Ondas en una dimensión Q Fisicoquímica Molecular Básica Cuarto Semestre Carrera de Quí Químico Tema 3 De Broglie determinó que las partículas tenían asociadas ondas, o, mejor dicho, que las partículas elementales (i.e. el electrón) se comportaban a veces exhibiendo propiedades de partícula y a veces de onda, dependiendo del experimento FQMB-2006 Clase en Titulares Q Q Q Q Q Q Q Tema 3 3 Ondas en una dimensión La ecuación de ondas monodimensional Soluciones de la ecuación de ondas Soluciones oscilatorias Modos normales de vibración Ecuaciones de ondas en más dimensiones. FQMB-2006 Tema 3 2 Consecuentemente, es necesario que repasemos los conceptos ya aprendidos sobre ondas para aplicarlos a los fenómenos atómicos Empecemos por definir nuestro sistema unidimensional en la forma que se muestra en la figura FQMB-2006 Cuerda fija por ambos extremos u(x,t) 0 Tema 3 x l 4 1 Ondas en una dimensión Q Q Recordemos que el máximo desplazamiento de la cuerda en la direcció dirección perpendicular a x es llamada amplitud La funció función u(x,t) u(x,t) mide el desplazamiento del punto x de la cuerda (entre los extremos 0 y l) al tiempo t FQMB-2006 Ecuación de ondas Q Cuerda fija por ambos extremos 0 x l Tema 3 u(0,t) = 0 5 0 x La ecuación que determina el comportamiento de la cuerda es una ecuació ecuación diferencial a derivadas parciales (EDP) que tiene la forma ≤t (2) Tema 3 Tema 3 7 Solución de la ecuación de ondas La ecuación de ondas es a variables separables. Podemos entonces buscar la solución como u(x,t) u(x,t) = X(x) X(x) T(t) T(t) (1) donde v es la velocidad con que la perturbación se propaga en la cuerda La EDP tiene dos variables independientes x y t Es una EDP lineal y a variables separables FQMB-2006 u(l,t) u(l,t) = 0 FQMB-2006 l ∂2u(x,t 1 ∂2u(x,t u(x,t)) u(x,t)) _______ = __2 _______ v ∂x2 ∂t2 Q (1) dado que la cuerda tiene fijos sus extremos y, por lo tanto, la amplitud de movimiento ahí es nula Ecuación de ondas Q ∂2u(x,t 1 ∂2u(x,t u(x,t)) u(x,t)) _______ = __2 _______ v ∂x2 ∂t2 debe cumplir además con las condiciones de contorno u(x,t) u(x,t) Q La ecuación ∂2u(x,t 1 ∂2u(x,t u(x,t)) u(x,t)) _______ = __2 _______ v ∂x2 ∂t2 (1) 1 d2T(t) d2X(x) _______ X(x) T(t) = __2 _______ X(x) T(t) v dx2 dt2 (4) se transforma en 6 (3) Tendremos así que la ecuación de ondas FQMB-2006 Tema 3 8 2 Solución de la ecuación de ondas Solución de la ecuación de ondas Podemos ahora dividir ambos lados de la ecuación por u(x,t) u(x,t) = X(x) X(x) T(t) T(t) y obtenemos (3) d2X(x) 1 d2T(t) −1 X−1(x) _______ = __2 _______ T (t) v dx2 dt2 (5) Ambos lados de la igualdad dependen de distintas variables (x y t) que, a su vez, son independientes entre sí. Por lo tanto, cada lado de la ecuación puede variar independientemente del otro. La única forma en que la igualdad sea siempre válida, para cualquier valor de x y t es que ambos miembros sean iguales a una constante (es decir, una función que no depende ni de x ni de t) FQMB-2006 Tema 3 X−1(x) 9 FQMB-2006 11 Obviamente, las soluciones de las ecuaciones (9) son (6) donde K es la constante de separación. Obsérvese entonces que tenemos dos ecuaciones ahora, que tienen respectivamente la forma d2X(x) _______ − K X(x) X(x) = 0 dx2 (7) d2T(t) _______ − K v2 T(t) T(t) = 0 dt2 (8) Tema 3 Tema 3 (9) Solución de la ecuación de ondas d2X(x) 1 d2T(t) −1 _______ = K = __2 _______ T (t) v dx2 dt2 FQMB-2006 Nótese que, en general, la solución de EDOs como la (7) y la (8) va a depender del valor de la constante K. Por eso, vamos a discutir las soluciones para estas ecuaciones en función del valor de la constante de separación. Consideremos primero el caso en que K=0 d2X(x) d2T(t) _______ _______ = 0 = dx2 dx2 Solución de la ecuación de ondas Es decir Las ecuaciones (7) y (8) son ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), lineales (las funciones y sus derivadas están sólo a la potencia 1) y a coeficientes constantes (los coeficientes son 1, -K y -Kv2 , ninguno de ellos depende de las variables x y t) X(x) X(x) = a1x + b1 (10) Ahora bien, no es difícil de demostrar que para que se cumplan las condiciones de contorno de las ecuaciones (2), todos los coeficientes en las ecuaciones (10) deben ser nulos. Obtenemos entonces que, si K=0, la única solución de las ecuaciones (7) y (8) es la así llamada solució solución trivial X(x) X(x) = 0 10 T(t) T(t) = a2t +b2 T(t) T(t) = 0 ≤ x,t (11) Esto, evidentemente, no nos sirve de mucho FQMB-2006 Tema 3 12 3 Solución de la ecuación de ondas Soluciones oscilatorias Si, por el contrario, K > 0, entonces ambas ecuaciones tienen la forma d2Y(y) _______ − k2 Y(y) Y(y) = 0 dy2 Y(y) Y(y) = c1 e ky + c2 e −ky (14) X(l) X(l) = 0 = c1 e kl + c2 e −kl (15) Manipulando en la ecuación (15) introduciendo la ecuación (14) tenemos X(l) X(l) = 0 = c1 e + c2 e c1 (e -e ≤t (16) Esta condición puede satisfacerse sólo si C1=0, de donde surge, por la ecuación (14), que C2=0, es decir ... tenemos nuevamente la solución trivial. Desilusionante, no? FQMB-2006 Tema 3 ___ i = ª −1 FQMB-2006 (19) Tema 3 15 Recordemos que un número complejo puede siempre escribirse como X(0) = 0 = c1 + c2 −kl ) (18) Disgresión por los números complejos Veamos que pasa, para la función X(x), cuando aplicamos las condiciones de contorno (2) kl (17) Estas soluciones son funciones complejas, complejas donde interviene el símbolo 13 Solución de la ecuación de ondas −kl = Y(y) Y(y) = c1 e iky + c2 e −iky (13) Tema 3 Atención La solución general es similar a la anterior lo que puede comprobarse por sustitución directa. Nótese que cada uno de los términos en el lado derecho de la ecuación, satisfacen la EDO (12) por sí mismos. El hecho de que la EDO es lineal posibilita que la combinació combinación lineal de ambos términos sea también una solución kl d2Y(y) _______ + k2 Y(y) Y(y) = 0 dy2 (12) La solución general de una ecuación con esta forma, es siempre FQMB-2006 El caso mas interesante es cuando K es negativo. Tenemos entonces 14 z=x+iy x = Re(z) Re(z) y = Im(z) Im(z) (20) donde x e y son números reales que se acostumbran llamar parte real y parte imaginaria del número complejo. Reglas importantes son z* = x − i y complejo conjugado de z (21) z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) z1 z2 = x12 − y12 + i (x1y2 + y1x2) z1/z2 = z1 z2* / z2 z2* FQMB-2006 adició adición (22) multiplicació multiplicación (23) divisió división (24) Tema 3 16 4 Disgresión por los números complejos Soluciones oscilatorias Algo muy importante es lo que pasa al multiplicar un complejo y su conjugado z z* = x2 + y2 + i (xy (xy - yx) yx) = x2 + y2 (25) Generalmente se escribe ||z|| = z z* = |z| = ||z||½ = x2 + (x2 y2 + y2) ½ norma de z (26) módulo de z (27) La importancia de estas definiciones surgirá mas adelante FQMB-2006 Tema 3 17 Digresión por los números complejos Im(z) Im(z) . (x,y) x,y) r θ Los nú números complejos pueden representarse como vectores en un plano definido por las componentes reales e imaginarias del nú número complejo. Este plano se llama el plano complejo Fijá Fijándonos en la figura, tenemos r = |z| (28) tan θ = Re(z)/ Im(z)) Re(z)/Im(z (29) FQMB-2006 Tema 3 (31) (32) Escribiendo la solució solución en la forma (18) y usando la relació relación (30) X(x) X(x) = c1 e iβx + c2 e −iβx = A cos βx + B sen βx (33) T(t) T(t) = c3 e iβvt + c4 e −iβvt = C cos ωt + D sen ωt (34) FQMB-2006 Tema 3 ω=βv 19 Tenemos que aplicar ahora las condiciones de contorno de la ec. ec. (2) X(0) = A cos β0 + B sen β0 = A = 0 (35) X(l) X(l) = A cos βl + B sen βl = B sen βl = 0 (36) La ecuació ecuación (36) se satisface si B=0, lo que (junto