordenador juegan un papel importante es en la fijacion de hipocentros • En las p~ginas que siguen se recoge un programa interactivo desarrollado por R.B.Herrman <Earthquake notes • Eastern Section~ Seismological society of America • vol.50 ,no 2 ,1979.). Como puede verse , se trata de un proceso iterativo de ajuste por mÍnimos cuadrados de los residuos de los tiempos de llegada ~ esto es , de las diferencias previstas por las tabla& de vg.: Bullen y Jeffreys y de los tiempos reales registrados en el observatorio • Para conseguir la minimizaciÓn del error , el prbblema se linealiza suponiendo que los par~metros del hipocentro estin lo suficientemente ajustadas a la realidad como para que los residuos dependan linealmente de las correcciones de posicion • Numéricamente el método se reduce a la resolucidn de un sistema del tipo A X IV /Y = Y 1\/ es decir , simbÓlicamente , X IV = -1 A N Y N Sin embargo , es bien sabido que la inversa de ~es muy sensible a la estimaciÓn inicial , por lo que se aconseja la ponderación transformando el de los elementos de la diagonal principal sistema anterior en A + (V e -1 2 I) V IV 'V 15.3 deseados '01 HMPLE ~fPOCUTtl lllt.tJti ...... TiOII OUhOHO 1Y 1.1. H(HMJIII ~-JUIS UIIIYHSITl Ul'T 1171 CONMOiliA6/U .lll,Z,X< 4,511 CONMOIIJSLST, lliLAI Ul ,lllll..ll UI,St'lUU s..fl,IITA c-·-·-,.OC:UI! e u.:n COI'IMOII/A\J/.UUI~II CONMOIIIA2/DH TAl U 1,01111) ,D'fUl 1, Tllll TTilll,II,ÁTIIIJ,liLOIUll AI4,41,11.&,41,YUI f UII(T 1 0/Te J I•ILOATe 4-~ 1•1. Zl 1111 liSTA • U 1111 COIITIIII.I( Olt·-----·····--------------------- z11 lU Zll IFI IICJ · " . J I 10? fO \IU OlllrE16,'"1' [;ITU STATIOI DATA, ~T•UO Z91 C···---·-UOII 1 S KM f.AST-············-·····--·····-····-------------C-------- 1P 1S P \rt ICiHT-·····-·-···----------··-·-·-··--·-·•••·•··-· C--------TS IS S ARliVAL TIIC·----···------···--·---··----·-·---- lZI lll C ·------ -1 S 1 S ~ IJ{ 1CiHT···----·······--·-·····--·------------- •••• C·-------rp 1 S r Alll'ttAL IFCII:TY.lO.Il W.JT[C6,11 1 fORN.ATC' [ITER STATIOII UADIIIIoS 11 THE FOUOWt~JM; OUU' 1' STA'/' I,,TP-;U,TS'I IIR•I 00 111 I•I,U lU lU Tlltt:·······--·-····•••····-····-----·-····• REACI~,ll STA~ ~ 511 ST• $TAl J I,)ILAT.C 11, XLOIIC 1 t ,JlV 1 su ill 541 ó5J Nlt•IIA -1 00 J7 1. 1 ,lll IIIIH16.61STAIII,IPIII,TPIII,UC11,T1111 wliTU6.•1' d\1 D.t.TA IY/11' HJI !71 511 IVESIIQIIICJI IFC IICJ.H.II CiO TO 91 Ul u• llliTEC6,•l · COllltT OI.D DATA CY/Il' CAL L IV €SitO< IICJ 1 lfl II(J.LT.II 100 TO In CALL COliCTCSTA,Ir,TP,II,TS,Ill 611 6ZI ~..tN•SJH•A(I,J)•yt.,J) Cl II•SUH U• COIITIIIIJ( C•PIIIIT SCLUf ION YECTOl IFI IKTY.N[.II lOO r o , •• C·----O[T[lHIIIIí KM P[A OECiREE LATITUD( AIIO LOIMiiTUDI·------···------· ~~~~A~~~~~ ~LAr·l. S, TI..OI••. 5, TL.AT•I.S, TI.OII··· S, DU, OYY, DISTl IH.I 101 1au lf'il IS#. tez ISU 16~1 1 rORMArllll ,Zfl •• ,,flJ.Z,ZFI •• ZI DO IJSI 1•1. 4 110 951 14•1.4 SI.IN••·• 110 L • •·• 16~· In• 16&.1 1611 lbll 1111 tU tU tU COl I.MI•SUM CONT IIIUE CONTIIII.Il 1111 17U 1731 L7U l , COC 1 • 1 1 , COl 1 , Zl, COf 1 ,l 1, COC 1, U 1 ~~~~~~ili ,C(II.l,ZX,U •• 3,ZII,Il •• U sr:r. aur 1 AZit All •-uc DTT • 1.1 ors • •·• II'ITP111.n.1 •• 1 On•4TICII•Ttlt•T0t 1F 1 TSCII. GT .1 .11 DTS•TSC U•l, 7U•TC 11 - TO TPCA&. ,_,., "' Ul 171 Ul 9. . Ul :cNT 1 ~1.1[ IIA i TEI & · ' 1 TLAT, TLOII,l, TO,SUMZ DO lll J• 1, 4 1111 lllt uu ~~~ SUH••·• 114l lll I•I,IM SuM•SUM•II J, 11•1 TMIII•nC li·TO 1-vfl liU l l l H J I•SUM DO 411 1•1, t IIH lfU !<Id Jo a• J•t,• SuM•f .1 00 U\ IC•l,IIM SUN•SUM•KII,O•UJ,ICI-vfl II!ICII/AWf Ul :OIITJIIU[ 1111 IIU ,, 1 ill ILU 1!.4 411 COIITlllliP FCIM lA tT tAl • SIGMI lt DO 611 1•1, • 00 iill J•l. u• 111fl 11'-1 ~ Ul J.ei,JI•III,JI Al 1 ,11•11 I,II+SlliMAIII C:••···1401llFY IUITR!Cts 'Ol flli(D lfe ID'HLO.[Q.II 100 TO 71.1 00 699 1•1,' ¡,¡ 3, 11•1 . .1 111 Al I,JI••·• otntt-------·------------ 1% j \ Z ISlA e 1 1 ,OIL TAl fO~AATtZH II,IAZ, Ulll, T~C 1921 1 ~JII rl, Tt JJ,Dn ,IPC 11, TSIII, ,U,~II,f'I.I,ZIZI.Ili,:UU,n.ZJ,ZX,II,ll, 1~1 F5 Z, H l,lll 911 CONTIMUE SUHJ•SU,..211 IIIH•4 1 C-'LL ELL IPSI SUHl,COI 1 ,II,CO( I,Z I,C:OU,ZII Dlll • SOii.T!SUH3'A.ISeCOII,Illl OLT • SQITISUM3•AI$1C012,2111 Ji.CII • DLII OlAT • Dt..l irllrTY.EO.II DLAT • OI..TIDYY lfiCICTY.EO.Il OLOII • 01..11/DU OZ•SQITC SUH]"(Oil,lll OT•SQIHl SiiNJ'COI 4,' 11 SJ,.l•SQIITe SUNll wa 1 TE lli, 71$i1Hl, TI..AT ,DLAT, DL T, TLOII,DLOI, DLI ,Z, DZ, TO¡I'fo-· 7 I'O~AATI/IH ,'ANS•',fll.:t/IH ,fl •• &,'••',IIJ.,,'I',IW,II.,,,'KM'I IIH ,FIJf.4,'•·',fU • .&,'E',iX,FlJ.4,'1CM'/ IIH ,fii.Z,'•·· ,fii.Z,'ICM'IIH ,Fif,2,'••',fii.Z.'S(C'II lll COIITIIIUf WUT[I6,•1 ' FIIIIISMU--\IITH DATA IY/It • • CAL~ 1 Y€$1101 1 KJ 1 1 te IICJ . 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U, Z ,11 ',lll .;::;,..MQII/AIHO•t 51 1 TMI IAITI MOOEL TO ll UIIO····-·-- COMMOII/AitiKMO, H Tll. 711 ~O,.HOII/A%1/VI 111, Dllll ,YIQ( U), TNICIIIt, TI DI IJ,III,OIIC 11,111 .CHHOIIIA.