METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA SISMICA

METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA SISMICA
Enrique Alarcón Alvarez
Dr. Ingeniero de Caminos
METDDDS
NUMERICDS
INGENXERIA
EN
SISMICA
Los m~todos
numéricos aplicados al estudio
de estructuras
sometidas a esfuezos de origen sÍsmico han sido utilizados
habitualmente en ingenierÍa • La limitación tradicional con que
se encontraba el
analista radicaba en el enorme esfuerzo de
cálculo mecanice necesario para obtener respuestas significativas
tan pronto como el modelo matemático a analizar presentaba una
cierta complejidad •
Esta situacidn se vió sustancialmente modificada por la aparición
del ordenador que ,
justamente ,
libera al proyectista del
trabajo repetitivo irracional y permite dedicar tiempo a la
reflexiÓn , a la par que aumenta espectacularmente la capacidad
de modelado •
No es extraño pues , que en los ultimes 30 anos se haya asistido
a un renacimiento de una rama de la Matematica ~ue parecfa
agostada y que ,fecundada por la nueva herramienta ha ilorecido en
un sinf{n de técnicas y procedimientos que ponen al alcance del
ingeniero el an~lisis de
virtualmente , cualquier problema
estructural.
En este capÍtulo
se pretende exponer algunas de las ideas
subyacentes en estos m6todos nuevos
as! como su posible
aplicacidn al campo que nos interesa
Evidentemente ,
la
limitacion de espacio impedirá profundizar adecuadamente en los
temas ,
pero la finalidad dltima ser~ dotar al estudioso de un
marco general en el que situar posteriores aventuras intelectuales
El contenido se articula en tres grupos principales que se
al modelado de la solicitaci¿n
refieren ,
respectivamente
sísmica , de la estructura y cimiento ,
y al
análisis de la
respuesta •
Tras lo dicho anteriormente ,
una exposición que no incluyese
alguna manifestaci6n palpable de la influencia de la m'quina
estaría indefectiblemente e5viada • Por ello se incluyen como
apéndices cuatro bloques de subrutinas ;dos de ellas , en lenguaje
Basic de microorden•dor , sa refieren a la transformada rápida de
Fourier de la que se hablará mas abajo ,
y al cálculo de
autovalores de estructuras formadas por barras ; la tercera es un
pequeño programa ,
en Fortran IV ,
que permite obtener la
respuesta de un sistema de un grado de libertad por un método de
integracidn paso a paso • En el primer apartado se inserta tambien
un programa de determinaciÓn de hipocentros.
Todas las subrutinas son elemEntales y ampliamente mejorables •
Creemos sin embargo quP. ello las hace especialmente legibles lo
que puede
impeler su uso
y
m~Jora
par el
estudiante ;
intervenciÓn , en definitiva ,deseada y que es el más important~
objetiva al que aspiramos.
!.MODELADO DE LA SOLICITACION
Los m~todos numéricos intervienen en pricticamente todas las
facetas que presenta la necesidad de cuantificar los sismos o sus
efectos
Desde las refinadas tecnicas de análisis de datos
~borrosos
puestas a punta por Jeffreys a los sofisticadas
metodos de modelización de los parametros focales , que puede
personalizarse en Aki.
Uno de los temas en que los métodos numéricos y el
ordenador
juegan un papel importante es en la fijacion de hipocentros • En
las p~ginas
que siguen se recoge
un programa interactivo
desarrollado por R.B.Herrman <Earthquake notes • Eastern Section~
Seismological society of America • vol.50 ,no 2 ,1979.).
Como puede verse , se trata de un proceso iterativo de ajuste por
mÍnimos cuadrados de los residuos de los tiempos de llegada ~
esto es , de las diferencias previstas por las tabla& de vg.:
Bullen y Jeffreys y de los tiempos reales registrados en el
observatorio • Para conseguir la minimizaciÓn del error ,
el
prbblema
se linealiza
suponiendo que
los par~metros
del
hipocentro estin lo suficientemente ajustadas a la realidad como
para que los residuos
dependan linealmente de las correcciones
de posicion •
Numéricamente el
método se reduce
a la resolucidn de
un sistema
del tipo
A X
IV
/Y
=
Y
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es decir , simbÓlicamente ,
X
IV
=
-1
A
N
Y
N
Sin embargo , es bien sabido que la inversa de ~es muy sensible
a
la estimaciÓn inicial , por lo que se aconseja la ponderación
transformando el
de los elementos de la diagonal principal
sistema anterior en
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..:..~
--
15.6
Otro tema donde les métodos numéricos están mostrando su potencia
consiste
en
la
simulacion
de terremotos
a
partir
de
caracterÍsticas establecidas sobre su supuesto origen en una
falla al estilo de la teorÍa de REID •
..
