CIRCUNFERENCIA distancia de un punto fijo llamado centro. Definición.

CIRCUNFERENCIA
• Definición. Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma
distancia de un punto fijo llamado centro.
• Elementos:
• Centro. Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.
• Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R
o r.
• Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El
diámetro contiene a dos veces el radio.
• Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
La máxima cuerda es el diámetro.
• Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
• Arco. Un arco es una porción de la circunferencia comprendido entre dos Puntos
• Tangente. Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama
punto tangente.
• Flecha o Sagita. Segmento perpendicular a una cuerda en su su punto medio.
• Propiedades Asociadas a los Elementos
• El radio es perpendicular a la tangente.
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• Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.
• A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes.
• Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes
congruentes.
• Por un punto exterior a una circunferencia sólo se puede trazar dos tangentes, estas tangentes son
congruentes.
• Tangentes comunes exteriores
•
• Tangente comunes interiores
• Definición importante y teoremas
• Circunferencia Inscrita:
Circunferencia inscrita en un triángulo es la circunferencia que es tangente a los tres lados. Al radio de esta
circunferencia tambien se llama inradio.
• La circunferencia es inscrita en el triangulo ABC.
• El triángulo es circunscrito a la circunferencia.
• r se llama inradio.
• Cuadrilátero Circunscrito
Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia cuando sus cuatro lados son congruentes a dicha
circunferencia.
• El cuadrilátero ABCD es circunscrito a la circunferencia.
• La circunferencia es inscrita en el cuadrilatero ABCD
• Teorema de Poncelet
En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa,
más el doble del radio de la circunferencia inscrita.
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• Teorema de Pitot
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es
igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados opuestos.
• Teorema de Steiner
En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos, es
igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados opuestos.
• Ángulos en la Circunferencia
• Angulo central
El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ángulo
central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.
• Ángulo inscrito
Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del ángulo inscrito es
igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.
• Ángulo seminscrito
El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente u una cuerda. La medida del ángulo
seminscrito es inscrito es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda.
• Ángulo exinscrito
Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente suplementario de un ángulo
inscrito.
• Ángulo interior
El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida
del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las
prolongaciones de los lados.
• Ángulo exterior
Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos
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tangentes. La medida del ángulo interior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
comprendidos entre sus lados.
EJERCICIOS
• Los lados de un triángulo ABC miden AB =12, BC= 13, AC=15, la circunferencia inscrita es tangente a AB
en D, a BC en E y a AC en F. calcular (AD)(BD)(CF)
Solución:
• En un cuadrilátero ABCD circunscrito en una circunferencia se cumple que AB=3+a, BC= 6+a CD= 10
calcular AD
Solucion:
• Encontrar AD, si FC = 5, CD = 13, AE = 10
Solución:
• Encontrar x en :
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Solución:
• En el paralelogramo ABCD calcular x
Solución:
• En el cuadrante de centro O calcular X
Solución:
Como AO y OB son radios entonces AO=OB
Entonces trazo OC que también es radio:
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• Calcular x en:
Solución:
Calculando todos los datos de la figura se tiene:
• El perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia es 40, la distancia entre los puntos medios de
las diagonales es 3. encontrar la longitud de la base mayor.
Solución:
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• Calcular BE en :
Solución: Encontramos datos en la figura:
♦ Aplico T. de Pitot en el trapecio ABED:
12 + ED = x + x + m
ED = 2x + m .(1)
♦ Aplico El T. de poncelet en el triángulo ECD
12 + m = ED + 2(2) .(2)
ED = m+8
♦ Igualo (1) y (2)
ED = ED
2x + m = m + 8
x = 10
• Encontrar x en:
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Solución: Encontrando datos en la figuara:
Del triangulo ABC se tienes que 50+X = 80
X = 30
• Calcular X en:
Solución:
• El lado AD del cuadrado ABCD es el diámetro de la semicircunferencia calcular x
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Solución: extraemos datos de la figura
Calculo EC por T. de Pitágoras:
EC2 = BE2 + BC2
EC = 15
Aplico T. Poncelet en el triángulo BEC:_
BE + BC = EC +2x
9 +12 = 15 +2x
x=3
BIBLIOGRAFIA
• MATEMATICA 4, Manuel Coveñas Naquiche
Editorial Bruño
AD= P−BC
BE= P−AC P=(12+13+15)/2 = 20
CF= P−AB
Entonces:
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AD= 20−13= 7
BE= 20−15= 5
CF= 20−12= 8
Entonces:
(AD)(BD)(CF) =7x5x8 = 280
Aplico teorema pitot:
AB+CD = BC+AD
3+a+10 = 6+a+x
x=7
AD = 10+8
En el triángulo OCB:
50 + x + x = 180
2x = 130
x = 64
De la figura:
50 + 2x = 180
x = 65
Según datos:
• a+b+c+x=40
• (x−b)/2=3
x−b = 6
b=x−6
• Por T. de Pitot
a+b = b+x . Reemplazo en perímetro
a+b+c+x = 40
x= 13
Los arcos DE=FG
10
El angulo FEG = 65
Del triángulo se tiene:
X +65 = 90
X=25
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