~ZIFC 11, l f t ,liC 4, 111, Hl 11 I,DrPTIU 111 ,IOitl CO,..,..OII/Al-4/FL T(P ' ' 11 ' STATIOII COIUCTIOIII All IOf IICI,IIIIO 11 fiOIUI DIPTII'J WAIT(t6,•) " lllt'l:l VILOClTY,OUnl TO.TOf Qf LAYII' ~~ 1 g~ 1 ~::.; 11EUTIVE VUOC 1 TY, TO lit IIPIIT' 1 I(AQ,I, 0 1 'IY,OO lf 1 IIV.L r .1.111 100 , . . . . un• ll•tiV ZIU ZISl uu 2tll ZIH ll\1 2 iH z111 ZIU llll ZIU ZISI ~IU Zl 71 Zltil ZIU lZII ..... ~ ~;; ~' Z, ~ ZZII r zzu ~ ,_ uu llU U'U zzu Ull llU 2ZU nu o ... i: ~ Ull e'\ ;¡_ tlll llU ~ uu Zllil Zltl lfiHOOL.(Q.Il lOO ro IZI CAU MODUCNOOI..I Go ro 1 &1 C:··--•: II'UT CIUITAL MOOIL•••···-·--·----·•••••-•••~•••••••-•····-··• y( ll'll ZI3JI uu IIIPUT ClUITAL NODIL • 1 • 11[\1, 1 • •uTTll, 1 • IMIAYMIIT, 1 • UILAIIDt • l." :!! ~~:~~~~11,7li,'CRUSTAL MOOII.'IIII,'VILOCITY ,,,. 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( ( 1 . 1 1. 1 • 1ll 1 1: .,., - 1 'H " r r, "" 1• r' 1; •1. 11 '141 lol1 l•T~I 1 1 11• ~JIIT 111\Ji: 00 lll l•I.JCIC co 211 J• 1 • ) Z~# • o J. 1 , • teJo 11 W! 1 S 1 T 141 S SPE L liD 1 l/111 • CAL~ 1 'Q \7111 \1-tl . . . . . . . . ~L 1$ riH ~UM!Iii Of LAtEIS IIICLUOIII(, IIALfSPAC[················· C OHHQIIU.6 ¡ IIL . 1- o Z, '1 4 o U 1 C<l>4110Ntoll•/•l : i l , : l l t•lo\ISQC III,THK( I.I,TIDI l •• lll,OIDI 11.1.1 :01411011 .'A.! l.· fe i 1. ; 1 1 . ;; e 4, lll oH 1 1•1, OlP Tlll 111, 1 ONl C• •• • -~Orl ! , f Ooti'IA T 1ON··-· • · · - - · · · • • • · • ••••••••••• • • - - - · · · · - • •••• - - - - IIIIIAII(.EQ.·KALT'I JNP•I lfi~AI1(.[Q.·;,,t,I,.T'I l[TUIII :f ."" .. , ,, l.'"' .• , .. ~ 1 r 1 J, ~141 • Wf J, 11 1 11 1111 l•IPC 11 r T 1 )IN , • TI 1 1 Tl11 NMI•T,III 1hil HU ·- ..:..~ -- 15.6 Otro tema donde les métodos numéricos están mostrando su potencia consiste en la simulacion de terremotos a partir de caracterÍsticas establecidas sobre su supuesto origen en una falla al estilo de la teorÍa de REID • .. 1 Entre los muchos trabajos que se han presentado ultimamente , se ha escogido el publicado por R.J. Archuleta y G.A.Frazier en el numero 3 del volumen 68 del Boletin de la SSA • Se trata de simular numericamente una ralajación de tensión en una falla plana da tamaño finito , embebida en un semiespacio elástico tridimensional • En la figura 1 se muestra la malla de elementos FIGURA 1 finitos utilizada , reducida a la mitad al tener en cuenta la simetría del problema • Para definir éste se precisa especificar el hipocentro , la geometría del plano de falla , la velocidad de ruptura , el estado inicial de tensiones y el coeficiente de rozamiento entre los labios de la falla . El método usado para el an~lisis fué una integración paso a paso con diferencias centradas en el tiempo y la malla de elementos finitos está formada por 20 x 20 x 15 elementos paralelepipédicos Aparentemente no se tomaron precauciones en el contorno del tipo que se comentará mas adelante , aunque el modelo se validÓ a través de su comparación con otros resultados previos • En la figura 2 s~ recogen los contornes de la velocidad horizontal adimensional y m~xima de una partlcula en la superficie del terreno resultantes de una rotura subsÓnica 15. í' FIGURA 2 tipo falla de rumbo , iniciada en la misma superficie • Como mis adelante se veri , el tipo de simulación anterior está todav{a limitado al interes de c{rculos acad~micos o de investigacidn , por el elevado coste que su resolucidn exige . Quizá la tecnica de elementos de contorno que se describirámas adelante podr{a revelarse Útil cÓmo alternativa en estos casos en que la tridimensionalidad es inevitable • Por el contrario , un aspecto que se analiza en forma corriente es la transmisión de ondas en medios estratificados como el indicado i·· -T " >ls '2. ~t )'.3 (. ,. y~ . . . . . . .. . . . . . \-\X¡,- .•.. ·.· ..• : 1 . . . ~ . . • • . . . . 1Hz -:..t • • ~ .• • : • • ·. • . 1 - fl'l-t • • x, / •. )(3 ..V . .. .• · . ·x, .·. ·. ... •' • 1 ,....:.....::....:_;..;.....;;...~~...-.:;.~-~~ ;, 1 • ' • ., •••• 1 -.. ~3 FIGURA 3 en la figura 3 • El problema que se plantea se refiere al cilculc da los movimientos en superficie , provocados por una onda que progresa desde el fondo de los estratos , o su rec{proco ,asto es , la ~deconvolucidn' de un movimiento conocido en superficie para evaluarlo a una cierta profundidad • Se trata , como se verá mas 15.8 adelante , de un problem~ previo a cualquier interaccidn terreno-estructura • posible an~lisis de El método que se emplea consiste en la aplicacidn de la filosofia conocida como ~matrices de transferencia' Cada capa se caracteriza por una matriz que recoge las propiedades de interé's para la propagacion entre sus bordes superior e inferior , y las variables de campo se representan mediante un vector ~de estado' que va siendo multiplicado por la correspondiente matriz de transferencia cada vez que se atraviesa una capa • El me!todo fue desarrollado por Thomson en 1950 y reelaborado por Haskell ~n publicaciones de 1953 , 1960 y 1962 • En el casa SH por ejemplo , el vector de estado es -n 1 1 u2.t S = :1 ~'~n 1_ 1 1 • du 2 : G ---: oxdj 1. •l l.. donde , evidentemente , uz representa el movimiento horizontal y x3 la coordenada segun el eje vertical La matriz de transferencia correspondiente es i ces s sen s H n n { G H n S l n n n ------------------t---------------- = i G n s sen s n H n n cos H S n n El encadenado de las capas sucesivas es pues n = S <x "'n 3 ••••••• G • G • S <O> "'1 "'1 ""n ""n-1 ""n-2 6 .G .6 = T. S (0) "'1 donde T es la mencionada matriz de transferencia • El metodo puede aplicarse a cualquier tipo de ondas , y as{ , en la figura 4 se representan los resultados obtenidos al analizar 1 5. 