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Fisicoquímica Molecular Básica
Cuarto Semestre
Carrera de Químico
Tema 3
1
Clase en Titulares
Q
Q
Q
Q
Q
La ecuación de ondas monodimensional
Soluciones de la ecuación de ondas
Soluciones oscilatorias
Modos normales de vibración
Ecuaciones de ondas en más dimensiones.
FQMB-2006
Tema 3
2
2
Ondas en una dimensión
Q
De Broglie determinó que
las partículas tenían
asociadas ondas, o,
mejor dicho, que las
partículas elementales
(i.e. el electrón) se
comportaban a veces
exhibiendo propiedades
de partícula y a veces de
onda, dependiendo del
experimento
FQMB-2006
Tema 3
3
3
Ondas en una dimensión
Q
Q
Consecuentemente, es
necesario que repasemos
los conceptos ya
aprendidos sobre ondas
para aplicarlos a los
fenómenos atómicos
Empecemos por definir
nuestro sistema
unidimensional en la
forma que se muestra en
la figura
FQMB-2006
Cuerda fija
por ambos
extremos
u(x,t)
0
Tema 3
x
l
4
4
Ondas en una dimensión
Q
Q
Recordemos que el
máximo desplazamiento
de la cuerda en la
dirección perpendicular a
x es llamada amplitud
La función u(x,t) mide el
desplazamiento del punto
x de la cuerda (entre los
extremos 0 y l) al tiempo
t
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Cuerda fija
por ambos
extremos
u(x,t)
0
Tema 3
x
l
5
5
u(x,t)
Ecuación de ondas
Q
0
l
x
La ecuación que determina el comportamiento de la
cuerda es una ecuación diferencial a derivadas
parciales (EDP) que tiene la forma
∂2u(x,t)
1 ∂2u(x,t)
_______
__ _______
=
v2
∂ x2
∂ t2
Q
Q
(1)
donde v es la velocidad con que la perturbación se
propaga en la cuerda
La EDP tiene dos variables independientes x y t
Es una EDP lineal y a variables separables
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Tema 3
6
6
Ecuación de ondas
Q
La ecuación
∂2u(x,t)
1 ∂2u(x,t)
_______
__ _______
=
v2
∂ x2
∂ t2
(1)
debe cumplir además con las condiciones de contorno
u(0,t) = 0
u(l,t) = 0
≤t
(2)
dado que la cuerda tiene fijos sus extremos y, por lo
tanto, la amplitud de movimiento ahí es nula
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Tema 3
7
7
Solución de la ecuación de
ondas
La ecuación de ondas es a variables separables. Podemos entonces
buscar la solución como
u(x,t) = X(x) T(t)
(3)
Tendremos así que la ecuación de ondas
se transforma en
∂2u(x,t)
1 ∂2u(x,t)
_______
__ _______
=
v2
∂ x2
∂ t2
(1)
2X(x)
2T(t)
1
d
d
_______
__ _______ X(x)
T(t)
=
v2
dx2
dt2
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Tema 3
(4)
8
8
Solución de la ecuación de
ondas
Podemos ahora dividir ambos lados de la ecuación por
u(x,t) = X(x) T(t)
y obtenemos
(3)
1 d2T(t)
d2X(x)
_______
__ _______ T−1(t)
X−1(x)
=
v2
dx2
dt2
(5)
Ambos lados de la igualdad dependen de distintas variables (x y t)
que, a su vez, son independientes entre sí. Por lo tanto, cada lado de
la ecuación puede variar independientemente del otro. La única forma
en que la igualdad sea siempre válida, para cualquier valor de x y t es
que ambos miembros sean iguales a una constante (es decir, una
función que no depende ni de x ni de t)
FQMB-2006
Tema 3
9
9
Solución de la ecuación de
ondas
Es decir
d2X(x)
_______
X−1(x)
=K=
dx2
1 d2T(t)
__ _______ T−1(t)
v2
dt2
(6)
donde K es la constante de separación. Obsérvese entonces que
tenemos dos ecuaciones ahora, que tienen respectivamente la forma
d2X(x)
_______
− K X(x) = 0
2
dx
(7)
d2T(t)
_______
− K v2 T(t) = 0
2
dt
(8)
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Tema 3
10
10
Solución de la ecuación de
ondas
Las ecuaciones (7) y (8) son ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO),
lineales (las funciones y sus derivadas están sólo a la potencia 1) y a
coeficientes constantes (los coeficientes son 1, -K y -Kv2 , ninguno de
ellos depende de las variables x y t)
Nótese que, en general, la solución de EDOs como la (7) y la (8) va a
depender del valor de la constante K. Por eso, vamos a discutir las