con A=0) nos dejarí dejaría únicamente la solució solución trivial. PERO, PERO, la ec. ec. (36) se satisface tambié también si βl=nπ z = x + iy = r cos θ + r sen θ = = r (cos θ + i senθ) = r e iθ d X(x) _______ + β2 X(x) X(x) = 0 dx2 d2T(t) _______ + β2v2 T(t) T(t) = 0 dt2 Soluciones oscilatorias lo que implica Re(z) Re(z) Veamos entonces las soluciones generales de las ecuaciones (6(6-8) cuando K = −β2 (escrito así así para que sea evidente que K es negativo). Tenemos d2X(x) (30) 18 n = 1, 2, 3, ... (37) No incluí incluímos n=0 porque conduce nuevamente a la solució solución trivial. Las condiciones de contorno provocan la cuantizació cuantización de β. FQMB-2006 Tema 3 20 5 Soluciones oscilatorias Soluciones oscilatorias La solució solución general para X(x) X(x) es entonces Xn(x) nπ x (x) = B sen __ n=1,2,3,... l (38) Tenemos que resolver ahora la ecuació ecuación (32) que tiene la forma d2T(t) _______ + ωn2 T(t) T(t) = 0 dt2 n=1,2,3,... Acá Acá hemos hecho depender los coeficientes a y b de n, dado que las condiciones iniciales para cada solució solución (con n diferente) podrí podrían ser diferentes. Dado que cada una de las ecuaciones (42) es una soluci ón solució de la ecuació ecuación diferencial lineal (1), la solució solución má más general posible es la suma de todas las soluciones individuales ∞ (39) u(x,t) u(x,t) = donde introdujimos la ecuació ecuación (37) en la forma ωn = βnv = n π v / l FQMB-2006 n=1 n ∞ n=1,2,3, ... Tema 3 (40) = Σ (a n=1 n cos ωnt + bn sen ωnt) sen ___ nπx n=1,2,3,... (43) l 21 Soluciones oscilatorias FQMB-2006 Tema 3 23 Modos Normales de Vibración La solució solución general es simplemente Una simplificació simplificación trigonomé trigonométrica simple nos permite escribir Tn(t) (t) = D cos ωnt + E sen ωnt n=1,2,3,... (41) Nótese que no tenemos condiciones de contorno para definir D y E (las (las constantes de integració integración), por lo que lo dejaremos entonces así así. Con (38) y (41) podemos entonces escribir un(x,t) nπx {D cos ωnt + E sen ωnt} = (x,t) = Xn(x)Tn(t) (t) = B sen ___ l = {a nπx {an cos ωnt + bn sen ωnt} sen ___ l n=1,2,3,... FQMB-2006 Σ u (x,t) (x,t) = Tema 3 (42) 22 u(x,t) u(x,t) = ∞ ∞ Σ u (x,t) (x,t) = Σ A n=1 n n=1 n cos (ωnt + φn) sen ___ nπx l n=1,2,3,... (44) Los An será serán las amplitudes de cada solució solución, mientras que los φn se llaman ángulos de fase de cada solució (x,t) solución. Cada solució solución un(x,t) representa un movimiento armó armónico de diferente frecuencia y se llama modo normal de vibració vibración. El modo normal con n=1 se llama fundamental o primer armó armónico , para n=2 tenemos el segundo armó armónico o primer sobretono, sobretono, etc. En la siguiente grá gráfica se muestran algunos de los armó armónicos. FQMB-2006 Tema 3 24 6 Modos Normales Ondas Viajeras El segundo armó armónico oscila dos veces má más rápido que el primero, por lo que cuando se suman esto provoca la tí típica onda viajera, donde hay dos má máximos de diferente altura, dando la imagen de que la onda “se mueve” mueve”, p.ej. p.ej. una ola nodos FQMB-2006 Tema 3 25 Modos Normales Q Q Q Q Tema 3 Tema 3 27 Superposición de ondas Los puntos de la cuerda que permanecen fijos durante el movimiento de ésta, se llaman nodos Nótese que para el nn-ésimo sobretono hay nn-1 nodos (el estado fundamental no tiene nodos) Las ondas (fundamental y sobretonos) sobretonos) que se obtienen en la forma de la ecuació ecuación (44) se llaman ondas estacionarias, estacionarias, justamente porque la posició posición de los nodos está está fija en el tiempo Entre los nodos, la cuerda se mueve arriba y abajo (como un fundamental con menor distancia!) FQMB-2006 FQMB-2006 26 Dos ondas de distinta frecuencia viajando en el mismo sentido se interfieren Una superposició superposición