9 ----- ~-.-_- ~ .t==~====-~------~) ·--... 1[1-- ':) lO ~ t: 30 -- -~ 40 ~ '!1- 2:0- ,., FIGURA 4 ---.-;-n- 1'1 q,O<H"-; ( ~o 1 la distribuciÓn de energÍa en una onda P para diferentes r ecuenc i a_s y CÍngulos de i nc i denc i a , en un modelo que pretende representar la corteza terrestre continental , con 37 km. de espesor , c<S>= 3.635 km/seg , c<P> = 6.285 km/seg , ?=2.869 g/cm cuando está apoyada sobre un medio semiinfinito de c<P>= 7.960 km/seg , c<S> = 4.600 km/seg. p = 3.370 g/c:m f 1 El método está basado en la propagaciÓn de ondas con una determinada frecuencia , por lo que cuando se aplica a un movimiento definido por su historia en el tiempo , es preciso 1 proceder a descomponerlo en armon1cos • Este proceso fue relativamente costoso hasta la aparic:idn de un interesante algoritmo numérico la transformada rapida de Fourier puesta a punto por Cooley y Tukey , que permite obtener transformadas y antitransformadas de forma competitiva con otros métodos de integracion. Para facilitar su aplicacion por el principiante , mas abajo se incluye un programa para micro tipo HP-9845 , que permite obtener la transformada directa o inversa de una funcidn definida por un conjunto de valores discreto . Debido a las caracter!sticas de la miquina , que no admite tratamiento de complejos , ha sido preciso crear dos conjuntos con las componentes real e imaginaria , segun puede verse • Otro aspecto importante en que el tratamiento digital se ha impuesto ha sido en el tratamiento de los espectros de respuesta Como es sabido , ante la dificultad de disponer de acelerogramas fiables , Housner propuso en 1941 el uso de aqu¿llos para intentar caracterizar una ~intensidad sísmica~ qu~ fuese objetiva en oposici&n al concepto clasico de intensidad de Mercalli • Segun se ha explicado en capitules previos , el evolucionada hasta convertirse en Ún util de diseño metodo ha habitual • 15.1 o ~360 SUB rft<Ar<•>,Ai<•O,INTEGER NJNb,REAL·-:¡··,·tLt2~t3i 5370 5380 1 5390 1 CALCULA LA TRANSFORHADA DIRECTA O INVERSA DE FOURIER 1 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• DE UNA FUNCION DlCRETA 5~00 ·····~·············································· 5410 5420 5430 5440 5450 5460 5470 •••••••••••••••••••••••••• PARAMETRDS DE LA SUBRUTINA •••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ) Ar=COHPONENTE REAL DE LA FUNCION D~ ENTRADA Y DE LA TRANSFORMADA Ai=COHPONENTE IMAGINARIA DE LA FUNCION DE ENTRADA OY DE LA .TRANSf N•EXPONETE DE DOS TAL QUE 2 N~Nb Nb=NUMERO DE PUNTOS DE LA FUNCION DE ENTRADA Y DE LA TRANSFORHADf. !=VARIABLE DE ELECCION I=O TRANSFORMADA DIRECTA DE FOURIER I=t TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER 5480 5490 5500 5510 4 5520 5530 5540 ***********•******~****X****~****•****************~•~x********** 5550 :SSóO 5570 5580 5590 OPTION BASE 1 5600 5610 ! 5620 IF I=t THEN Hant FOR J•t TO Nb Ar<J>=Ar<J>/Nb Ai<J>=Ai<J)/Nb NEXT J 5630 5640 56SO 5660 ! DIVISION DE TODOS LOS ELEMENTOS POR EL NUMERO DE PUNTOS EN EL CASO DE LA TRANSFORMADA DIRLCTA 1 5670 Hant: 5680 5690 5700 5710 5720 5730 ~740 5750 5760 5770 5780 5790 5800 5810 5820 58:'50 5840 5850 5860 5870 5880 5090 5900 5910 5920 5930 5940 5950 5960 5970 5980 5990 6000 bOlO 6020 6030 6040 Nbd2~Hb/2 l 1 REORDENACION DE LA SERIE DE VALORES PARA EL CALCULO DE LA TRAHSFO ' Nbl'll=Nb-1 J'=1 FGk L=l TO NbM1 l ¡· L>=J THEN Man2 Tr.,Ar<J> Ti=Ai<J> Ar<J>=Ar(L) Ai<J>=Ai(L) Ar ( Ll =Tr Ai.<L.>=Ti Han2: K=Nbd2 Han3: IF K>=J THEN Han4 J=J-1( K=K/2 COTO ManJ Han4: J~J+K NEXT L Pi=3.1415926536 FOR H=1 TO N Ur:::l Ui=O Me=l Me=2 4 t1 I<"'Me/2 IF l=t THEN Man5 ! 1 1 FRECUENCIAS PARA EL CALCULO DE LA TRANSFORMADA DIRECTA Wr•COS(Pi/K) Wis-SIN(Pi/K) GOTO Hanb ! ! FRECUENCIAS PARA EL CALCULO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 1 6050 HanSa W~=COS<Pi/K) 6060 Wi=SIN<Pi/K) 6070 Han6: FOR J=1 TO K 6080 6090 ! CALCULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 6100 6110 6120 6130 ! FOR L=J TO Nb STEP He Lplr•L+I< Tr=Ar<Lpk>•Ur-Ai<Lpk)•Ui 6140 Ti•Ar<Lpk>•Ui+Ai<Lpk)*Ur 6150 Ar<Lpk>•ArCL>-Tr 6160 Ai<Lpk>•AiCL)-Ti 6170 Ar<L>•Ar<L>+Tr 6180 Ai<L>=Ai<L>+Ti 6190 NEX·, L 6200 Urr•Ur 621 O Uii•Ui 6220 Ur=Urr*Wr-Uii*Wl b230 Ui=Urr•Wi+Uii*Wr 6240 NEXT J 6250 NEXT H 6260 SU9END 15.11 Les primeros espectros fueron obtenidos por m¿tcdos analdgicos , con un péndulo de torsidn , lo que disminuÍa la fiabilidad