soluciones para estas ecuaciones en función del valor de la constante de
separación. Consideremos primero el caso en que K=0
d2T(t)
d2X(x)
_______
_______
=0=
2
dx
dx2
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Tema 3
(9)
11
11
Solución de la ecuación de
ondas
Obviamente, las soluciones de las ecuaciones (9) son
X(x) = a1x + b1
T(t) = a2t +b2
(10)
Ahora bien, no es difícil de demostrar que para que se cumplan las
condiciones de contorno de las ecuaciones (2), todos los coeficientes en
las ecuaciones (10) deben ser nulos. Obtenemos entonces que, si K=0,
la única solución de las ecuaciones (7) y (8) es la así llamada solución
trivial
X(x) = 0
T(t) = 0
≤ x,t
(11)
Esto, evidentemente, no nos sirve de mucho
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Tema 3
12
12
Solución de la ecuación de
ondas
Si, por el contrario, K > 0, entonces ambas ecuaciones tienen la forma
d2Y(y)
_______
2 Y(y) = 0
−
k
dy2
(12)
La solución general de una ecuación con esta forma, es siempre
Y(y) = c1 e ky + c2 e −ky
(13)
lo que puede comprobarse por sustitución directa. Nótese que cada uno
de los términos en el lado derecho de la ecuación, satisfacen la EDO
(12) por sí mismos. El hecho de que la EDO es lineal posibilita que la
combinación lineal de ambos términos sea también una solución
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Tema 3
13
13
Solución de la ecuación de
ondas
Veamos que pasa, para la función X(x), cuando aplicamos las
condiciones de contorno (2)
X(0) = 0 = c1 + c2
(14)
X(l) = 0 = c1 e kl + c2 e −kl
(15)
Manipulando en la ecuación (15) introduciendo la ecuación (14) tenemos
X(l) = 0 = c1 e kl + c2 e −kl = c1 (e kl - e −kl )
≤t
(16)
Esta condición puede satisfacerse sólo si C1=0, de donde surge, por la
ecuación (14), que C2=0, es decir ... tenemos nuevamente la solución
trivial. Desilusionante, no?
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Tema 3
14
14
Soluciones oscilatorias
El caso mas interesante es cuando K es negativo. Tenemos entonces
d2Y(y)
_______
2 Y(y) = 0
+
k
dy2
Atención
(17)
La solución general es similar a la anterior
Y(y) = c1 e iky + c2 e −iky
(18)
Estas soluciones son funciones complejas,
complejas donde interviene el símbolo
___
i = ª −1
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Tema 3
(19)
15
15
Disgresión por los números
complejos
Recordemos que un número complejo puede siempre escribirse como
z=x+iy
x = Re(z)
y = Im(z)
(20)
donde x e y son números reales que se acostumbran llamar parte real y
parte imaginaria del número complejo. Reglas importantes son
z* = x − i y
complejo conjugado de z (21)
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
z1 z2 = x12 − y12 + i (x1y2 + y1x2)
z1/z2 = z1 z2* / z2 z2*
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adición (22)
multiplicación (23)
división (24)
Tema 3
16
16
Disgresión por los números
complejos
Algo muy importante es lo que pasa al multiplicar un complejo y su
conjugado
z z* = x2 + y2 + i (xy - yx) = x2 + y2
(25)
Generalmente se escribe
||z|| = z z* = x2 + y2
norma de z
|z| = ||z||½ = (x2 + y2) ½ módulo de z
(26)
(27)
La importancia de estas definiciones surgirá mas adelante
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Tema 3
17
17
Digresión por los números
complejos
Im(z)
.
(x,y)
r
θ
Los números complejos pueden representarse
como vectores en un plano definido por las
componentes reales e imaginarias del número
complejo. Este plano se llama el plano complejo
Fijándonos en la figura, tenemos
r = |z|
(28)
tan θ = Re(z)/Im(z)
(29)
lo que implica
z = x + iy = r cos θ + r sen θ =
Re(z)
= r (cos θ + i senθ) = r e iθ
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Tema 3
(30)
18
18
Soluciones oscilatorias
Veamos entonces las soluciones generales de las ecuaciones (6-8)
cuando K = −β2 (escrito así para que sea evidente que K es negativo).