1
Entre los muchos trabajos que se han presentado ultimamente , se
ha escogido el publicado por R.J. Archuleta y G.A.Frazier en el
numero 3 del
volumen 68 del Boletin de la SSA • Se trata de
simular numericamente una ralajación de tensión en una falla
plana
da tamaño finito ,
embebida en un semiespacio elástico
tridimensional • En la figura 1 se muestra la malla de elementos
FIGURA 1
finitos utilizada , reducida a la mitad al
tener en cuenta la
simetría del problema • Para definir éste se precisa especificar
el hipocentro , la geometría del
plano de falla , la velocidad de
ruptura , el estado inicial de tensiones y el coeficiente de
rozamiento entre los labios de la falla .
El método usado para el an~lisis fué una integración paso a paso
con diferencias centradas en el
tiempo y la malla de elementos
finitos está formada por 20 x 20 x 15 elementos paralelepipédicos
Aparentemente no se
tomaron precauciones en el contorno del
tipo que se comentará mas adelante , aunque el modelo se validÓ a
través de su comparación con otros resultados previos •
En la figura 2 s~ recogen los contornes
de la velocidad
horizontal adimensional
y m~xima
de una partlcula
en la
superficie del terreno resultantes de una rotura subsÓnica
15. í'
FIGURA 2
tipo falla de rumbo , iniciada en la misma superficie •
Como mis adelante se veri , el tipo de simulación anterior está
todav{a limitado
al interes
de c{rculos acad~micos
o de
investigacidn ,
por el elevado coste que su resolucidn exige .
Quizá la tecnica de elementos de contorno que se describirámas
adelante podr{a revelarse Útil cÓmo alternativa en estos casos en
que la tridimensionalidad es inevitable •
Por el contrario , un aspecto que se analiza en forma corriente
es
la transmisión de ondas en medios estratificados como el
indicado
i··
-T
"
>ls
'2.
~t
)'.3
(.
,. y~
.
.
. . . . .. . . . . .
\-\X¡,- .•.. ·.· ..• :
1
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•
.
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x,
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...
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•
1
,....:.....::....:_;..;.....;;...~~...-.:;.~-~~ ;, 1 • '
•
., ••••
1 -..
~3
FIGURA 3
en la figura 3 •
El
problema que se plantea
se refiere al cilculc da los
movimientos en superficie , provocados por una onda que progresa
desde el fondo de los estratos , o su rec{proco ,asto es , la
~deconvolucidn'
de un movimiento conocido en superficie para
evaluarlo a una cierta profundidad • Se trata ,
como se verá mas
15.8
adelante , de un problem~ previo a cualquier
interaccidn terreno-estructura •
posible an~lisis de
El método que se emplea consiste en la aplicacidn de la filosofia
conocida como
~matrices
de
transferencia'
Cada capa se
caracteriza por una matriz que recoge las propiedades de interé's
para la propagacion entre sus bordes superior e inferior
, y las
variables de campo se representan mediante un vector ~de estado'
que va siendo multiplicado por la correspondiente matriz
de
transferencia cada vez
que se atraviesa una capa •
El me!todo fue
desarrollado por Thomson en 1950 y reelaborado por Haskell
~n
publicaciones de 1953 , 1960 y 1962 • En el casa SH por ejemplo ,
el vector de estado es
-n
1
1
u2.t
S =
:1
~'~n
1_
1
1
•
du 2 :
G ---:
oxdj
1.
•l
l..
donde , evidentemente , uz representa el
movimiento horizontal y
x3
la
coordenada segun el
eje vertical
La
matriz de
transferencia correspondiente es
i
ces
s
sen s
H
n
n
{
G
H
n
S
l
n
n n
------------------t----------------
=
i
G
n
s
sen s
n
H
n
n
cos
H
S
n
n
El encadenado de las capas sucesivas es pues
n
=
S <x
"'n
3
••••••• G • G • S <O>
"'1
"'1
""n ""n-1 ""n-2
6 .G
.6
=
T. S (0)
"'1
donde T es la mencionada matriz de transferencia •
El metodo puede aplicarse a cualquier tipo de ondas ,
y as{ , en
la figura 4 se representan los resultados obtenidos al analizar
1 5. 9
----- ~-.-_-
~ .t==~====-~------~)
·--...
1[1--
':)
lO
~
t:
30 --
-~
40
~
'!1-
2:0-
,.,
FIGURA 4
---.-;-n-
1'1 q,O<H"-; (
~o
1
la distribuciÓn de energÍa en
una onda P para diferentes
r ecuenc i a_s y CÍngulos de i nc i denc i a
, en un modelo
que pretende
representar la corteza terrestre continental ,
con 37 km.
de
espesor , c<S>= 3.635 km/seg , c<P> = 6.285 km/seg , ?=2.869
g/cm cuando está apoyada sobre un medio semiinfinito de c<P>=
7.960 km/seg , c<S> = 4.600 km/seg.
p = 3.370 g/c:m
f
1
El
método está basado en la propagaciÓn de ondas con una
determinada frecuencia ,
por lo que cuando se aplica a un
movimiento definido por su historia en el tiempo ,
es preciso
1
proceder a descomponerlo en armon1cos
•
Este proceso fue relativamente costoso hasta la aparic:idn de un
interesante algoritmo numérico
la transformada rapida de
Fourier puesta a punto por Cooley y Tukey ,
que permite obtener
transformadas y antitransformadas de forma competitiva con otros
métodos de integracion.