para pequeños valores del {ndice de amortiguamiento y distorsionaba completamente el importante caso en que aquél era nulo • Nigam y Jennings en 1968 demostraron la superioridad de los métodos numéricos as{ como su fiabilidad y ,desde entonces , el proceso de tratamiento ha sido continuamente digital. Segun se ver¿ en el pró~imo capitulo , el espectro se utiliza no solamente para el cálculo determinista en problemas lineales , sino que la filosofia impuesta a traves de la Nucle~r Regulatory Comission USA ha provocado la apariciÓn de mJtodcs de simulacidn de sismos sintéticos a los que se les exige entre otras cosas un espectro de respuesta semejante a los ya detectados • Ello ha provocado la apariciÓn de procesos de simulacidn en los que , a partir de una primera aproximacidn , que consiste generalmente en la transformada de Fourier del espectro medio para amortiguamiento nulo , se procede iterativamente por un m~todo de aproximaciones sucesivas , hasta que el acelerograma generado reune todas las caracter{sticas exigidas • Evidentemente los métodos numericos juegan un papel predominante en estos procesos aunque , debido a que se les dedica un capÍtulo exclysivo , se prescindirt de mas comentarios. 2.MODELADO DE LA ESTRUCTURA Un paso definitivo para obtener resultados realistas en un procedimiento numérico es el modelado de la estructura • En este sentido los metodos computacionales han actuad~ en tres direcciones a> Ampliando ccÍlc.ulos. el numero de grados de libertad manejables en los b>Permitiendc la elaboracidn de metodos congruentes de modelado , en particular el metodo de los elementos finitos • CFEM) c>Permitiendc la representaciÓn de leyes de comportamiento adecuadas a la complejidad de los materiales que se usan. Gracias al primer tipo de ventajas , ha sido posible analizar sistemas clásicos , pero con una mayor representatividad en cuarito a riqueza de libertades se refiere. AsÍ por ejemplo , en la figura 5 se incluye el esquema de cálculo 15.12 FIGURA 5 de una central nuclear Como se explic¿ en un cap{tulo precedente el cálculo se solía realizar asemejando el comportamiento de la lámina envolvente y las estructuras inte~iores del edificio de contención mediante voladizos equivalentes en los que se ten{a en cuenta la deformabilidad a cortante • Evidentemente , sin la capacidad del ordenador y de los matados computacionales adecuados hubiera sido imposible calcular el numero de frecuencias o los modas necesarios para su an4lisis ~ En cuanto al segundo punto , no cabe duda que el gran impulso al modelado de estructuras ha venido del desarrollo del metodc de los elementos finitos , obtenido como genial culminacidn de las nuevas posibilidades mecánicas y del viejo espíritu de aproximación e interpolacion matemitica • En las p~ginas siguiente se han compuesto dos cuadres en los que se pretende recoger ~n forma breve y concisa el f~ndamento del FEM y de otras alternativas con á1 relacionadas • se centra en la resolucidn de problema una ecuacidn representativa del comportamiento del modele , gobernada por un opsrador A • El En los métodos proyectivos , base de la mayoría de los procedimientos num¿ricos actuales , se procede a resolver problemas aproximados , mediante operadores aproximados tambien al operador real • En particular la soluciÓn se escribe en una base finita de funciones conocidas , lo que lleva implÍcito un proceso de interpolación , y acto seguido se establece una relaciÓn de tipo integral utilizando otra familia de funciones para ~proyectar~ , ponderando algun error • 15.13 TABLA I 1--\0'bELAbo 'bt LA t:SíRUcTURA Au =f u~ X -t6 y X A >(Y) ~1LA~>J; f )'\ * u"'=nu"' ~ u An lJ = _n_ ME TODOS t:>Ro Yf=.c.. T 1 VOS * La.q_J. ~ U= 1 I'YJ d- d nLt"' = ¿_ a.·d Y'd· \ Mf:10DO i>e 15.14 TABLA II Df LOS "RESIDUOS l'OJJ!>t'RAbOS NETODO (A 1LUvt 1 t¡J7 ) = ( fJ ~t) = (A u 1 U(t ) [A (T1.U~- u), yJtJ= o ~ ( 8.) t.p ~);:_o ~ (.. k-it;: TObo s,. Y) ---"? Oo RAY LE l ~+-1 -""RtT.:¿. :bE lf·:::: ll)~ L lL ¿~(A4'i-'4'd)::. (f, 4'¿) METObO :DE LOS HltJIMOS ~RCJJ)VCTO IIJ11:12A O e.~ . )= (A . / CLJAbrGAbOS 1 "EaJE"~6)éT/CO) ·) ¿ a.la (Cf..' ' lf,) = eu.l ~-) A ~ ~ L be l--ttTObO LOS ~LEMENTOS Fll\)lTOS RAYLE1t;U-Rtr~-+ splinqs :rol ;.,6micos ole. So-rc'rle Ccrnpdcto. METObOS 1)6 COA)TO~NO (A (). 1 c.v¡,* ~= a (u/ ~·>t C u. (_Eu.., ~ 1 h.¡. b(u, lf/),.n:: A~~ ).n..: a (1,( , ~:")..a + &(Cft 1A)d.n..:: ( f~ u ).n.. N~·*)d.s/ {Nu, :Ftf¿'* ~..r/ (~ ~·* ~- Cf~ t.1 l..n o -, H-ETOl>OS 1>E T 12-t.fF\~ t~-= &(~-~)..., ~-l. E. H. \C..:: (~ Y:~..Q 15.15 Lo interesante sÍntesis en un / del FEM es , como se dec1a mas arriba , la todo congruente de las numerosas ide•s dispersas con~usas y , a veces , contradictorias que flotaban alrededor del tronco común • Desde este punto de vista , el FEM no es mas que el m~todo de los mínimos cuadrados cuando la distancia se mide con una norma adecuada , o el método de Rayleigh-Ritz cuando se utilizan para interpolar splines polinomicos de pequeño soporte • Una técnica alternativa que est~ gozando de una creciente popularidad en los ambientas académicos es el método de los elementos de contorno <MEC> , que parte igualmente de una relacidn de tipo integral basada en los conocidos teoremas de reciprocidad a los que se aplica la tácnica interpolatoria del FEM Mas abajo indicaremos alguno de sus posibles usos en . . / / . 