I.-TABLA DE INTEGRALES - Freddy Jose Henriquez Ch.

Prof. Freddy Henríquez
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Resumen de Cálculo Integral
I.-TABLA DE INTEGRALES
INMEDIATAS
II.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
INDEFINIDA
 a du  a u  c
u
2. u du 
c

n 1
du
3.
 u  ln u  c
a
4. a du 
c

ln a
5. e du  e  c

6. sen u du   cos u  c

7. cos u du  sen u  c

8. tan u du   ln (cos u)  c

9. cot u du  ln sen u  c

10. sec u du  ln (sec u  tan u)  c

11. csc u du  ln (csc u  cot u)  c

12. sec u du  tan u  c

13. csc u du   cot u  c

14. sec u tan u du  sec u  c

15. csc u cot u du   csc u  c

du
u
16.
 a  u  arc sen a  c
1.
La integral indefinida de la suma o resta de dos
o más funciones es igual a la suma o resta de sus
integrales.
1.
n 1
n
  f ( x)  g( x) dx   f ( x) dx   g( x) dx
2. El factor constante se puede sacar del signo de
la integral.
u
u
u
 c f ( x) dx  c  f ( x) dx
u
III.- INTEGRACION POR CAMBIO DE
VARIABLE
En algunos casos, para obtener integrales
que no se pueden calcular en forma inmediata, se
arregla el integrando mediante un cambio de
variable de tal manera que tome la forma de una
integral inmediata. Esto es, si la integral existe en
la forma
f ( x) dx   f ( g ( x))


 


Inte gra l no
inmediata
2
u
18.
u
17.
 f ( x) dx   f (u) du
2
2
23.
2
a u
2
2
2
du 
1
2
u a u
2

2
2
u a
2
du 
1
2
1
2
a arc sen
2
2

1
2
2

u
c
a
2
a ln u  u  a

,
donde se debe:
1) Identificar a las funciones u y dv
2) Determinar du diferenciando, y v
integrando
3) Sustituir el resultado de du y v en la fórmula
de integración por partes y calcular la integral
  c

2
u u a

 u dv  uv   v du
ua
1
2
2




du
2
2
22.
Cuando la integral no es inmediata, pero
el integrando es igual al producto o al cociente de
dos funciones; es decir, de la forma
 1
f
 f  g  dx o   dx  f   dx ,
 g
 g
la integración se hace aplicando la fórmula de
integración por partes:
1
u
arc tan  c
a
a
a
du
1
u
 arc sec  c
a
a
u2  a 2
2
 u  a  2a ln u  a  c
du
1
au
20.
 a  u  2a ln a  u  c
du
21.
 u  a  ln  u  u  a
19.
IV.- INTEGRACION POR PARTES
2
du
2
g' ( x) dx



Derivada
de la funcion
int erna
haciendo el cambio de variable: u = g (x) y por
tanto du = g’(x) dx , se facilita la integración
2
2
Funcion
int erna
2

c
 v du
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2
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V.- INTEGRACION POR SUSTITUCION
TRIGONOMETRICA
Si el integrando contiene una expresión
de la forma:
a 2  u2 , u2  a 2
o
a 2  u2
elevada a cualquier exponente, la integración se
realiza mediante una sustitución trigonométrica,
de acuerdo con la siguiente tabla:
FORMA DEL
RADICAL
a u
2
2
TRIANGULO
RECTANGULO
SUSTITUCION
TRIGONOMETRICA
sen  = u / a
a sen  = u
a cos  d = du
a 2  u2
tan  = u / a
a tan  = u
a sec2  d = du
u2  a 2
sec  = u / a
a sec  = u
a sec  tan  d = du
VI.- INTEGRACION DE FRACCIONES
PARCIALES
La integración por el método de
fracciones parciales consiste en descomponer una
fracción propia de la forma P (x) Q (x)
, en
una suma de dos o más fracciones parciales. Los
denominadores de las fracciones parciales se
obtienen mediante la factorización de Q (x) en
factores lineales y cuadráticos. Se tienen así los
siguientes casos:
1.- Los factores de Q(x) son todos lineales y
ninguno se repite, es decir, el denominador se
descompone en raíces reales de primer grado y
diferentes. La descomposición se da en la forma:
P( x)
A
B
C
D





