form mec t3

Fuerzas Centrales
Manel Bosch
Enero 2011
3. FUERZAS CENTRALES
1. Aplicación de la segunda ley de Newton
F~ (~r) = F (r)r̂
Problema de 2 cuerpos: Si F~12 = −F~21 i
(
m1~r¨1 = F~21 + F~1
7→
m2~r¨2 = F~12 + F~2
(
~1
F
m1
=
~r = rr̂
~r˙ = ṙr̂ + rϕ̇ϕ̂
~2
F
m2
~¨ = F~
MR
, donde :
µ~r¨ = F~21
~r¨ = (r̈ − rϕ̇2 )r̂ + (2ṙϕ̇ + rϕ̈)ϕ̂
(
m~r¨ = F~ (~r) = F (r)r̂ + 0 · ϕ̂
M = m1 + m2 , F~ = F~1 + F~2 , ~r = ~r1 − ~r2 ,
~ = m1~r1 + m2~r2 , µ = m1 m2
R
m1 + m2
m1 + m2
1. p~ = m~v ;
Zt2
d~
p
F~ (~r, ~r˙, t)dt → F~ =
dt
m(r̈ − rϕ̇2 ) = F (r)
2ṙϕ̇ + rϕ̈ = 0
L = mr2 ϕ̇ = C

L

 mr̈ = F (r) +
≡ F 0 (r)
mr3

 ϕ̇ = L
mr2
Dinámica en R3
I~1,2 =
→
2. Teoremas de conservación
t1
~ = ~r × p~
L
2.
~ = ~r × F~
N
)
t2
Z
~
dL
~ dt
~ → ∆L
~ = N
7→
=N
dt
t1
1
3. T = m~v 2 ; W =
2
Z~r2
E=
4. Sistemas conservativos: F~ = F~ (r)
U (~r) = −
~ × F~ = ~0
∇
~ (~r)
F~ (~r 0 ) · d~r 0 → F~ (~r) = −∇U
1
m~v 2 + U (~r) = C
2
Propiedades de los campos centrales
x
y
z
F~ (~r) = F (r)r̂ = F (r)ı̂ + F (r)̂ + F (r)k̂
r
r
r
~ = C,
~ ∆E = 0, ∇
~ × F (r)r̂ = ~0
L
Zr
~ (~r); F (r) = − dU
U (r) = − F (r0 )dr0 F~ = −∇U
dr
rs
1
E = m~v 2 + U (r)
2
dr0
2
m [E
Zt
ϕ(t) =
Zt
−1
dt 7→ r(t) = Φ
=
− U 0 (r0 )]
r
0
ϕ̂ = − sin ϕı̂ + cos ϕ̂
ϕ̂˙ = −ϕ̇r̂
!
2
t
m
0
L
dt0
mr2 (t0 )
0
3. Análisis semicuantitativo de U 0 (r): E ≥ U 0 (r)
0
dU
Puntos de retorno:
6= 0; E = U 0 (rR )
dr rR
Puntos de equilibrio:
 2 0
d U


> 0 → estable

0

dr rE
dU
= 0 → 2 0

dr rE
d U


< 0 → inestable

dr rE
4. Ecuación de la trayectoria
Métodos de resolución
p
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = x2 + y 2 , ϕ = arctan xy
r̂ = cos ϕı̂ + sin ϕ̂,
r̂˙ = ϕ̇ϕ̂,
r0
L2
m2 r 4
1 2 1 L2
1
mṙ +
+ U (r) = mṙ2 + U 0 (r)
2
2
2 mr
2
Zr
q
~
rR
E=
ϕ̇2 =
dT
= F~ · ~v
F~ (~r, ~r˙, t) · d~r;
dt
~
r1
Z~r


 L = mr2 ϕ̇
 L = mr2 ϕ̇
→
 E = 1 m~v 2 + U (~r)
 E = 1 mṙ2 + 1 mr2 ϕ̇2 + U (r)
2
2
2
r = r(t)ϕ = ϕ(t)} → r = r(ϕ)
d2 u
m
+ 2 2F
2
dϕ
L u
u(ϕ) ≡
1
+u=0
u
1
r(ϕ)
Fuerza del tipo F (r) = rk2
Estudio semicuantitativo usando U 0 (r)
U 0 (r) = U (r) +
L2
k
L2
0
→
7
U
(r)
=
+
2mr2
r
2mr2
1. k > 0 fuerza repulsiva; No extremos, no rE , sólo 1 rR .
s
2
2mE
1
mK
mk
+
> 0 → Órbita ilimitada abierta
=− 2 +
2
r1
L
L
L2
2. k < 0 E ≥ U0
r0 = −
E = U0
L2
mk
U0 = U 0 (r0 ) = −
mk 2
2L2

L2


 r0 = −
mk
M.R.U →
L


 ϕ̇0 =
mr02
U0 < E < 0
1
r1,2
mk
=− 2 ±
L
s
mk
L2
2
mk
L2
2
−
2m|E|
L2
+
2mE
L2
E≥0
1
mk
=− 2 +
r1
L
s
Ecuación de la trayectoria
u(ϕ) = A cos ϕ −
mk
L2
Determinar A → ϕ = 0 ó ϕ = π:
s
2
mk
2mE
+
A=
L2
L2
r(ϕ) =
1
A cos ϕ + B
B=−
mk
L2
1. ELIPSE: E < 0, k < 0 ε < 1
r(ϕ) =
a(1 − ε2 )
1
=
1 + ε cos ϕ
B + A cos ϕ
2. HIPÉRBOLA: E > 0 si k > 0 rama - , si k < 0 rama +,
ε>1
a(ε2 − 1)
1
r(ϕ) =
=
±1 + ε cos ϕ
B + A cos ϕ
A
B
ε=
a = 2
2
|B|
A −B 3. PARÁBOLA: E = 0; k < 0; ε = 1
a
r(ϕ) =
1 + cos ϕ
r
ε=
1+
2EL2
mk 2
k a = 2E Problema de Kepler
1. Los planetas siguen órbitas elı́tpticas con el sol en uno
de sus focos.
dS
L
2. La velocidad aerolar es constante.
=
dt
2m
4π 2 3
2
3
3. T ∝ a
T =
a
GM