Para facilitar su aplicacion por el principiante , mas abajo se
incluye un programa para micro tipo HP-9845 , que permite obtener
la transformada directa o inversa de una funcidn definida por un
conjunto de valores discreto .
Debido a las caracter!sticas de la
miquina ,
que no admite tratamiento de complejos ,
ha sido
preciso
crear
dos conjuntos
con las componentes
real e
imaginaria , segun puede verse •
Otro aspecto importante en que el tratamiento digital se ha
impuesto ha sido en el tratamiento de los espectros de respuesta
Como
es
sabido
,
ante
la
dificultad de
disponer de
acelerogramas fiables ,
Housner propuso en 1941 el uso de
aqu¿llos para intentar caracterizar una ~intensidad sísmica~ qu~
fuese objetiva en oposici&n al concepto clasico de intensidad de
Mercalli •
Segun se ha explicado en capitules previos ,
el
evolucionada hasta convertirse en Ún util de diseño
metodo ha
habitual •
15.1 o
~360
SUB rft<Ar<•>,Ai<•O,INTEGER NJNb,REAL·-:¡··,·tLt2~t3i
5370
5380
1
5390
1 CALCULA LA TRANSFORHADA DIRECTA O INVERSA DE FOURIER
1 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
DE UNA FUNCION DlCRETA
5~00
·····~··············································
5410
5420
5430
5440
5450
5460
5470
••••••••••••••••••••••••••
PARAMETRDS DE LA SUBRUTINA
••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• )
Ar=COHPONENTE REAL DE LA FUNCION D~ ENTRADA Y DE LA TRANSFORMADA
Ai=COHPONENTE IMAGINARIA DE LA FUNCION DE ENTRADA OY DE LA .TRANSf
N•EXPONETE DE DOS TAL QUE 2 N~Nb
Nb=NUMERO DE PUNTOS DE LA FUNCION DE ENTRADA Y DE LA TRANSFORHADf.
!=VARIABLE DE ELECCION
I=O
TRANSFORMADA DIRECTA DE FOURIER
I=t
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER
5480
5490
5500
5510
4
5520
5530
5540
***********•******~****X****~****•****************~•~x**********
5550
:SSóO
5570
5580
5590
OPTION BASE 1
5600
5610
!
5620
IF I=t THEN Hant
FOR J•t TO Nb
Ar<J>=Ar<J>/Nb
Ai<J>=Ai<J)/Nb
NEXT J
5630
5640
56SO
5660
! DIVISION DE TODOS LOS ELEMENTOS POR EL NUMERO DE PUNTOS
EN EL CASO DE LA TRANSFORMADA DIRLCTA
1
5670 Hant:
5680
5690
5700
5710
5720
5730
~740
5750
5760
5770
5780
5790
5800
5810
5820
58:'50
5840
5850
5860
5870
5880
5090
5900
5910
5920
5930
5940
5950
5960
5970
5980
5990
6000
bOlO
6020
6030
6040
Nbd2~Hb/2
l
1 REORDENACION DE LA SERIE DE VALORES PARA EL CALCULO DE LA TRAHSFO
'
Nbl'll=Nb-1
J'=1
FGk L=l TO NbM1
l ¡· L>=J THEN Man2
Tr.,Ar<J>
Ti=Ai<J>
Ar<J>=Ar(L)
Ai<J>=Ai(L)
Ar ( Ll =Tr
Ai.<L.>=Ti
Han2: K=Nbd2
Han3: IF K>=J THEN Han4
J=J-1(
K=K/2
COTO ManJ
Han4: J~J+K
NEXT L
Pi=3.1415926536
FOR H=1 TO N
Ur:::l
Ui=O
Me=l
Me=2 4 t1
I<"'Me/2
IF l=t THEN Man5
!
1
1
FRECUENCIAS PARA EL CALCULO DE LA TRANSFORMADA DIRECTA
Wr•COS(Pi/K)
Wis-SIN(Pi/K)
GOTO Hanb
!
! FRECUENCIAS PARA EL CALCULO DE LA TRANSFORMADA INVERSA
1
6050 HanSa W~=COS<Pi/K)
6060 Wi=SIN<Pi/K)
6070 Han6: FOR J=1 TO K
6080
6090 ! CALCULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
6100
6110
6120
6130
!