Q( x) x  a x  b x  c x  d
3. El denominador Q(x) tiene factores cuadráticos
con raíces complejas que no se repiten. Para cada
factor cuadrático ax2 + bx + c existe la fracción
parcial
Ax  B
a x 2  bx  c
4. El denominador Q(x) contiene factores
cuadráticos con raíces complejas que se repiten. A
cada factor cuadrático (ax2 + bx + c)n
le
corresponde la suma de n fracciones parciales
A1 x  B1
A2 x  B2
An x  Bn


2
2
ax  bx  c ax 2  bx  c
ax 2  bx  c




VII.- FORMULAS DE REDUCCION
Las fórmulas de reducción se obtienen
integrando por partes, y entre las más comunes se
encuentran las siguientes:
n 1
 sen x dx   n sen x cos x  n  sen x dx
1
n 1
n2
2.  cos n x dx  cos n 1 x sen x 
cos
x dx
n
n 
1
n 1
n2
3.  tan n x dx 
tan
x  tan
x dx

n 1
1
n 1
n 2
4.  cot n x dx  
cot
x  cot
x dx

n 1
5. 

6. 

sec
csc
n
n
n 1
1
n
1.
x dx 
1
n 1
x dx  
tan x sec
1
n 1
cot x csc

7. cos m x sen n x dx 
cos

sen
m
x cos
n
x 
n2
m1
n2
sec
n 1
x 
x sen
n2
n 1
m1
mn
x dx 

 sen
n2
csc
n 1
mn

8.
n2
n2
x
x dx
n2
x dx

 cosm  2 x senn x dx
m1
x cos
n 1
mn
m1
mn

sen
m 2
x

x cos
n
x dx
 xn sen x dx   xn cos x  n  xn  1 cos x dx
10.  x n cos x dx  x n sen x  n  x n  1 sen x dx
11.  x n e x dx  x n e x   x n  1 e x dx
9.
2. Los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten; es decir, las raíces del
denominador son números reales, repitiéndose
algunos de ellos. A cada factor de Q(x) de la
forma (ax + b)n le corresponde una suma de n
fracciones parciales :
A1
A2
A3
An



2
3
ax  b  ax  b
 ax  b
 ax  b n
2
n
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Feddy
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Resumen
de Cálculo
Integral
Resumen
de Cálculo
Integral
V 
b
  f ( x )
2
dx
a
VIII.SEGUNDO TEOREMA
FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Si f es una función continua en [a , b  y
F (x) una función primitiva de f, entonces:

b
a
f ( x ) dx   F ( x) a  F (b)  F (a)
b
IX.- AREA ENTRE DOS CURVAS
Si f y g son dos funciones continuas en [a , b  ,
y si g (x)  f (x) para toda x en [a , b 
entonces el área entre f y g está dada por la
fórmula:
b

 f ( x )  g ( x ) dx
A

 



a mayor
menor 

Es bastante útil graficar las funciones f y g , y
encontrar los límites de integración resolviendo la
ecuación resultante de f (x) = g (x).

Si se realiza el giro alrededor del eje y ,
el volumen se calcula mediante la fórmula:
V 
b
  g ( y )
2
dy
a
El volumen del sólido que se genera al
girar alrededor del eje x dos funciones positivas f
(x) y g (x) , continuas en [ a , b  , y que
satisfagan f (x)  g (x) para toda x en [ a , b  , se
calcula con la fórmula:
b

 f 2 ( x )  g 2 ( x )  dx
V 
   
menor 
a  mayor

XII.- IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
X..- LONGITUD DE UNA CURVA
La longitud de una curva se determina
con la fórmula:
L

b
1   f ' ( x ) dx ,
2
a
cuando se conoce el intervalo [ a , b  y la
expresión algebraica de la función f.
Las identidades que más se aplican al
calcular integrales trigonométricas son:
1) tan 
3) csc  
5) cot  
sen 
2) cot  
cos 
1
4) sec  
sen 
1
10) cos 2  
1
2
1
2
sen 
1
cos 
2
2
6) sen   cos   1
tan
2
7) 1  tan   sec 2 
9) sen 2  
cos 
8) 1  cot 2   csc 2 
 1  cos 2 
 1  cos 2 
11) sen 2  2 sen  cos 
XI.- VOLUMEN DE SÓLIDOS DE
REVOLUCION
12) sen  cos  
13) sen  sen  
Al hacer girar alrededor del eje x el área bajo una
función f (x) continua en [ a , b  , donde f(x)  0
, se obtiene un sólido de revolución, cuyo volumen
se determina con la fórmula:
14) cos  cos  
1
2
1
2
1
2
sen (
  )  sen (   )

cos (   )  cos (   )
cos (   )  cos (   )
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