Tema 1: Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias y operadores lineales

Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
Tema 1: Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
y operadores lineales
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas:
a0y(n) + a1y(n-1) + … + any = f(x) = 0
Dadas y1 e y2 soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial, entonces:
y = 1y1 + 2y2
Cuando tenemos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de 2º
orden con coeficientes constantes, una solución particular es y=ekx
Ejercicio 1
Resolver la ecuación diferencial lineal de segundo orden:
3
2
0
Ejercicio 2
Resolver la ecuación diferencial del ejercicio 1 conforme a las condiciones de
borde:
0
0
1
Ejercicio 3
Demostrar que la función:
cos
sen
donde A y B son constantes, es solución de la ecuación diferencial:
0
Ejercicio 4
Resolver la ecuación diferencial:
0
conforme a las condiciones de borde:
0
0
1
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
Un operador
es un objeto matemático que al operar sobre una
función, da como resultado una nueva función. Esto puede resumirse en
la siguiente expresión:
donde f y g son funciones.
Ejercicio 5
En el siguiente ejercicio se proporcionan las expresiones analíticas del
operador
y de la función f. Aplicar el operador
a la función f (entre
paréntesis) de forma de obtener g.
a. -
2 ,
b. -
,
2
c. -
,
d. -
,
3
Se dice que un operador  es lineal si cumple:
Ejercicio 6
Determinar si los siguientes operadores
a. -
son lineales:
b. -
La formulación analítica del problema de valores propios para un
operador
Donde f es una función llamada autofunción (eigenfunction) del
operador con autovalor (eigenvalue) k (constante).
Ejercicio 7
Demostrar que la función eαx es una autofunción del operador
. ¿Cuál es su
autovalor?
2