1ngen1er1a S1sm1ca. Finalmente , y como exponante de las posibilidades de representacidn realista de las leyes de comportamiento de los materiales , la figura 6 recoge las llamadas reglas de TAKEDA que se utilizan para representar el comportamiento din~mico de estructuras de hormigón • Como puede verse , el modelo es elastopléstico y degradable , representando la enorme complejidad que la respuesta de una estructura de hormigon armado , con sus proceses de fisuraci6n progresiva o acumulable ,va sufriendo • Precisamente la elección del comportamiento lineal o no es uno de los primeros puntos de bifurcaciÓn en que se precisa ~cudir a la capacidad ingenieril • En general , la elecciÓn del modelo lineal está provocada por el deseo de ahorro computacional ; pero en ocasiones la no linealidad se presenta inevitablemente ,vg.: al analizar problemas de inestabilidad grandes deformaciones etc. Conviene recordar sin embargo que los modelos lineales mantienen su validez todav{a y , de•de luego , bajo el punta de vista computaciona~pues en los procedimientos paso a paso de los que se hablará mas abajo la estructura se trata como lineal a trozos • El modelo de Takeda se ha aplicado al estudio de la respuesta de estructuras porticadas de hormig6n , en la que como integración se utilizaba un método paso a paso , y dentro de él la idea de matriz de rigidez tangente , buscando los incrementos sucesivos de fuerza En estos casos se realiza una prediccidn de las propiedades que se corrige a posteriori , siendo normal la t~cni~a da las llamadas fuerzas desequilibradas que ,en esencia , consista en buscar la distancia entre el punto a que se llega en al proceso de intagraci~n precitado y la curva real tension d•formacion del material • Esa distancia mide el desequilibrio provocado en la 15.16 FIGURA 6 <D: Rule ®: Rul• <!>: B\lle ®: Rule u,. Jt 6 ~ u 7 8 @: Rule. 9 5 L&.. ®: l\ll.• 10 (!>: Rule 11 ®: RUle 12 ®: RW.e 13 ~= New RW.e Deflectlon 10 (e:) <D: lule 4 (2:): 1\ile 6 ~: Rule ®: Rule (!): Rule (j): lule 7 8 u. •...u o LL 9 10 <i>: Hew ·lvl• 6 ®: N.., bl• 7 Jlule 8 <!): ,.. ... Otflection 15.17 hipótesis de integracidn , y para eliminarla se concentra en los nudos como cargas equivalentes que se a~adan en el intervalo de tiempo siguiente • El programa citado tiene en cuenta tambi~n un cierto grado de no linealidad provocado por los desplazamientos , a través del llamado efecto P -delta , que consiste en llegar a e•tablecer el equilibrio en la posicion final de los pilares verticales , lo que implica la aparición de momentos de empotramiento provocadas por el descentramiento del esfuerzo axil respecto a la directriz nominal. Otra posibilidad que debe mencionarse en este capÍtulo es el tratamiento con subestructuras en problemas come el de la figura ~ BALSARA & NORMAN (EESDJ \975) FIGURA 7 donde se manejan medios muy distintos • Esta tJcnica permite en algunos casos simplificar al problema enormemente al tener en cuenta la posibilidad de concentrar las efectos de una subestructura en el contorno de la otra , tal como &a vid al tratar de los problemas de interacciÓn terreno-estructura t{picos en el calculo de las centrales nucleares Cfig 8>. En este sentido es interesante considerar las posibilidades que puede ofrecer un método como el de los elementos de contorno para simplificar la obtencion de las caracter{sticas citadas (fig 9 >. 15.18 + + ll 15.19 r--1 " 15.20 Finalmente , en la tabla III 5e incluye el proce5o de discretización que conduce a las ecuaciones dinámicas representativas del sistema en estudio. TABLA III q = - e U.. -"tb IV "- DlSCRt.Tl ?_ACtO~ i, =J...J 2_,. ···.~ iLU u.~ n 'll d· LV· d ¿__ ct l m (h , * ad. (e l{J_ ) LP¿ ) + ~- o_d (»~ LIJ· ~ 4';) + .2_ 1 d VV\ X+C~+k 1"\.."' lVI\.. X::: ~,..,. 111 15.21 3.RESPUESTA DINAMICA Una vez que cargas y estructura han sido modeladas es preciso resolver las ecuaciones del sistema-Las tablas IV,V y VI recogen TABLA IV 1) A Y\~ llSIS VVlD d c9 ( Ya.X+Cx-+kx.:: F ~"\,..-/"\.- of'\...1"'\..- ("'\..A,... "'- fYVb l ~m~ d~ óluto c..1:J.lo ras [- ~ w"t-+ 9:_ =o t] --7> ~ x~ 4""" ~,.,., ,...._ ( cfnn <b) ~-\-e cp1 c 4) ~+ (cP\<t>) ~ ~ q} ~ ('\..-" ~ 1'\. ,._ 1'\..o- _,... ~ 1\- 1\. A - /"- 15.22 este procese. TABLA V ¡¿, ) 'Re sr u asta. i .€A.t.. ~1·x +ex~- ('\..-.~'\...- /\...1"'\.. ci Cl 1'"-Q: C-u Q..v¡ k'>< = fC-L) 1'1.- 1'\... /'""\.- ~{el)= <f}ffCt) = ((Jf'~ 1 ~F2 XCo()= (-o( 21:!:!- .