FOR L=J TO Nb STEP He
Lplr•L+I<
Tr=Ar<Lpk>•Ur-Ai<Lpk)•Ui
6140 Ti•Ar<Lpk>•Ui+Ai<Lpk)*Ur
6150 Ar<Lpk>•ArCL>-Tr
6160
Ai<Lpk>•AiCL)-Ti
6170 Ar<L>•Ar<L>+Tr
6180 Ai<L>=Ai<L>+Ti
6190 NEX·, L
6200 Urr•Ur
621 O Uii•Ui
6220 Ur=Urr*Wr-Uii*Wl
b230 Ui=Urr•Wi+Uii*Wr
6240 NEXT J
6250 NEXT H
6260 SU9END
15.11
Les primeros espectros fueron obtenidos por m¿tcdos analdgicos ,
con un péndulo de torsidn ,
lo que disminuÍa la fiabilidad para
pequeños valores del {ndice de amortiguamiento y distorsionaba
completamente el importante caso en que aquél era nulo •
Nigam y Jennings en 1968 demostraron la superioridad de los
métodos numéricos as{ como su fiabilidad y ,desde entonces , el
proceso de tratamiento ha sido continuamente digital.
Segun se ver¿ en el pró~imo capitulo , el espectro se utiliza no
solamente para el cálculo determinista en problemas lineales ,
sino que la filosofia impuesta a traves de la Nucle~r Regulatory
Comission
USA
ha provocado
la apariciÓn de mJtodcs de
simulacidn de sismos sintéticos a los que se les exige entre
otras
cosas un espectro de
respuesta semejante a los ya
detectados •
Ello ha provocado la apariciÓn de procesos de simulacidn en los
que , a partir de una primera aproximacidn ,
que consiste
generalmente en la transformada de Fourier del espectro medio
para
amortiguamiento nulo , se procede iterativamente por un
m~todo
de aproximaciones sucesivas , hasta que el acelerograma
generado reune todas las caracter{sticas exigidas •
Evidentemente los métodos numericos juegan un papel predominante
en estos procesos aunque , debido a que se les dedica un
capÍtulo exclysivo , se prescindirt de mas comentarios.
2.MODELADO DE LA ESTRUCTURA
Un paso definitivo para obtener resultados realistas en un
procedimiento numérico es el modelado de la estructura • En este
sentido
los metodos
computacionales han
actuad~
en
tres
direcciones
a> Ampliando
ccÍlc.ulos.
el numero
de grados de
libertad manejables
en los
b>Permitiendc la elaboracidn de metodos congruentes de modelado ,
en particular el metodo de los elementos finitos • CFEM)
c>Permitiendc la
representaciÓn de leyes
de comportamiento
adecuadas a la complejidad de los materiales que se usan.
Gracias al primer tipo de ventajas , ha sido posible analizar
sistemas clásicos , pero con una mayor representatividad en
cuarito a riqueza de libertades se refiere.
AsÍ por ejemplo , en la figura 5 se incluye el esquema de cálculo
15.12
FIGURA 5
de una central
nuclear
Como se explic¿ en un cap{tulo
precedente
el
cálculo
se
solía
realizar asemejando
el
comportamiento de
la lámina
envolvente y
las estructuras
inte~iores
del
edificio
de
contención mediante
voladizos
equivalentes en los que se ten{a en cuenta la deformabilidad a
cortante •
Evidentemente ,
sin la capacidad del ordenador y de los matados
computacionales adecuados hubiera sido imposible calcular el
numero de frecuencias o los modas necesarios para su an4lisis ~
En cuanto al segundo punto , no cabe duda que el gran impulso al
modelado de estructuras ha venido del
desarrollo del
metodc de
los elementos finitos , obtenido como genial
culminacidn de las
nuevas
posibilidades mecánicas
y del
viejo espíritu
de
aproximación e interpolacion matemitica •
En las p~ginas siguiente se han compuesto dos cuadres en los que
se pretende recoger ~n forma breve y concisa el
f~ndamento del
FEM y de otras alternativas con á1 relacionadas •
se centra en la
resolucidn de
problema
una ecuacidn
representativa del comportamiento del modele , gobernada por un
opsrador A •
El
En los métodos
proyectivos ,
base de la
mayoría de los
procedimientos num¿ricos
actuales ,
se procede
a resolver
problemas aproximados ,
mediante operadores aproximados tambien
al operador real •
En particular la soluciÓn se escribe en una base finita de
funciones conocidas ,
lo que lleva implÍcito un proceso de
interpolación , y acto seguido se establece una relaciÓn de tipo
integral utilizando otra familia de funciones para ~proyectar~ ,
ponderando algun error •
15.13
TABLA I
1--\0'bELAbo
'bt
LA t:SíRUcTURA
Au
=f
u~
X
-t6 y
X
A
>(Y)
~1LA~>J;
f
)'\
*
u"'=nu"' ~ u
An lJ = _n_
ME TODOS
t:>Ro Yf=.c.. T 1 VOS
* La.q_J.