Tenemos
d2X(x)
d X(x)
_______
2 X(x) = 0
+
β
dx2
d2T(t)
_______
2v2 T(t) = 0
+
β
dt2
(31)
(32)
Escribiendo la solución en la forma (18) y usando la relación (30)
X(x) = c1 e iβx + c2 e −iβx = A cos βx + B sen βx
(33)
T(t) = c3 e iβvt + c4 e −iβvt = C cos ωt + D sen ωt
(34)
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Tema 3
ω=βv
19
19
Soluciones oscilatorias
Tenemos que aplicar ahora las condiciones de contorno de la ec. (2)
X(0) = A cos β0 + B sen β0 = A = 0
(35)
X(l) = A cos βl + B sen βl = B sen βl = 0
(36)
La ecuación (36) se satisface si B=0, lo que (junto con A=0) nos
dejaría únicamente la solución trivial. PERO, la ec. (36) se satisface
también si
βl=nπ
n = 1, 2, 3, ...
(37)
No incluímos n=0 porque conduce nuevamente a la solución trivial. Las
condiciones de contorno provocan la cuantización de β.
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Tema 3
20
20
Soluciones oscilatorias
La solución general para X(x) es entonces
Xn(x) = B sen __
nπ x
n=1,2,3,...
l
(38)
Tenemos que resolver ahora la ecuación (32) que tiene la forma
d2T(t)
_______
2 T(t) = 0
+
ω
n
dt2
n=1,2,3,...
(39)
donde introdujimos la ecuación (37) en la forma
ωn = βnv = n π v / l
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n=1,2,3, ...
Tema 3
(40)
21
21
Soluciones oscilatorias
La solución general es simplemente
Tn(t) = D cos ωnt + E sen ωnt
n=1,2,3,...
(41)
Nótese que no tenemos condiciones de contorno para definir D y E (las
constantes de integración), por lo que lo dejaremos entonces así. Con
(38) y (41) podemos entonces escribir
un(x,t) = Xn(x)Tn(t) = B sen ___
nπx {D cos ωnt + E sen ωnt} =
l
= {an cos ωnt + bn sen ωnt} sen ___
nπx
l
n=1,2,3,...
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Tema 3
(42)
22
22
Soluciones oscilatorias
Acá hemos hecho depender los coeficientes a y b de n, dado que las
condiciones iniciales para cada solución (con n diferente) podrían ser
diferentes. Dado que cada una de las ecuaciones (42) es una solución
de la ecuación diferencial lineal (1), la solución más general posible es
la suma de todas las soluciones individuales
∞
u(x,t) =
Σ un(x,t) =
n=1
∞
=
nπx
Σ (an cos ωnt + bn sen ωnt) sen ___
l
n=1
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Tema 3
n=1,2,3,... (43)
23
23
Modos Normales de Vibración
Una simplificación trigonométrica simple nos permite escribir
u(x,t) =
∞
∞
nπx
Σ un(x,t) = Σ An cos (ωnt + φn) sen ___
n=1
n=1
l
n=1,2,3,...
(44)
Los An serán las amplitudes de cada solución, mientras que los φn se
llaman ángulos de fase de cada solución. Cada solución un(x,t)
representa un movimiento armónico de diferente frecuencia y se llama
modo normal de vibración. El modo normal con n=1 se llama
fundamental o primer armónico , para n=2 tenemos el segundo
armónico o primer sobretono, etc. En la siguiente gráfica se muestran
algunos de los armónicos.
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Tema 3
24
24
Modos Normales
nodos
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Tema 3
25
25
Modos Normales
Q
Q
Q
Q
Los puntos de la cuerda que permanecen fijos
durante el movimiento de ésta, se llaman nodos
Nótese que para el n-ésimo sobretono hay n-1 nodos
(el estado fundamental no tiene nodos)
Las ondas (fundamental y sobretonos) que se
obtienen en la forma de la ecuación (44) se llaman
ondas estacionarias, justamente porque la posición
de los nodos está fija en el tiempo
Entre los nodos, la cuerda se mueve arriba y abajo
(como un fundamental con menor distancia!)