¡_ -¿"~ 1 'J·oU_. ~ ;--·· :J;'F... / !?fx{-LJ -t 15. ) ~ (O() X {o( J.:( 1 í. i1 lo(/ (..U) = ,E{%) fl {ot, c.U) t{ D( j -1 . :: - - - - - - - -k r e~ )z+ i - i 2 ~ ( ~ )] t1t 'bra.et' ~ J-tf2J ~y)'~ (11 . S:.w )~ 1H-¡"2. s_f' 3 . el. R~Co )~ ~ ~[ L§Jo() ,2f e~~ ~ (r<) ~ 5tJ~; (> sx(<><) .:> t-\ e~) c.)). ~ +f (o(l 'U) ;2,/o<h c~<f ~ ?r-Cor) <j: ( ..n?r 1 1 &.:r c.-vt"ti bLtc<cMeJ ~cuty b) &e-i~ CA~ ck ~ ~d.« c;l;) ~ 4-J; !-IJ ..::1 ) e~- uUVIet~ ck 1 15.23 TABLA VI S~ d- l-eS~ xt ::L(x. -2~ .h.t.. i. + 1:: ,..._ t: 'l • '><t.::. Á '1.- ~-1:--+A-l: J _L.... ¿-/; +X ....... -1: - t.-1:. >< - "-t-At- 2 ~ ·~1;-+~~1:- ~ ~ ~é-= f (t) 11M. + ~ e ) x : : : ~-t' f + ( /~ ?. ~ "--t+.Ai:~ = 6..1? -r -./ ) + r~ 2 - .6-1? ~1x-t + L~ ~- ~1 15.24 Las tablas anteriores resumen los metodos de c.lcula adecuados • Cada uno de ellos presenta problemas computacionales de interes • Asi por ejemplo el incremento en numero de grados de libertad ha hecho necesario desarrollar mdtodos que permitan calcular autavalores y autovectores con ~conomia y pr ecisidn , lo que es clave en el m~todo de los modos normales. 1 El programa Vibrapor , por ejemplo , esta preparado para el analisis modal de pÓrticos planos en un IBM-PC • A continuación se incluyen las subrutinas que realizan el calculo de autovalores por PROGRAMA ·" V I B R A P O R . Este programa realiza el calculo de las frecuencias propias y modt de vibracion de estructuras reticuladas de nudos rígidos. ~***~**** DICCIONARIO ~NN "MS "NF "N3=NN*3 Numero Numero Numero Numero de de de de nudos barras g.d.l. coartados g.d.l. totales 'NP=N3+1 "N=N.3-NF .,. M1 ••••••••••• "A <N-3, N3> Numero de g.d.l. reales Numero de frecuencias a obtener ( <=N ) Matriz de rigidez de la estructura total en globales, sin aplicar restricciones a los g.d.l.; pasa a ser la sin aplicar restricciones a los g.d.l.; pasa a ser la inversa de A y acaba recogiendo el producto <INV K>*H "XXCN3,NP> Matriz de masa en coordenadas globales :o AM {M 1) ••••••• Vector de autovalores 'VCCN,Ml) Ml vectores modales de un numero de componentes igual al num~ro real de g.d.l N. "'X<NN) Vector de coord~~adas X de los nudos ~v<NN> Vector de coordenadas Y de los nudos 'IG <N> Vectores auxiliares 'Z<N> ~NSlNF> ••••••• Numero del g.d.l. coartado 'DC<6,6) .••••• Matriz de rotacion 'SM(6,6> •••••• Matriz de masa consistente elemental en locales y globales. ,52<6,6> •••••• SM.DC .Matriz auxiliar para el calculo de la SM en globales :ovE<N> •••••••• Vector que va recogiendo las diferentes columnas de la matriz CINV A>tM '********************************************************************: 15.25 un procedimiento de iteracion inversa y barrido • 70 71 72 ######## PROGRAMA PRINCIPAL 73 81 OPTION BASE 1 PRINT PRINT .. ANALISIS MODAL DE ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS RIGIDOS" PRINT PRINT .. Numero de nudos .. INPUT NN PRINT .. numero de barras .. INPUT MS PRINT"Numero de grados de libertad coartados .. INPUT NF N3=NN*3 82 83 84 85 86 87 88 90 100 110 1~0 NP=N3+1 130 N=N3-NF 140 PRINT .. Numero de frecuencias propias a calcular(menor o igual que .. ;N; 150 INPUT M1 151 152 7 D1mensionamiento de conjuntos 7 160 DIM A<N3,N3>,XXCN3,NP>,AM<Ml>,VC<N,M1>,X<60>,IG(N),Z(NJ,NS<NF>,Y<NN 170 DIM DC<6,6>,SM<6,6J,S2<6,6>,VE<N> 171 ,. 172 'E~j enviado a formar las matrices de masa y rigidez, a invertir esta 173 "y a formar el producto CINV K>*M 174 7 GOTO 1760 PRINT 180 190 200 PRINT"Se 210 211 PRINT 212 estan calculando los .;;_._¡tovalores" ,. 7 Se calculan autovalores por el metodo de las potencias 213 ,. 220 230 240 250 260 270 280 290 GOSUB 350 FOR 1=1 TO Ml PRINT"autovalor= ;AM<I> PRINT 11 frecuencia= 11 ;SQR(l/AM(l))/(2*3.141618) PRINT"El autovector es .. PRINT" " FO~ J=1 TO N FR I NT VC <J , I > ; " .. ; 11 NEXT J 300 310 320 330 340 341 ' PRINT PRINT NEXT I. END ~~####tttttt#tt############tt##################tt########'ltUUt## :ttt#lttt##tUUt### 15.26 Evidentemente 1 el metodo no es el mas adecuado para problemas 350 MN=N 360 NN=N 370 GOSUB 1240 .380 M=l 390 FOR 1=1 TO NN 400 VCCI,M>=XCI> 410 XXCI,M>=VCCI,M> 420 NEXT I 430 AMCM>=XM 440 IF M1<2 THEN 230 450 FOR M=2 TO M1 451 , 452 , Proceso de 453 , 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 11 barrido 11 de la matriz FOR 1=1 TO NN K4=ABS(XXCI,M-1>-1> IF K4<9.999999E-06 THEN IR=! NEXT I IGCM-l>=IR FOR 1=1 TO NN XXCMN-I+1,MN-M+3>=A<IR,I> NEXT I FOR I==l TO NN FOR J=1 TO NN Zl=MN-J+1 Z2=MN-M+3 A<I,J>=A<I,J>-XX<I,M-1>*XXCZ1,Z2> NEXT J 600 NEXT I 610 FOR 1==1 TO NN IF I=IR THEN 710 620 630 IF I>IR THEN Kl=I-1 640 IF I<=IR THEN Kl=I FOR J=l TO NN 650 IF J=IR THEN 700 660 670 IF J>IR THEN K2 J-1 680 IF J<=IR THEN K2=J = 690 ACK1,K2>=ACI,J> NEXT J 700 710 NEXT I 720 NN=NN-1 730 M3=NN 740 IF M<>MN THEN 780 750 XM=A<1,1) 760 XC 1 > =1 770 GOTO 790 780 GOSUB 1240 15.27 grandes , por lo que la citada subrutina solo debe tomarse en su 790 FOR 1=1 TO NN 800 XX<I,M>=X<I> 810 NEXT I 820 AM<M>=XM 830 M4=M-1 840 M5=1000-M4 850 FOR M8=M5 TO 999 860 M6=M3+1 870 M2=1000-M8 880 M7=IGCM2>+1 890 IF M6<M7 THEN 960 900 N9=1000-M7 910 N8=1000-M6 920 FOR 13=N8 TO