~
U=
1
I'YJ
d- d
nLt"' = ¿_
a.·d Y'd·
\
Mf:10DO
i>e
15.14
TABLA II
Df LOS "RESIDUOS l'OJJ!>t'RAbOS
NETODO
(A 1LUvt 1 t¡J7 ) = ( fJ ~t)
= (A u 1
U(t )
[A (T1.U~- u), yJtJ= o
~
( 8.) t.p ~);:_o ~
(..
k-it;: TObo
s,.
Y) ---"? Oo
RAY LE l ~+-1 -""RtT.:¿.
:bE
lf·::::
ll)~
L
lL
¿~(A4'i-'4'd)::.
(f, 4'¿)
METObO :DE LOS HltJIMOS
~RCJJ)VCTO
IIJ11:12A O
e.~ . )= (A . /
CLJAbrGAbOS
1
"EaJE"~6)éT/CO)
·)
¿ a.la (Cf..' ' lf,)
= eu.l ~-) A
~ ~
L
be
l--ttTObO
LOS
~LEMENTOS Fll\)lTOS
RAYLE1t;U-Rtr~-+ splinqs
:rol ;.,6micos
ole. So-rc'rle Ccrnpdcto.
METObOS
1)6
COA)TO~NO
(A (). 1 c.v¡,* ~= a (u/ ~·>t
C u.
(_Eu..,
~
1
h.¡. b(u, lf/),.n::
A~~ ).n..: a (1,( , ~:")..a + &(Cft 1A)d.n..:: ( f~ u ).n..
N~·*)d.s/
{Nu,
:Ftf¿'* ~..r/ (~ ~·* ~- Cf~ t.1 l..n
o -, H-ETOl>OS 1>E T 12-t.fF\~
t~-= &(~-~)..., ~-l. E. H.
\C..::
(~ Y:~..Q
15.15
Lo interesante
sÍntesis en un
/
del FEM es ,
como se dec1a mas arriba ,
la
todo congruente de las numerosas ide•s dispersas
con~usas
y
, a
veces , contradictorias que flotaban alrededor
del tronco común • Desde este punto de vista , el FEM no es mas
que el m~todo de los mínimos cuadrados cuando la distancia se
mide con una norma
adecuada , o el método de Rayleigh-Ritz
cuando se utilizan para interpolar splines polinomicos de pequeño
soporte •
Una técnica alternativa que
est~ gozando de una creciente
popularidad en los ambientas académicos es el método de los
elementos de contorno <MEC>
, que parte igualmente de una
relacidn de tipo integral basada en los conocidos teoremas de
reciprocidad a los que se aplica la tácnica interpolatoria del
FEM
Mas
abajo
indicaremos alguno de sus posibles usos en
.
.
/
/
.
1ngen1er1a
S1sm1ca.
Finalmente
, y
como
exponante de
las posibilidades
de
representacidn realista de las leyes de comportamiento de los
materiales , la figura 6 recoge las llamadas reglas de TAKEDA que
se utilizan para representar
el comportamiento din~mico de
estructuras de hormigón •
Como puede verse , el modelo es elastopléstico y degradable ,
representando la enorme complejidad que la respuesta de una
estructura de hormigon armado , con sus proceses de fisuraci6n
progresiva o acumulable ,va sufriendo •
Precisamente la elección del comportamiento lineal o no es uno de
los primeros puntos de bifurcaciÓn en que se precisa ~cudir a la
capacidad ingenieril • En general
, la elecciÓn del modelo lineal
está provocada por el deseo de ahorro computacional ; pero en
ocasiones la no linealidad se presenta inevitablemente ,vg.: al
analizar problemas de inestabilidad
grandes deformaciones
etc.
Conviene recordar sin embargo que los modelos lineales mantienen
su validez todav{a y , de•de luego ,
bajo el punta de vista
computaciona~pues en los procedimientos paso a paso de los que se
hablará mas abajo la estructura se trata como lineal a trozos •
El modelo de Takeda se ha aplicado al estudio de la respuesta de
estructuras porticadas de hormig6n , en la que como integración se
utilizaba un método paso a paso , y dentro de él la idea de
matriz de rigidez tangente , buscando los incrementos sucesivos
de fuerza
En estos casos se realiza una prediccidn de las propiedades que
se
corrige a posteriori , siendo normal la t~cni~a da las
llamadas fuerzas desequilibradas que ,en esencia , consista en
buscar la distancia entre el punto a que se llega en al proceso de
intagraci~n precitado y la curva real tension d•formacion del
material • Esa distancia mide el desequilibrio provocado en la
15.16
FIGURA 6
<D:
Rule
®: Rul•
<!>: B\lle
®: Rule
u,.
Jt
6
~
u
7
8
@: Rule. 9
5
L&..
®:
l\ll.• 10
(!>: Rule 11
®: RUle 12
®: RW.e 13
~= New RW.e
Deflectlon
10
(e:)
<D:
lule 4
(2:): 1\ile 6
~:
Rule
®: Rule
(!): Rule
(j): lule
7
8
u.
