prob

PROBABILIDAD
Concepto clásico de probabilidad:
Propiedades de la probabilidad:
P(Ω)= 1 (Ω=suceso seguro)
P(ø) = 0 (ø=suceso imposible)
P(X)Є [0,1]
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P( ) = 1 – P (A)
( es el suceso contrario de A)
(Probabilidad de que ocurra el suceso A, sabiendo que ha ocurrido el suceso B)
Distribución Normal:
La distribución normal nos permite calcular
probabilidades mediante una tabla:
La tabla nos da valores para la N(0,1). Si no
tenemos una normal así, la construimos:
Para una N(0,1) (Distribución normal de media
0 y desviación típica 1). Si z es positivo:
P(Z≤z) = F(z)
P(Z≤-z) = 1 – F(z)
P(Z≥z) = 1 – F(z)
P(Z≥-z) = F(z)
Siendo F(z) el valor obtenido en la tabla para z.
P(z1≤Z≤z2) = F(z2) – F(z1)
ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
Estimación puntual de medias: Si tenemos una población con media μ y desviación σ desconocida,
estimaremos la media de la población por la media de la muestra ( ):
Estimación puntual de varianzas: Para estimar la varianza poblacionalσ2, se utiliza la varianza
muestral (S2), la cuasivarianza muestral (S2c) o la cuasivarianza corregida por el tamaño N de la
población (S2cN):
Estimación puntual de proporciones: Para estimar una proporción p, de casos que poseen una
determinada característica, se toma una muestra aleatoria y estimamos p por la proporción muestral:
La variabilidad de p (Var(p)) se puede calcular de dos formas:
ó
, si la fracción de muestreo es conocida y no
despreciable
Donde = 1 – , y f = n/N. Despreciaremos la fracción de muestreo si f < 0,01.
Intervalo de confianza para una media: Si la varianza de la población (σ 2) es conocida, nuestro
intervalo de confianza para la media será:
, donde el coeficiente z viene dado por:
Grado de confianza 90% 95% 99% 99,9%
Coeficiente z
1,645 1,96 2,576 3,291
Si la varianza de la población (σ 2) no es conocida, la estimaremos por la cuasivarianza muestral
(Sc), y nuestro intervalo de confianza para la media será:
, donde el coeficiente t lo iremos
a buscar a la tabla de la distribución t de Student, con n – 1 grados de libertad (g). Si nuestra fracción
de muestreo es conocida y no despreciable, utilizaremos otro intervalo de confianza:
Intervalo de confianza para una proporción: Para construir el intervalo de confianza para una
proporción, usaremos:
ó
Cálculo del tamaño de muestra: Si nos piden el tamaño de la muestra para un error concreto, lo
calculamos
Donde N es el tamaño de la población
Si no conocemos p, utilizaremos
(si no lo conocemos, nuestro tamaño
el caso más desfavorable, es
de la muestra será
)
decir, p = q = 0,5 = 50%
GRÁFICOS DE CONTROL
Para construir un gráfico de control, primero hemos de
construir las siguientes líneas:
proporciones
LSC Límite superior de Control
LSA
Límite superior de Alerta
LC
LIA
Línea central
Límite inferior de Alerta
LIC
p
Racha: 8 o más puntos por encima o
debajo de la línea central
Límite inferior de Control
Tendencia: 8 o más puntos en orden
creciente o decreciente
CONTRASTE DE HIPÓTESIS
Comparación de una media con un valor dado: Calculamos el estadístico:
, donde μ0 es el
valor dado con el que compararemos la media. Buscamos en la tabla de la t de Student para n – 1
grados de libertad y el nivel de significación que nos digan (normalmente suele ser α = 0,05).
Comparamos el valor del estadístico con el de la tabla (T c):
- Si |T|<Tc: Aceptamos la hipótesis (la media es igual al valor dado)
- Si |T|>Tc: Rechazamos la hipótesis (la media es distinta al valor dado)
Comparación de dos medias: Si las varianzas son distintas, calculamos el estadístico:
.
Buscamos en la tabla de la t de Student para los grados de libertad g y el nivel de significación que nos
digan (normalmente suele ser α = 0,05), con
Si las varianzas son iguales, calculamos el estadístico
, donde
Buscamos en la tabla de la t de Student para n1+n2-2 grados de libertad y el nivel de significación que
nos digan (normalmente suele ser α = 0,05). En ambos casos (varianza conocida o desconocida):
- Si |T|<Tc: Aceptamos la hipótesis (las medias son iguales)
- Si |T|>Tc: Rechazamos la hipótesis (las medias son distintas)
REGRESIÓN LINEAL
La recta de regresión es una recta que aproxima los datos de una muestra con dos variables: y=a+bx, donde:
Se suma
Se suma
Se suma