N9 930 1=1000-13 940 XCI>=X<I-1> 950 NEXT 13 960 J=IG<M2> 970 X<J>=O 980 SM=O 990 FOR 1=1 TO M6 1000 Z3=MN-I+1 1010 Z4=MN-M2+2 1020 SM=SM+XX<Z3,Z4>*X<I> 1030 NEXT I 1040 XK=<AMCM2>-XM>/SM 1050 FOR 1=1 TO M6 1060 X<I>=XX<I,M2>-XK*XCI) 1070 NEXT I 1080 SM=O 1090 FOR 1=1 TO Mó 1100 IF ABS<SM><ABSCX<I>> THEN SM=X<I> 1110 NEXT I 1120 FOR I=l TO M6 1130 X<I>=XCI)/SM 1140 NEXT I 1150 M3=M3+1 1160 IF M2<>1 THEN 1200 1170 FOR 1=1 TO M3 1180 VCCI,M>=X<I> 1190 NEXT 1 1200 NEXT MB 1210 NEXT M 1220 RETURN 1230 END 15.28 1 , capacidad educativa.Segun se indica el matado actuAlmente mas usado es el de iteraciÓn con subespacios que aprovecha la posibilidad de modelar la respuesta como superposicidn de un numero limitado de modos y utiliza para el cálculo una proyeccicn semejante a la planteada al estructurar el m~tcdo • El método de respuesta en frecuencia sdlo ha sido posible tras la aparici~n de la transformada rapida de Fourier FFT • Su uso es continuo en problemas de interaccion terreno- estructura o análisis probabilista que es otra de las ramas cuyo desarrollo esta siendo espectacular • Finalmente los metodos paso a paso son ideales para el tratamiento de problemas no lineales aunque exigen precauciones en lo que se refiere a los problemas de estabilidad y convergencia • Muy popular ha sido el metodo de las diferencias centrales que solo es condicionalemente estable , asi como los metodos basados que se esquematizan en la en el esquema de Newmark correspondiente tabla. En las paginas que siguen se recoge un pequeno programa que ofrece la respuesta de un sistema con un grado de libertad y una cierta riqueza en la caracterización de sus elementos resolviendo las ecuaciones por un método de predicción corree~ ción : el llamado de la aceleracion media • ' ~1 .. ll.T,"l."t.-,..r;At"l~·.i:·;·~-~;.-- r) --t-l-F+J-f---t.t-1- - .. -···-- ~ ..-1,. ..,--;. ~-! ~-H; . , . 4 - - - - - - - tl;t¡(JJ(.;f, lllCA,II,( 1 X 1 )1PI vlu •. oc; t:~J 1 liOUUll;c LLU A(,:A-t•X-<.•XP --t-~hH.H~--#t~b------+~H4Hl'itt•--------- o U UO l O 11 __ L r. O .,.,._f--6:-·~---- 1 ~- U 15.29 ell1 1 L 1.1'1./l"'.t,,to,/ltl:, -~'1 ••&.lo 1u ~~:,....;z....¡_~¡_~.u.,..J-.III'l.IOCI l.!OOuO;¿ .,lU IJI.IJ -~fJ.b'=l...s-----t> 1. UOGilLI'• ucoon •, A UL(J t..:rr. L ~1'(11111. L 1.: l.t-HrG-1+*-• h J 1oo ---""'~I.U (.')U!Ill: L~Oilll l'i7'1 ------· ............... L e ~O~~Y4----"--.{-~U----4o.--- llCJiiG/ IJCUt [JI' rLPt.lliC -~:~P-~-l~--J..~WA.l.------ Tf:Jt-t~,lf.f,ll fJI,/•l /II:JI,Li•l t'l f,T•4 IJE. l Jl MFU P<irU---1.:--__,),...,Ior--.... "-'"-A"-1·(;... -J-~.¡...AL,,--------------------------'"'t:'J'J c. x.J'Ci:~tUll.ll•l·'' INfriiiL L..[U L 1_1\I~(.U.:IWUUh t.lJP'I~.ll;l.l ulfi IJI Ll L l -~'lu-U-.1.-.i-- .-.~A--u~~--!. ~~¡.J..A-----·--·------- L. O(1 LJ 1 ! 1", U UUúlll.. UUJ --U-t;.Q.-4,.....__ _ _ _ , L Q llC~IIJl! LLU lt!J(It¡] 1 lJLU t 1· 1" 1, ·¡ :-: 'J ;, lli 1~ IJ 1 C xl:l/111.11, " • L L i.l-l'l=VIILOII liLl l /, 1 ' 1 H l U IH.1 11 (. 1 e•"' t-'11/P'IINIO LN lL li\I\TAt-.T[ l ~·-~l-ll. .,q,.,~~---4:•\... -v+L--0(.-UM"--b·k-...f..t...-l~~lA-U.lt;...-!------------L.l LA l.Ullr?A~JOio -JJ.CU..C .L-1.;..'---~·.._c;.;.;"--'CI.--__.I';..J*IL<*IL&+.a*..IIMt""'4uéu01L.'M1L---I.G(.íl;l•· L,Ul C tt.t~ALA (lf 111\ lOS UUIJI:lll IJtU C IIJ~IANl( U.: l l UUJL lA~ -~U~.~~------~~~~~~J~--4(-------At~•u+u•~$~•••~*~·~A~·~9~*a•••~•~•~v~·~e~•-~~~~---------------------------------------- LLUtl; tJCIJIJ23 L[Q l:lO L t: ---f~U~~~~~~------~1·~~~~~~--~~-----~I~r•t~A~u~~~~~------------------------------------------------UIIJI'~' LCll l. Jti" 1 X0 1 1PO,TII,H,~I,[k~llll,,.lTOD U CU (ll e: Ll U C N f 1 P 1 1\ ~K , t, ~ l , t.. V U --~~~------~~--~----~~~-----------------------------------------------------------IJilOIJL'I· uuo " 7. ·~ tillO ut o e c.:opc \,; L n~ ucJUJI OUUll32 UúO GCU C C •~••••••••••••••••••••••••• r~ ----U~~~J~·~------~u~~~u~--~~·--------~~---------------------------------------------------------------------~uu~·~~------~~~--~------------------------------------------------~--------------~-----------c.; L!(l.l liU]A L~Uf.HJU oouUJ't OGUUJ~ l:LU e UOIJG3"/ UUUII~" ULIJ C. C U(.U ········••.;• ~t".lOU:í f'\LlOUO 01 UL U~UI' 1 tlt UIJUflttJ ~4).UCI.t Cl..ll OIIU l,lLIJ C e· ·~•¡u·~~¡,¡.l- .... ~U-1 '- UUUOitl tli.Hl C UO~OII'I --41~~1;111 LLU C OUL.Jnllc. U 0 O O11 1 UCU.IJ" 1 ur;Jf:&¡•, UUdd'·l LA LA AClLli<¡\((ON •nlii'o 1 1'l0" ~l.lP:I f#JI.JIJI.,',AMCWrll,uAHJltdO Y 1\IJP:l ~Jh, Y AMlrl!l, PUL!I~Ut1JC'O~ UCOI,;,\.~oL----4.1U~',.¿,r;....·__-.~,.,.____tc.ec.¡_rUl.U..::.U-l•l.l•l'l' ''(!! r.: lJl"U 1, r: U ''1.:1' LLU C.: t { (. t. ' ~C~1 Ll.ll C.r.U ~CUQ~~ ~co e OOUO~J U[O l llt.llJL. H[DI 1 Pl~ll.fHtAClO~ Y flU~T. T~Ot,.' POLlNOHJCOS. 01. ~Alf\W[S, ftCILA IJ~ ~I.I.OicL\i O t'UfiC.I-tu.I~L..,¡li-----''"~: f\UHI.I•ll l•L t;ltlfl1..1Lt-4H.~ f'OLlii.O,.IO ul RlGlULle ~~~~: "'IJHI.hU Ul CIJll·lt.:llN1l~ POL1Mli'Jfl lJt: AHOklJ(jUAHll "10. • \~~U.l.,...J.~--&.14.-~l~U• ..U...N-U..~-it.