•...u
o
LL
9
10
<i>: Hew ·lvl• 6
®: N.., bl• 7
Jlule 8
<!): ,..
...
Otflection
15.17
hipótesis de integracidn , y para eliminarla se concentra en los
nudos como cargas equivalentes que se a~adan en el intervalo de
tiempo siguiente •
El programa citado tiene en cuenta tambi~n un cierto grado de no
linealidad provocado por los desplazamientos , a través del
llamado efecto P -delta , que consiste en llegar a e•tablecer el
equilibrio en la posicion final de los pilares verticales , lo
que implica la aparición de momentos de empotramiento provocadas
por el descentramiento del esfuerzo axil respecto a la directriz
nominal.
Otra posibilidad que debe mencionarse en este capÍtulo es el
tratamiento con subestructuras en problemas come el de la figura ~
BALSARA & NORMAN (EESDJ
\975)
FIGURA 7
donde se manejan medios muy distintos • Esta tJcnica permite en
algunos casos simplificar al problema enormemente al tener en
cuenta
la posibilidad
de concentrar
las efectos
de una
subestructura en el contorno de la otra , tal como &a vid al
tratar de los problemas de interacciÓn terreno-estructura t{picos
en el calculo de las centrales nucleares Cfig 8>.
En este sentido es interesante considerar las posibilidades que
puede ofrecer un método como el de los elementos de contorno para
simplificar la obtencion de las caracter{sticas citadas (fig 9 >.
15.18
+
+
ll
15.19
r--1
"
15.20
Finalmente ,
en la tabla
III 5e incluye el
proce5o de
discretización
que
conduce
a
las
ecuaciones
dinámicas
representativas del sistema en estudio.
TABLA III
q = - e U..
-"tb
IV "-
DlSCRt.Tl ?_ACtO~
i, =J...J 2_,. ···.~
iLU u.~
n
'll
d· LV·
d
¿__ ct
l
m
(h
,
*
ad. (e l{J_ ) LP¿ ) +
~- o_d (»~ LIJ· ~ 4';) + .2_
1
d
VV\
X+C~+k
1"\.."'
lVI\..
X:::
~,..,.
111
15.21
3.RESPUESTA DINAMICA
Una vez que cargas y estructura han sido modeladas es preciso
resolver las ecuaciones del sistema-Las tablas IV,V y VI recogen
TABLA IV
1) A Y\~ llSIS
VVlD
d c9 (
Ya.X+Cx-+kx.:: F
~"\,..-/"\.-
of'\...1"'\..-
("'\..A,...
"'-
fYVb l ~m~ d~ óluto c..1:J.lo ras
[- ~ w"t-+
9:_ =o
t]
--7>
~
x~
4""" ~,.,.,
,...._
( cfnn <b) ~-\-e cp1 c 4) ~+ (cP\<t>) ~ ~ q} ~
('\..-"
~
1'\.
,._
1'\..o-
_,...
~
1\-
1\. A
-
/"-
15.22
este procese.
TABLA V
¡¿, )
'Re
sr u asta.
i
.€A.t..
~1·x +ex~-
('\..-.~'\...-
/\...1"'\..
ci Cl
1'"-Q: C-u Q..v¡
k'>< = fC-L)
1'1.-
1'\...
/'""\.-
~{el)= <f}ffCt) = ((Jf'~ 1 ~F2
XCo()=
(-o( 21:!:!- .¡_ -¿"~
1
'J·oU_.
~
;--··
:J;'F... /
!?fx{-LJ
-t
15. ) ~ (O()
X {o( J.:( 1 í.
i1 lo(/ (..U)
=
,E{%)
fl {ot, c.U)
t{
D(
j
-1
. :: - - - - - - -
-k
r e~ )z+
i -
i 2 ~ ( ~ )]
t1t 'bra.et' ~ J-tf2J ~y)'~
(11 .
S:.w )~ 1H-¡"2. s_f'
3 . el.
R~Co )~ ~ ~[ L§Jo() ,2f e~~ ~ (r<) ~ 5tJ~;
(>
sx(<><) .:> t-\ e~) c.)).
~
+f (o(l 'U)
;2,/o<h c~<f ~ ?r-Cor) <j: ( ..n?r 1
1
&.:r c.-vt"ti bLtc<cMeJ ~cuty
b) &e-i~ CA~ ck ~ ~d.« c;l;) ~ 4-J; !-IJ
..::1 )
e~- uUVIet~ ck
1
15.23
TABLA VI
S~
d- l-eS~
xt ::L(x.
-2~
.h.t..
i. + 1::
,..._ t:
'l
•
'><t.::.
Á
'1.-
~-1:--+A-l:
J
_L....
¿-/;
+X
....... -1: -
t.-1:.