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Tema 3
26
26
Ondas Viajeras
El segundo armónico
oscila dos veces más
rápido que el
primero, por lo que
cuando se suman
esto provoca la típica
onda viajera, donde
hay dos máximos de
diferente altura,
dando la imagen de
que la onda “se
mueve”, p.ej. una ola
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Tema 3
27
27
Superposición de ondas
Dos ondas de
distinta frecuencia
viajando en el
mismo sentido se
interfieren
Una superposición
de ondas que viajan
en dirección opuesta
suman sus amplitudes
Dos ondas de
frecuencias
ligeramente
diferentes viajando
en el mismo sentido
producen pulsos
(paquetes de ondas)
Dos ondas de
la misma frecuencia
viajando en
direcciones opuestas
producen una onda
estacionaria
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Tema 3
28
28
Ondas en más dimensiones
Los principios que rigen a las
ondas en más dimensiones son
los mismos que ya vimos.
La analogía en 2 dimensiones
con la cuerda fija en sus
extremos es una membrana
vibrante que toma vida en los
tambores del carnaval.
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Tema 3
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29
Ondas en 2 dimensiones
Q
La generalización de la ecuación de ondas (1) a dos dimensiones tiene
la forma
∂2u(x,y,t)
∂2u(x,y,t)
∂2u(x,y,t)
1
__ ________
________ ________
+
= 2
v
∂ y2
∂ t2
∂ x2
Q
(45)
Esta podría ser la ecuación de ondas de una membrana de lados a y b
respectivamente, tal que está fija a lo largo de todo su perímetro
u(0,y,t) = u(a,y,t) = 0
a
u(x,0,t) = u(x,b,t) = 0
0
(46)
b
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Tema 3
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30
Ondas en 2 dimensiones
Q
Aplicamos nuevamente el método de separación de variables y
tenemos
u(x,y,t) = F(x,y) T(t)
Q
Sustituyendo la expresión (47) en la ecuación (45) y dividiendo por
F(x,y)T(t) tenemos
d2 T(t)
1
_____
______
=
v2 T(t) dt2
Q
(47)
1
_____
F(x,y)
(
∂ 2F
____
+
2
∂x
∂ 2F
____
∂ y2
)
(48)
Esta ecuación, en principio, sabemos como resolverla, con lo cual
obtenemos las dos ecuaciones
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Tema 3
31
31
Ondas en 2 dimensiones
2 T(t)
d
_____
+ v2 β2 T(t) = 0
dt2
∂ 2F
____
+
2
∂x
Q
Q
∂ 2F
____
∂ y2
+
β2 F(x,y) = 0
(49)
(50)
La ecuación (49) es una vieja conocida y sabemos como resolverla. En
el caso de la ecuación (50) nos encontramos con otra ecuación a dos
variables, pero haciendo F(x,y) = X(x)Y(y) podemos hacer nuevamente
una separación de variables.
Habiendo separado las variables con constantes de separación p y q
respectivamente, obtenemos
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Tema 3
32
32
Ondas en 2 dimensiones
u(x,t) =
∞
∞
m,n=1
m,n=1
m,n=1
m,n=1
nπx sen ___
m πy
Σ unm(x,t) = Σ Anm cos (ωnmt + φnm) sen ___
a
x = (x,y)
Q
a
(51)
Nótese que la forma de esta ecuación es completamente similar a la de
la ecuación en 1 dimensión, excepto que ahora tenemos dos números
“cuánticos” n y m que etiquetan el estado. Las frecuencias de
vibración, en este caso, dependen de ambos números n y m
ωnm = vπ ( n2/a2 + m2/b2)1/2
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Tema 3
(52)
33
33
Modos normales en 2
dimensiones
Q
Q
Q
Algunos de los modos normales en el caso bi-dimensional pueden
verse en la siguiente figura.
Nótese que cuando m=n=1 tenemos el estado fundamental (en las
dos direcciones perpendiculares, la membrana tiene la misma forma
que tenía la cuerda cuando n=1)
Los otros dos modos normales tienen m=1 y aumenta el n. Si
modificamos ambos números obtenemos la figura de la siguiente
diapositiva.
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Tema 3
34
34
Modos normales en 2
dimensiones
Q
En el caso bidimensional, aparecen soluciones degeneradas. Por
ejemplo u12 y u21
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Tema 3
35
35
Ondas en dos dimensiones
Q
Q
Si el desplazamiento es sólo en
la dirección X tenemos ondas
longitudinales
Si el desplazamiento es en las
dos direcciones tenemos
fenómenos como el de las olas
marinas
Q
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Tema 3
Si el desplazamiento es sólo en
la dirección Y tenemos ondas
transversales
36
36
Modos normales en 2
dimensiones
Q
Resolvamos las ecuaciones en función del tiempo para un par de
oscilaciones de una membrana (usando Mathematica)
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Tema 3
37
37