~~-1-41--4'L Pt.RII'IHtACl..Ou..------l!!l.ft<:\'AU.I, Llll JtJfr,JL!. ldLJfd..'. Cl' U C : V~ U. h l fl !" l (.1 Ud 1:. ~ MI (J k 1 H> L A f' Il f\ T O • _ 1 C•krl ~.:.~~l: .•u;..J..IrJ..l~~oo,..;,:.i~l~l.~.-<1(~1 -40"~-~olo~·~~~~"------------------H.:fi,I·LA JC:fA1.LA l ' •fA••&..t l/,'•LUhL'• ~Hu,~L~ f•IL!IJLio AfluldJLrUUllUHG. I!ALI.iH.~ -""-kii.!~Ol·~lO.U---------------------- ········~~··"' "-''---"'-'"U!------------- -U.CU~!..·... ¡ ,,te t t. lO (. ~-~~~1'~·~~~-----~~-------­ I.;U~c~· Ll IJ f'1Cll(t\t1A f.'f.hr. Ll f... !:dllfilO úE c. lJ CJ(!'J ., l,;~ll · ...,,, tu t t e 1 (.¡"' -e oH .-el 1LN l utúl:.~ liLo• L·5 '- •·r uOll!\c.l 1.( l 1 ~ISTu•t.S llE PrflHlR (iiU(JO POR t'llúOUS 15.30 uell t: ,, :. e 1'1' ro ~ r" t .: P 1 1 , L '- u 1 "' e ~o l 1 , 1 L e ~·u 1 1 , e (¡ f H; e H , ~~·.¡.,1(¡.,.,~}---~ll:rJ t-U~-----tl~t.+J41~"'tl~"*~ h-~·Wr-r't+·H4 y.,l, 1'4-yJl-~ -P-1IJ(Qf,f..l¡ uCU l. ucur.bs ut:o (. -wG4.1-~H lo Ion li ld. o 11 e u ll t o e{, 1 u u eb ~~ o llt:TUkA (J( LO', lll'lt..'.i In euu PPEOU1110 1\ 1 a 1 , eor f' e e e 1 --------------------------~~~a~~O--------- PRE.fOIIVC PkfCOt.>IJC UIIHAilA ·-------·--· ------------------____,ffl.'~n-bl..f.lU~4.!~t.-r-l¡~.¡,¡...---- s l r ~:. 1 ~· " ~ b · - · J!.I1LlJU.;¡.~•2u.U--­ P11l CU~.JO r- ~< L nu • 11 o ___¡qa.~.,yst.r..---- ~G\.-+.~----~+~-------~W.'"-4-l,_.~t+l-4.--L_,.,,'-'';..----- ',U U 1] 1 L 1 lJ e:J u 1 1 ,. e u t.cr:¡ ~u..¡qJ ' Q(¡¡,¡_; ui.O '"l J fl / lll 1.1 1 11 UU 1 U11J lJ -~W.l.) 11 7 1' l (1 U 11 11.. l,CUL!/1 - .... oow~UCüL7'' I'CULfo.l, ru ¡,LO t, l. 11 ~ l• 1 O U LU u -...i..C~i 1t 11 t.l #Jillltt,•otiiA'" 1 ~v 1 APU 1 1ü,lf,AI,L,I·'PlfJ,,..l1Cil,flfJHPIC 1 (¡,..,.,A 1 1 H 1 t 1 • '' , J ~ , f" ~ • 11 l I·HLU(~LO P 1;[ U U 5 lO &t ~~-WU-J..~.o--'4..1 ~ le 1 ,f ll12 l 1 1 t~ t-' 1 IU..tlJ~.tU!----- ! 1 ._· 1 r 11 , Hl ro;II'II\11//J-.:..:':.AH~ 1 ~ '"' , ..( .. ~~.M_..Io),' J fOiiMflllltl',l 11 e 11.: T 1 P - ¡: 1 t¡ 11 IQ L C 11 1 ~ ~. u (J U L <· ~.(J.k~-t-¡.~~-4J-.4.¡.__ A J• lJ 1 H P IH 1.1 U 5 9 IJ 1Nl(JAL(S /I5li.'Ttd:Pinft.lt•llf.' "'"~-~,.t-\IU-----4-l-41..:...&.~!~..¡+.~L-....~r!..4.....JU'--l~.:...!.._.,.~.~~LVt..~~-l--OAO-', E:.l ]., L 1 1UX ~-I~..Af.IU..UC:U~-1-~,;---uliJ ;!t.H· FJt,t.L.::',LU.~/lúA'Hn.:HLIIt.til() lll 1Jt:MJ·O:',t:12.!:.110X 1 f:AJ,'OR JolH'lSPih(j(lf•i.'C llt..fJ ..!ll'l.l:',t"l;..•./ltH,'t¡A~A L.¡·L ~.l~.Tlf"fl:',fl7e'd PPLI.(Jt.3r I·:;urot~~ IHJ ll ~ ~ .. 4,.LU-i,;.lio" 1 1¡ ......... a~l+-o-1 t. f 0 tcl~ 4 1 U L f. 4 1 ~- ¡; r 1 e , J ·~ r , il 1 ' L t4 e f. U l(Jl t UL t Af 1 ( R 1< O f. , X " ll,ll-c/IUA'/II~.a _____., llLllú.t..W.uLJ..----PPlCUt.~( , '-l t-> 1·' l. (;U 11 b 1 l• 1~-'-j,..~'--J-.'-W.Ji..._________ 1olll 1 t:. 1 1 t1 P , 1 1 J 1 1 L li ( f ~ 1 MJ t K : l t 11. V1( 1 f Otd·-t A T 1/ 1 '.Jo, ' C • t"l. 11 ~ 1 lL A • (. lJ( f • [) l l 7 ·o~f.lJ ¡.¡ 1\.t~-L~~.J...l~U-4:- 1,.CU lol<lllllt-~l',!l.t¡JILULFCIIUIK:l,t~VC) lOit f.(.NlJILIOI~f.~ 1 ._ ~ , •• ""--..,"' ~>~--- LCGI."h Cl:Ut:!!c,. LCU 1 t-C"l-1fdl//~.>.'(.. U[ AHORlll,UHiffNYO. ~~ ~-'-tLIICttl...O...----- PO L1 N l: t1l O '/8 CO[f. Oll (lf )( , f 1 1 • .. 1 J f.·f¡ L lJ U t: d lJ P rH OUh ~ C JH.J;UUlu---Pfi(IJU110 P0LlNOMI0'/8C .. X,fll.lfPinOOl2r - - - - - - - - - - - - - - - - - J I : . . U L ( l J . l l U .. --,~-- J ,. 1,u T 1 r·- ~ 1 r, J 1 b P ~ r r. D 1 4 r. HAtJIUC,4IICOLf(; F-'llffJlJ75U _L,.!J.u_,_r.;;.(·....J''----......¡.,,.-~.1.·~fJ-J-----~b-"U...1.L~l U.I.J:H- , 1.' • ' t ~o· •ll~< l ,.K...:...l.-..-111 ........~--------------------~ur. D .J lt..D-~--- _ Uflo.11:'1'• : ~~~ ll'~ lll .. t-"11 11//-.,)'.'l'unt~l\l-tALJlifh llll..f. Lll POlli\Ot1l0'/811fX,(llelfll PPlOU7H u r, u ·~ ., ~ú Lo .. o r u 'J P r. t r o 1 u e -Ü.~-~f.;.lOSI4t-----1.1 ~1 oo-l'OJ-----:t.~-1-1·!....U.0-\1~ .. ~ ..... L-UU-1 ~.C....----ll r U¡ 1~ 1 U 0 (1 b l• 1. A 1.í 1 L l C , li l 1 1 TU 1 t- J t K: 1 , N VIJ J fJ Rl OU f' O O lJ r: u r¡ •n u :. . o o. H 1 T~ 1 1 H f' .t 1 o 1 , P " L 'J u 1! ¡ u ,, . \J l1'' 1 uro ur:l~JC:'U l.lO 4------- 1 '1 t1 o 1 A-41U.'"""L""'"~LI~o~-1 ..._t-v. .•.....•...,•>....R....._.(..a~~·...l..__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___,puQI!..jlt-(,c.¡..:.;.~ié~O----I · C(¡ l U ~~ 1J C O 1t. ~ 1 l E 1 1 ~: P , 1 1• u ) 1 1 L: f X ) t J( ::.: 1 t N VU ) 1' 11 [ OU fl JO UOUlOl t..CO lO«.t fUt-c1oU.J't~ti'IX 1 t ll.ftll PPJ.r.Clft40 -4CU.-U;;¿ veo t o 'JO-!:. tL.nll!..C---··· 110Ul0l lJl:(l b lrt"-VI\Illtll,U PWI.fJUtli,C· 1 00010 t OCO 12 J([I\IJtll.t,•ll) lltll~ltK:l,NyKJ Plé(11Ull7U -4l.U.l.l &.~IJ...;¡•.___ _-4o!UL411-1.10~-----h-"'!...t.l~(....t..J. ' l..!l.IJ..o::..t!g.b~O---UflUJ(II: \,LU 117 tli!/H/\11//!,X,'l• ~LA!..f'llAo HlilA L( VALOIHS'' PPLCOil'iC iJOOit 1 UCIJ t.hljlEill".t·,ll't..lll"~(K,,'t<:.l,h~KI PUl.IJUqUU --C-4J..J..4iiJ~HL.._.---4-ol·.¡.;f'~C·-----*!..\.-1-.J.U~.J-.W.-r•~l"Tt-J.J...;,;.~·-+~---------------------------- ........f'..JtW:C..'l..J..C.-----~lJij u 1 ( 1 •, 1 i.. 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