><
-
"-t-At-
2
~ ·~1;-+~~1:- ~ ~ ~é-= f (t)
11M. + ~ e ) x
: : : ~-t' f +
( /~
?.
~
"--t+.Ai:~
= 6..1? -r
-./
)
+
r~
2
-
.6-1?
~1x-t + L~ ~- ~1
15.24
Las tablas anteriores resumen los metodos de c.lcula adecuados •
Cada uno de ellos presenta problemas computacionales de interes •
Asi por ejemplo el incremento en numero de grados de libertad ha
hecho
necesario desarrollar
mdtodos que
permitan calcular
autavalores y autovectores con ~conomia y pr ecisidn , lo que es
clave en el m~todo de los modos normales.
1
El
programa Vibrapor ,
por ejemplo ,
esta preparado para el
analisis modal de pÓrticos planos en un IBM-PC • A continuación
se
incluyen las
subrutinas que
realizan el
calculo de
autovalores por
PROGRAMA ·"
V I B R A P O R
.
Este programa realiza el calculo de las frecuencias propias y modt
de vibracion de estructuras reticuladas de nudos rígidos.
~***~****
DICCIONARIO
~NN
"MS
"NF
"N3=NN*3
Numero
Numero
Numero
Numero
de
de
de
de
nudos
barras
g.d.l. coartados
g.d.l. totales
'NP=N3+1
"N=N.3-NF
.,. M1 •••••••••••
"A <N-3, N3>
Numero de g.d.l. reales
Numero de frecuencias a obtener ( <=N )
Matriz de rigidez de la estructura total en globales,
sin aplicar restricciones a los g.d.l.; pasa a ser la
sin aplicar restricciones a los g.d.l.; pasa a ser la
inversa de A y acaba recogiendo el producto <INV K>*H
"XXCN3,NP>
Matriz de masa en coordenadas globales
:o AM {M 1)
••••••• Vector de autovalores
'VCCN,Ml)
Ml vectores modales de un numero de componentes igual
al num~ro real de g.d.l N.
"'X<NN)
Vector de coord~~adas X de los nudos
~v<NN>
Vector de coordenadas Y de los nudos
'IG <N>
Vectores auxiliares
'Z<N>
~NSlNF> ••••••• Numero del g.d.l. coartado
'DC<6,6) .••••• Matriz de rotacion
'SM(6,6> •••••• Matriz de masa consistente elemental
en locales y
globales.
,52<6,6> •••••• SM.DC .Matriz auxiliar para
el
calculo
de
la
SM en globales
:ovE<N> •••••••• Vector que va recogiendo las diferentes columnas de
la matriz CINV A>tM
'********************************************************************:
15.25
un procedimiento de iteracion inversa y barrido •
70
71
72
########
PROGRAMA PRINCIPAL
73
81
OPTION BASE 1
PRINT
PRINT .. ANALISIS MODAL DE ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS RIGIDOS"
PRINT
PRINT .. Numero de nudos ..
INPUT NN
PRINT .. numero de barras ..
INPUT MS
PRINT"Numero de grados de libertad coartados ..
INPUT NF
N3=NN*3
82
83
84
85
86
87
88
90
100
110
1~0
NP=N3+1
130
N=N3-NF
140 PRINT .. Numero de frecuencias propias a calcular(menor o igual que .. ;N;
150
INPUT M1
151
152 7 D1mensionamiento de conjuntos
7
160
DIM A<N3,N3>,XXCN3,NP>,AM<Ml>,VC<N,M1>,X<60>,IG(N),Z(NJ,NS<NF>,Y<NN
170
DIM DC<6,6>,SM<6,6J,S2<6,6>,VE<N>
171 ,.
172 'E~j enviado a formar las matrices de masa y rigidez, a invertir esta
173 "y a formar el producto CINV K>*M
174
7
GOTO 1760
PRINT
180
190
200
PRINT"Se
210
211
PRINT
212
estan calculando los .;;_._¡tovalores"
,.
7
Se calculan autovalores por el metodo de las potencias
213 ,.
220
230
240
250
260
270
280
290
GOSUB 350
FOR 1=1 TO Ml
PRINT"autovalor= ;AM<I>
PRINT 11 frecuencia= 11 ;SQR(l/AM(l))/(2*3.141618)
PRINT"El autovector es ..
PRINT"
"
FO~ J=1 TO N
FR I NT VC <J , I > ; "
.. ;
11
NEXT J
300
310
320
330
340
341 '
PRINT
PRINT
NEXT I.
END
~~####tttttt#tt############tt##################tt########'ltUUt##
:ttt#lttt##tUUt###
15.26
Evidentemente
1
el metodo
no
es el
mas
adecuado para
problemas
350 MN=N
360 NN=N
370 GOSUB 1240
.380
M=l
390 FOR 1=1 TO NN
400 VCCI,M>=XCI>
410 XXCI,M>=VCCI,M>
420 NEXT I
430 AMCM>=XM
440 IF M1<2 THEN 230
450 FOR M=2 TO M1
451 ,
452 , Proceso de
453 ,
460
470
480
490
500
510
520
530
540
550
560
570
580
590
11
barrido
11
de la matriz
FOR 1=1 TO NN
K4=ABS(XXCI,M-1>-1>
IF K4<9.999999E-06 THEN IR=!