de ondas que viajan en direcció dirección opuesta suman sus amplitudes Dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes viajando en el mismo sentido producen pulsos (paquetes de ondas) Dos ondas de la misma frecuencia viajando en direcciones opuestas producen una onda estacionaria FQMB-2006 Tema 3 28 7 Ondas en más dimensiones Ondas en 2 dimensiones Los principios que rigen a las ondas en más dimensiones son los mismos que ya vimos. Q Q FQMB-2006 Q u(0,y,t u(0,y,t)) = u(a,y,t) u(a,y,t) = 0 u(x,0,t) u(x,0,t) = u(x,b,t) u(x,b,t) = 0 0 ∂ 2F ____ + ∂ x2 ∂ 2F ____ ∂ y2 Tema 3 d2 T(t) T(t) _____ + v2 β2 T(t) T(t) = 0 dt2 ∂ 2F ____ + ∂ x2 (45) Esta podrí podría ser la ecuació ecuación de ondas de una membrana de lados a y b respectivamente, tal que está está fija a lo largo de todo su perí perímetro a ( ) (48) 31 Ondas en 2 dimensiones La generalizació generalización de la ecuació ecuación de ondas (1) a dos dimensiones tiene la forma ∂2u(x,y,t ∂2u(x,y,t 1 ∂2u(x,y,t u(x,y,t)) ________ u(x,y,t)) u(x,y,t)) ________ + = __2 ________ v ∂y2 ∂x2 ∂t2 1 _____ F(x,y) F(x,y) Esta ecuació ecuación, en principio, sabemos como resolverla, con lo cual obtenemos las dos ecuaciones 29 Ondas en 2 dimensiones Q Sustituyendo la expresió expresión (47) en la ecuació ecuación (45) y dividiendo por F(x,y)T(t) F(x,y)T(t) tenemos d2 T(t) 1 T(t) _____ ______ = v2 T(t) ) dt2 T(t La analogía en 2 dimensiones con la cuerda fija en sus extremos es una membrana vibrante que toma vida en los tambores del carnaval. Tema 3 (47) u(x,y,t) u(x,y,t) = F(x,y) F(x,y) T(t) T(t) Q FQMB-2006 Aplicamos nuevamente el mé método de separació separación de variables y tenemos (46) Q Q ∂ 2F ____ ∂ y2 + β2 F(x,y) F(x,y) = 0 (49) (50) La ecuació ecuación (49) es una vieja conocida y sabemos como resolverla. En el caso de la ecuació ecuación (50) nos encontramos con otra ecuació ecuación a dos variables, pero haciendo F(x,y) F(x,y) = X(x)Y(y) X(x)Y(y) podemos hacer nuevamente una separació separación de variables. Habiendo separado las variables con constantes de separació separación p y q respectivamente, obtenemos b FQMB-2006 Tema 3 30 FQMB-2006 Tema 3 32 8 Modos normales en 2 dimensiones Ondas en 2 dimensiones u(x u(x,t) ,t) = ∞ Σu m,n=1 m,n=1 ,t) nm(x,t) = ∞ ΣA m,n=1 m,n=1 nm cos (ωnmt + φnm) sen ___ nπx sen ___ mπy a x = (x,y (x,y)) Q Q a (51) Nótese que la forma de esta ecuació ecuación es completamente similar a la de la ecuació ecuación en 1 dimensió dimensión, excepto que ahora tenemos dos nú números “cuá cuánticos” nticos” n y m que etiquetan el estado. Las frecuencias de vibració vibración, en este caso, dependen de ambos nú números n y m ωnm = vπ ( n2/a2 + m2/b2)1/2 FQMB-2006 Tema 3 (52) 33 FQMB-2006 Modos normales en 2 dimensiones Q Q Algunos de los modos normales en el caso bibi-dimensional pueden verse en la siguiente figura. Nótese que cuando m=n=1 tenemos el estado fundamental (en las dos direcciones perpendiculares, la membrana tiene la misma forma forma que tení tenía la cuerda cuando n=1) Los otros dos modos normales tienen m=1 y aumenta el n. Si modificamos ambos nú números obtenemos la figura de la siguiente diapositiva. FQMB-2006 Tema 3 Tema 3 35 Ondas en dos dimensiones Q Q Q En el caso bidimensional, aparecen soluciones degeneradas. Por ejemplo u12 y u21 34 Si el desplazamiento es só sólo en la direcció dirección X tenemos ondas longitudinales Si el desplazamiento es en las dos direcciones tenemos fenó fenómenos como el de las olas marinas Q FQMB-2006 Tema 3 Si el desplazamiento es só sólo en la direcció dirección Y tenemos ondas transversales 36 9 Modos normales en 2 dimensiones Q Resolvamos las ecuaciones en funció función del tiempo para un par de oscilaciones de una membrana (usando Mathematica) Mathematica) FQMB-2006 Tema 3 37 10