NEXT I
IGCM-l>=IR
FOR 1=1 TO NN
XXCMN-I+1,MN-M+3>=A<IR,I>
NEXT I
FOR I==l TO NN
FOR J=1 TO NN
Zl=MN-J+1
Z2=MN-M+3
A<I,J>=A<I,J>-XX<I,M-1>*XXCZ1,Z2>
NEXT J
600 NEXT I
610 FOR 1==1 TO NN
IF I=IR THEN 710
620
630
IF I>IR THEN Kl=I-1
640
IF I<=IR THEN Kl=I
FOR J=l TO NN
650
IF J=IR THEN 700
660
670
IF J>IR THEN K2
J-1
680
IF J<=IR THEN K2=J
=
690
ACK1,K2>=ACI,J>
NEXT J
700
710 NEXT I
720 NN=NN-1
730 M3=NN
740 IF M<>MN THEN 780
750 XM=A<1,1)
760 XC 1 > =1
770 GOTO 790
780 GOSUB 1240
15.27
grandes , por lo que la citada subrutina solo debe tomarse en su
790 FOR 1=1 TO NN
800
XX<I,M>=X<I>
810 NEXT I
820 AM<M>=XM
830 M4=M-1
840 M5=1000-M4
850 FOR M8=M5 TO 999
860
M6=M3+1
870
M2=1000-M8
880
M7=IGCM2>+1
890
IF M6<M7 THEN 960
900
N9=1000-M7
910
N8=1000-M6
920
FOR 13=N8 TO N9
930
1=1000-13
940
XCI>=X<I-1>
950
NEXT 13
960
J=IG<M2>
970
X<J>=O
980
SM=O
990
FOR 1=1 TO M6
1000
Z3=MN-I+1
1010
Z4=MN-M2+2
1020
SM=SM+XX<Z3,Z4>*X<I>
1030
NEXT I
1040
XK=<AMCM2>-XM>/SM
1050
FOR 1=1 TO M6
1060
X<I>=XX<I,M2>-XK*XCI)
1070
NEXT I
1080
SM=O
1090
FOR 1=1 TO Mó
1100
IF ABS<SM><ABSCX<I>> THEN SM=X<I>
1110
NEXT I
1120
FOR I=l TO M6
1130
X<I>=XCI)/SM
1140
NEXT I
1150
M3=M3+1
1160
IF M2<>1 THEN 1200
1170
FOR 1=1 TO M3
1180
VCCI,M>=X<I>
1190
NEXT 1
1200 NEXT MB
1210 NEXT M
1220 RETURN
1230 END
15.28
1
,
capacidad educativa.Segun se indica el matado actuAlmente mas
usado es el de iteraciÓn con subespacios que aprovecha la
posibilidad de modelar la respuesta como superposicidn de un
numero limitado de modos y utiliza para el cálculo una proyeccicn
semejante a la planteada al estructurar el m~tcdo •
El método de respuesta en frecuencia sdlo ha sido posible tras la
aparici~n de
la transformada rapida de Fourier FFT • Su uso es
continuo en
problemas de interaccion terreno- estructura o
análisis probabilista que es otra de las ramas cuyo desarrollo
esta siendo espectacular •
Finalmente los metodos paso a paso son ideales para el tratamiento
de problemas no lineales aunque exigen precauciones en lo que se
refiere a los problemas de estabilidad y convergencia •
Muy popular ha sido el metodo de las diferencias centrales que
solo es condicionalemente estable , asi como los metodos basados
que
se esquematizan
en
la
en
el
esquema de
Newmark
correspondiente tabla.
En las paginas que siguen se recoge un pequeno programa que
ofrece la respuesta de un sistema con un grado de libertad y una
cierta riqueza
en la
caracterización de sus
elementos
resolviendo las
ecuaciones por un método
de predicción
corree~ ción : el llamado de la aceleracion media •
'
~1
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r)
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- .. -···--
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15.29
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C
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LA
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1\IJP:l ~Jh, Y AMlrl!l, PUL!I~Ut1JC'O~
UCOI,;,\.~oL----4.1U~',.¿,r;....·__-.~,.,.____tc.ec.¡_rUl.U..::.U-l•l.l•l'l'
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Cl' U C : V~ U. h l fl !" l (.1 Ud 1:. ~ MI (J k 1 H> L A f' Il f\ T O •
_ 1 C•krl ~.:.~~l: .•u;..J..IrJ..l~~oo,..;,:.i~l~l.~.-<1(~1 -40"~-~olo~·~~~~"------------------H.:fi,I·LA
JC:fA1.LA
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l
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